【文章內容簡介】 換例4 　已知a 0 , b 0 , a + 2b = 1 ,求的最小值.解析　當且僅當時取“ = ”號.由 ,得,即時,的最小值為.點評　本題巧妙運用“1”的代換,得到,而與的積為定值,即可用均值不等式求得的最小值. 　換元例5 　求函數(shù)的最大值.解析　變量代換,令 ,則 ( t ≥0) ,則,當t = 0 時, y = 0 ,當t 0 時, , 當且僅當, 即 時取“= ”號, 所以時, .點評　本題通過變量代換,使問題得到了簡化,而且將問題轉化成熟悉的分式型函數(shù)的最值問題,從而為構造積為定值創(chuàng)設有利條件.　取平方例6 　求函數(shù) 的最大值.解析　注意到2 x 1 與5 2 x 的和為定值,.又y 0 ,所以,當且僅當2 x 1 = 5 2 x ,即 時取“ = ”號,所以點評　本題將解析式2 邊平方構造出“和為定值”,為利用均值不等式創(chuàng)造了條件.總之,我們利用均值不等式求最值時,一定要注意“一正二定三相等”,同時還要注意一些變形技巧,積極創(chuàng)造條件利用均值不等式.鏈接練習1. 當0 x 2 時,求 的最大值.2. 求函數(shù) 的最小值.3. 求函數(shù)的最小值.4. 已知x 0 , y 0 ,且,求x + y 的最小值.5. 已知a 0 , b 0 , c 0 ,且a + b + c = 1 ,求證:.鏈接練習參考答案1. 。 　2. 5 。 　3. 8 。 　4. 4/ 9 。5. 提示: , , 三式相乘即可.2．均值不等式錯例及“失效”時的對策 均值不等式應用錯例分析均值不等式在初等數(shù)學中有著非常重要而廣泛的應用, 然而學生往往對均值不等式“一正, 二定, 三相等”這個條件理解不透或運用不慎, 出現(xiàn)下面常見的錯誤。 漏記“一正”條件致誤 例1: 求函數(shù)的值域。在均值不等式a其中, 錯解: 故得結論: y∈[4,+∞)上述解法中, 僅僅具備了相等、定值這兩個條件, 是否均為正數(shù)呢? 因為函數(shù)的定義域為( ∞, 0)U( 0, +∞) , 顯然, “一正”條件不夠充分的情況下, 貿然使用均值不等式, 得出不完全正確的結論。所以在運用公式前, 應先檢查公式的條件是不是已滿足, 若不滿足, 應創(chuàng)造條件應用公式或改用其它途徑去解決問題。解: 當x0 時, 可以滿足“一正, 二定, 三相等”可得y≥4當x0 時, 可知f(x)是奇函數(shù), 由奇函數(shù)的性質可得y≤ 4所以原函數(shù)的值域為( ∞, 4)U[4, +∞)、疏忽都相等致誤例2: 已知a0 b0 a+b=1 求函數(shù)的最小值。錯解: 故, S 取得最大值8根據(jù)均值不等式取等號的充分必要條件是每個數(shù)皆相等, 否則: 則: 2a=b,2b=a,從而a=b=0 這與已知a0, b0,a+b=1 相矛盾, 所以 事實上: 其中等號在時取到。故當a=b=時, S 取得最小值9。例3: 的鋼條制作長方體容器框架, 米, 當長方體的高為多少時, 容器的容積最大? ( 2002 年數(shù)學高考題)錯解: 設則 ∴ 是定值∴ 立方米事實上, x+= 2x=x, 在這樣的等式下x 值是不存在的, 所以,結果為錯誤的。但作適當系數(shù)調整就滿足“相等”這個條件。 是定值 且3x=2x+1=8 5x 的值存在, 為x=1, 時, 長方體容器容積最大立方米。例4: 三棱錐, SABC 的例棱, SC與底面垂直,SA=SB=a AB= 的最值。錯解: 如圖所示, 設AB 中點為D, 連結CD, 令AB=2x,則SC=X 顯然AC=BC ∴CD 是等腰三角形ABC 底邊上的高,即: 當 即時, 三棱錐體積V 取得最大值, V 最大這里得出的結果是對的, 但推理的依據(jù)卻是錯的。原因在于忽略了 不是定值這一點。即不滿足‘一正, 二定, 三相等, 這個條件。解: 而是定值?？梢姰敿磿r三棱錐體積V 取得最大值。以上例子分析, 在使用均值定理時一定要搞清楚, 只有在“一正,二定, 三相等”都同時具備時方能使用公式, 否則得出的結論不可靠,甚至是錯誤的結論。以上幾例僅是均值不等式應用中的幾種常見錯誤, 僅供老師們在教學中參考使用, 以引導學生找出錯誤所在, 并且弄清產生錯誤的原因, 從而提高糾正錯誤和正確應用均值不等式的能力?！熬挡坏仁健鼻笞钪岛鲆晽l件致錯舉例用“ 均值不等式”求最值是求最值問題中的一個重要方法, 也是高考考查的一項重要內容, 運用這種方法有三個條件:(1)正。 (2)定。 (3)相等。在此運用過程中, 往往需要對相關對象進行適當?shù)胤糯?、縮小, 或不等式之間進行傳遞等變形, 在此過程中, 學生常常因為忽視條件成立而導致錯誤, 而且錯誤不易察覺。 忽視均值不等式中的各項為“ 正”致錯例1 求的值域。錯解因為所以評注雖然的積是常數(shù), 但x 1 不一定是正數(shù), 因此解法是錯誤的。正確解當x1 時, , 當且僅當, 即x=2 時等號成立。 當x1 時, , 所以y≤ 1,當且僅當x=0 時取 等號,所以原函數(shù)的值域為 忽視均值不等式中的等號成立條件致錯例2 求的最小值。錯解, 所以y 的最小值是2。評注在y≥2 中, 當且僅當, 即, 這是不可能的, 所以等號不成立,故y 的最小值不是2。正確解 因, 令, 則(t≥2), 易證在[2,+∞)上遞增,所以y 的最小值是, 當且僅當t=2 時, 即, x=0, 取“ =”號。例3 若正數(shù)x、y 滿足2x+y=1, 求的最小值。錯解 因, 于是, 故的最小值是。評注這里中, 當且僅當2x=y 時取“ =”號。而中, 當且僅當, 即x=y 時取“ =”號, 這兩個式子不可能同時成立, 因此不是的最小值。正確解, 當且僅當, 即時(此時)取“ =”號, 故的最小值是。例4 實數(shù)x、y、m、n 滿足, 且, 求的最大值。錯解 因, 所以, 故的最大值是。評注 這里兩次用到了均值不等式, 當且僅當m=x 且n=y 時取“ =”號, 于是, 即與已知矛盾, 因此等號不成立, 故的最大值不是.正確解, “ =”號。故的最大值是 (本題也可用三角代換解。) 忽視均值不等式中的定值致錯。例5 若正數(shù)x、y 滿足x+2y=6, 求xy 的最大值。錯解: , 當且僅當x=y 且x+2y=6, 即x=y=2 時取“ =”號, 將其代入上式, 可得xy 的最大值為4。評注 初看起來, 很有道理, 其實在用均值不等式求最值時, 在各項為正的前提下, 應先考慮定值, 再考慮等號是否成立。但在中, x+y 不是定值, 所以xy 的最大值不是4 .正確解因, 當且僅當x=2y 時(此時)取“ =”號, 所以.在教學過程中, 這些錯誤屢見不鮮, 為解決這個問題, 筆者認為, 不妨采用“ 挫折”教育, 如例題出示后, 不加任何啟發(fā), 讓學生大膽嘗試, 積極探索, 對出現(xiàn)的每一個問題, 不必急于評價, 而放手讓學生討論, 反思和質疑, 讓他們自己在辨析中總結規(guī)律, 在“ 挫折”中形成知識, 深刻思維。這樣經過多次反復, 會收到良好的效果?！笆А睍r的對策運用均值不等式是求最值的一種常用方法, 但由于其約束條件苛刻, 不少同學在使用時往往顧此失彼,從而導致均值不等式“失效”. 下面例說幾種常用的處理策略. 化負為正 例1 　已知0 x 1 ,求的最大值.分析　本題滿足 為定值,但因為0 x 1 , lgx 0 , 所以此時不能直接應用均值不等式,需將負數(shù)化正后再使用均值不等式.解　∵0 x 1 , ∴l(xiāng)gx 0 , lgx 0 ,∴ , 即y ≤ 4. 當且僅當即時等號成立, 故 　平衡系數(shù)例2 　求y = x(1 2x) 的最大值.分析　x +(1 2 x) 不是定值,但可通過平衡系數(shù)來滿足和為定值.解　 . 當且僅當2 x = 1 2 x ,即時等號成立. 故 　添項例3 　已知a b 0 , 求的最小值.　　分析　不是定值,但可通過添項、減項來滿足積為定值.解　. 當且僅, 即a = 8 ,b = 4時等號成立. 故. 　拆項例4 　已知0 x π, 求的最小值.分析