關(guān)于均值不等式的探討本科畢業(yè)論文(編輯修改稿)
2025-07-20 08:19 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 代數(shù)式的最大值解:由②得。故滿足條件的最大值是。例11:已知a b 0,求的最小值。解:由①式得, 所以,故的最小值是16。例12:若a + b + c = 1,且a, b, c∈ ,求的最小值。解:由③式得 所以 ≥=例13:一段長為L的籬笆圍成一個(gè)一邊靠墻的矩形菜園,問這個(gè)矩形的長、 各為多少時(shí),菜園的面積最大,最大的面積是多少?解:設(shè)矩形的長為x,則寬為，于是,菜園面積為:當(dāng)且僅當(dāng)x =L x,即時(shí)取等號(hào)。這時(shí)寬為故這個(gè)菜園的長為,寬為 時(shí),菜園面積最大,最大面積是 引言均值不等式在不等式理論中處于核心地位,比較大小,也是解題的重要依據(jù)之一.定理A(均值不等式) 設(shè)為n 個(gè)正數(shù),則其算術(shù)平均,幾何平均與調(diào)和平均有: 引理(Jensen 不等式）若函數(shù)f在區(qū)間I上存在二階導(dǎo)數(shù),且有f(x)≥0,則有其中xi∈I,qi 0,i=1,2,…,n,且=1,當(dāng)且僅當(dāng)x1 q1=x2 q2=…=xnqn時(shí)等號(hào)成立。若f(x)≤0,不等式反號(hào). 主要結(jié)論定理1 設(shè) ＞0， ＞0，i＝1，2，…，n,則 (1)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立； (2)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立。證明 設(shè)f（x）＝lnx，x∈（0，+∞）,則f（x）= 0,即f（x）=lnx 在x∈（0，+∞）0,λi 0,i=1,2,…,n,且 (3)由Jensen 不等式得 由y=lnx 的單調(diào)性知 由Jensen 不等式取等號(hào)的條件知,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)上式等號(hào)成立.由于 0, 0,i=1,2,…,n 及(3)式,運(yùn)用Jensen 不等式得從而有由Jensen 不等式取等號(hào)的條件知,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)上式等號(hào)成立.注1:當(dāng) 時(shí),定理1 即為定理A(均值不等式) 推論1 設(shè)0, 0,i=1,2,…,n,則 (4)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立； （5）當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立證明 由, ＞0，i=1,2,…,n,及(1)得即由定理1 知,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)上式等號(hào)成立.由，i=1,2,…,n,及(2)得即由定理1 知, 得證推論2 設(shè) ＞0， ＞0，i=1,2,…,n,且,則有當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍?hào)成立；當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍?hào)成立.注2：當(dāng)q=1時(shí)，則有當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍?hào)成立 當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍?hào)成立.例1 試證對(duì)任意正數(shù)a，b，c,d，有證明 在(4)中令n＝3,得令 , , , , 得 例2 設(shè)n 為自然數(shù),n≥2, 試證證明 由(5)得?。絠，＝1 ，i＝1，2，…，n,由(6)得又?。絠，＝1 ，i＝1，2，…，n,由(6)得從而有2均值不等式的應(yīng)用：待定系數(shù)法不等式是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容, 均值不等式是不等式進(jìn)行變形的一個(gè)重要依據(jù), 在應(yīng)用時(shí)不僅要牢記三個(gè)條件“正、定、等”, 而且要善于根據(jù)均值不等式的結(jié)構(gòu)特征,創(chuàng)設(shè)應(yīng)用均值不等式的條件,利用待定系數(shù)法湊定值是常用的解題技巧, 本文舉例說明.例1 已知a 0 , b 0 ,且a + b = 1 ,求的最小值.解 設(shè)m 0 ,則由題設(shè)及均值不等式可知: (1)(1) 式當(dāng)且僅當(dāng),即,亦即 (2)顯然(1) , (2) 同時(shí)取等號(hào)的充要條件是 解之得m = 16. 代入(1) 得:.故當(dāng)且僅當(dāng)時(shí), 取到最小值.例2 若a,且a + b = 1. 求證: 證明 設(shè)m 0 ,.∴ (1)其中當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).同理可得: (2)其中當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).顯然(1) , (2) + b = 1 , 故可解得將m = 1 代入(1) , (2) ,并將兩式相加得即 運(yùn)用均值不等式解題的主要技巧利用均值不等式解題的關(guān)鍵是湊“ 定和”和“定積”，此時(shí)往往需要采用“ 拆項(xiàng)、補(bǔ)項(xiàng)、平衡系數(shù)”等變形技巧找到定值，再利用均值不等式來求解，使復(fù)雜問題簡單化，收到事半功倍的效果! 拆項(xiàng)例1（原人教版課本習(xí)題）已知n0, 求證：證明：因?yàn)閚0，所以 當(dāng)且僅當(dāng)n=2 時(shí)等號(hào)成立! 拆冪例2 (1993年全國高考題）如果圓柱軸截面的周長為定值，那么圓柱體積的最大值（） A． B. C. D. 解 設(shè)圓柱底面半徑為r，高為h，則2h+4r= ，即 所以 ，故選 A. 升冪例2 設(shè)，求的最大值. 解 因?yàn)?，所以?，所以 所以當(dāng)且僅當(dāng)即tanx=時(shí)等號(hào)成立，故. 整體代換 例4 已知，且x+2y=1，求證：證明：因?yàn)?，x+2y=1，所以. 當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號(hào)成立. 平衡系數(shù) 分離取倒數(shù)解 令，則， 當(dāng)t=
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