【文章內容簡介】 證 明 在 (4)中 令 n＝ 3,得? ? ? ? ? ?1 2 3331 1 2 2 1 2 31 1 2 2 3 31 2 31 1 1a a aa a a? ? ???? ? ? ? ? ? ?? ? ?????????? ?????? 令 1 c?? 1 1a c?, 2 ab? ??, 2 1a b?, 3 d?? , 3 1a d? 得? ?1 1 111 a b c da b c a b d c a b dabcda c a b d ac a b db c b d c b d c b d ? ? ?? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? 例 2 設 n 為 自 然 數 ,n≥ 2, 試 證 ? ? ? ?11222 3 41 2 12 3 4 . . .23n n n nnnn n????? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? 證 明 由 (5)得 1212 ...12121 2 1 2...... ...nnnna a a aaa ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? 取 i? ＝ i， ia ＝ 1 ， i＝ 1， 2， ? ， n,由 (6)得? ?11 2 3 1 2 3 . . .1 2 2 2 2 2 2 2 22 3 4 1 2 3 1 2 3 . . . 2 12 3 4 . . . . . .1 2 3 1 2 3 . . . 3nnnnn n n nn nn?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ???? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 又取 i? ＝ i， ia ＝ 1 ， i＝ 1， 2， ? ， n,由 (6)得? ?11 2 3 1 2 3 . . . 21 1 1 1 2...1 2 3 1 2 3 . . . 1nnnnnn n n?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 從而有 ? ?122 3 4 12 3 4 ... 2 nnn nn ????? ? ? ???? 2均值不等式的應用 ：待定系數法 不等式是高中數學的重要內容 , 均值不等式是不等式進行變形的一個重要依據 , 在應用時不僅要牢記三個條件“正、定、等” , 而且要善于根據均值不等式的結構特征 ,創(chuàng)設應用均值不等式的條件 ,利用待定系數法湊定值是常用的解題技巧 , 本文舉例說明 . 例 1 已知 a 0 , b 0 ,且 a + b = 1 ,求 1ab ab? 的最小值 . 解 設 m 0 ,則由題設及均值不 等式可知 : ? ? ? ?11 1 2 1a b m a b m a b m m a ba b a b??? ? ? ? ? ? ? ????? (1) 畢業(yè)論文 (1) 式當且僅當 1mab ab? ,即 1abm?時取等號 .又 122ab ab??? ,即 0 14ab?? ,亦即 0 14ab?? ? (2) 顯然 (1) , (2) 同時取等號的充要條件是 112{ab mab??? 解 之得 m = 16. 代入 (1) 得 : ? ? ? ?1 1 1 72 1 6 1 1 6 8 1 5 8 1 5 ( )44a b a b a bab? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?. 故當且僅當 12ab?? 時 , 1ab ab? 取到最小值 174 . 例 2 若 a 11,22ab?? ?? ,且 a + b = 1. 求證 : 2 1 2 1 2 2ab? ? ? ? 證明 設 m 0 ,則 1 2 12 1 222a a m am? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?.由均值不等式得1()1222mama ????? ? ????? . ∴ 12 1 2 22122maa m amm????? ? ? ? ? ????? (1)其中當且僅當 12ma?? 時取等號 . 同理可得 : 12 221 2mbb m ??? ? ?(2)其中當且僅當 12mb?? 時取等號 . 顯然 (1) , (2) 同時取等號的充要條件是 1212{mamb???? .由于 a + b = 1 , 故可解得121{abm??? 將 m = 1 代入 (1) , (2) ,并將兩式相加得 畢業(yè)論文 111 ( ) 1 ( )222 1 2 1 2 2 222abab??? ? ? ???? ? ? ? ? ? ???即 2 1 2 1 2 2ab? ? ? ? 運用均值不等式解題的主要技巧 利用均值不等式解題的關鍵是湊“ 定和”和“定積”，此時往往需要采用“ 拆項、補項、平衡系數”等變形技巧找到定值，再利用均值不等式來求解，使復雜問題簡單化，收到事半功倍的效果 ! 拆項 例 1（原人教版課本習題） 已知 n0, 求證：24 3n n?? 證明 ：因為 n0，所以 32 2 24 4 4332 2 2 2n n n nn n n n? ? ? ? ? ? ? ? 當且僅當 n=2 時等號成立 ! 拆冪 例 2 (1993年全國高考題） 如果圓柱軸截面的周長 l 為定值，那么圓柱體積的最大值（） A． 36l ??????? B. 33l ??????? C. 34l ??????? D. 3144l ??????? 解 設圓柱底面半徑為 r，高為 h，則 2h+4r= l ，即 2 2lhr?? 所以 33236r r h lV r h r r h? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?，故選 A. 升冪 例 2 設 0,2x ????????，求 2sin cosy x x??的最大值 . 解 因為 0,2x ????????，所以 2sin cosy x x??≥ 0，所以32 2 22 4 2 2 2 211s i n s i n c o s1 1 422s i n c o s 4 s i n s i n c o s 42 2 3 2 7x x xy x x x x x????????? ? ? ? ? ? ???????畢業(yè)論文 所以 239y? 當且僅當 221 sin cos2 xx? 即 tanx= 2 時等號成立，故max 239y ?. 整體代換 例 4 已知 ,x y R?? ，且 x+2y=1，求證： 11 3 2 2xy? ? ? 證明 ：因為 ,x y R?? ， x+2y=1，所以? ?1 1 1 1 2 22 3 3 2 3 2 2y x y xxyx y x y x y x y??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?????. 當且僅當 2yxxy? ，即 21x??， 21 2y?? 時等號成立 . 平衡系數 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 33 2 1 8 5110 .5 3 .2 2 3 2 1 8 5 1 .81 5 1 5 3x x xy x x x x x x ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ? ? ????? 分 離取倒數 解 令 2tx??，則 ? ?2 20x t t? ? ? ， ? ?2 021tytt??? 當 t=0時， y=0。 當 t0時， 1 1 21 412 22y t tt t? ? ?? ?，當且僅當 12t t? ，即 22t? 時取等號 . 所以當 32x?? 時函數取最大值 24 . 總之，我們利用均值不等式求最值時，一定要注意“一正二定三等”，同時還要注意一些變形技巧，靈活運用均值不等式 . 應用均值不等式求最值問題 畢業(yè)論文 均值不等式 2ab ab? ? ( a 0 , b 0 , 當且僅當 a = b時等號成立 ) 是一個重要的不等式 ,利用它可以求解函數最值問題 . 對于有些題目 ,可以直接利用公式求解 . 但有些題目必須進行必要的變形才能利用 ,下面是一些常用的變形技巧 . 配湊 1) 湊系數 例 1 當 0 x 4 時 ,求 maxy = x (8 2 x) . 解析 由 0 x 4 , 有 8 2 x 0 , 利用均值不等式求最值 ,必須和為定值或積為定值 ,此題為 2 個式子的積的形式 ,但其和不是定值 . 注意到 2 x + (8 2 x) = 8 為定值 ,故只需將 y = x (8 2 x) 湊上一個系數即可 . ? ? ? ? 21 1 2 8 28 2 2 8 2 82 2 2xxy x x x x ????? ? ? ? ? ??? ???? ?? ,當且僅當 2 x = 8 2 x 即 x = 2 時取等號 ,所以當 x = 2時 , y = x (8 2 x) 的最大值為 8. 點評 本題無法直接運用均值不等式求解 ,但湊上系數后即可得到和為定值 , 就可利用均值不等式求得最大值 . 2) 湊項 例 2 已知 54x? ,求函數 ? ? 142 45f x x x? ? ? ?的最大值 . 解析 由已知 4 x 5 0 ,首先調整符號 ,因為 ? ? 14245x x?? ? 不是定值 ,故需對 4 x 2 進行湊項得到定值 . 因為 54x? ,所以 5 4 x 0 , ? ? ? ?115 4 3 2 5 4 3 2 3 15 4 5 4f x x xxx??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ????.當且僅當154 54x x??? 即 x = 1 時等號成立 . 點評 本題需要調整項的符號 ,又要配湊項的系數 ,使其積為定值 . 3) 分離 例 3 求 ? ?2 7 10 11xxyxx??? ? ?? 的值域 . 解析 本題看似無法運用均值不等式 , 如將分子配方湊出 ( x + 1) ,再將其分離 . ? ? ? ? ? ?21 5 1 4 41511xxyxxx? ? ? ?? ? ? ? ???. 當 x + 1 0 ,即 x 1 時 , ? ? 42 1 5 91yx x? ? ? ? ?? (當且僅當 x = 1 時取“ = ”畢業(yè)論文 號 ) . 當 x + 1 0 ,即 x 1 時 , ? ? 45 2 1 11yx x? ? ? ? ??(當且僅當 x = 3 時取“ = ”號 ) . 故所求的值域為 ( ∞ ,1 ] ∪ [9 , + ∞ ) . 點評 分式函數求最值 ,通?；?? ? ? ?Ay m g x Bgx? ? ? ( A 0 , m 0 , g ( x) 恒正或恒負 ) 的形式 ,然后 運用均值不等式來求 . 整體代換 例 4 已知 a 0 , b 0 , a + 2b = 1 ,求 11t=ab? 的最小值 . 解析 ? ?1 1 1 1 1 1 2 2 21 2 1 2 3 3 2 3 2 2b a b a b aaba b a b a b a b a b a b? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? 當且僅當 2baab? 時取“ = ”號 . 由 221baabab?????? ,得 2121 2ab?????????,即 2121 2ab?????????時 , 11t=ab? 的最小值為 3 2 2? . 點評 本題巧妙運用“ 1”的代換 ,得到 23 bat a