【導(dǎo)讀】技術(shù)的重要工具。均值不等式是不等式內(nèi)容的重要組成部分,世界上的很多國(guó)家,內(nèi)外專門針對(duì)該知識(shí)點(diǎn)的研究比較少。本文通過(guò)實(shí)例講解均值不等式,并延伸擴(kuò)。決最值問(wèn)題、不等式證明以及實(shí)際生活中的數(shù)學(xué)應(yīng)用的實(shí)際問(wèn)題。很大幫助，在現(xiàn)實(shí)生活中也有著廣泛的應(yīng)用?？梢哉f(shuō)均值不等式的發(fā)現(xiàn)，驗(yàn)證和。這對(duì)于我們來(lái)說(shuō)是一項(xiàng)巨大的財(cái)富。本人在這個(gè)內(nèi)容的實(shí)習(xí)教學(xué)中,引導(dǎo)學(xué)生思維,讓學(xué)生自我發(fā)現(xiàn)并相互探討,任務(wù)有一種愉快的感覺(jué),學(xué)生在領(lǐng)會(huì)知識(shí)方面具有一定的獨(dú)立性,能夠舉一反三,有重要的啟迪作用。具有極為重要的意義。如果ba、是正數(shù),那么a+b2ab?的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)。這個(gè)不等式,我們通常把它稱為均值不。等式，是高中新教材第六章教學(xué)的重點(diǎn),也是難點(diǎn)。對(duì)均值不等式的深刻理解和。最值問(wèn)題在此便略有體現(xiàn)。經(jīng)研究后,歸納出3個(gè)用均值不等式求最。條件1:在所求最值的代數(shù)式中,各變數(shù)都是正數(shù),否則變號(hào)轉(zhuǎn)換;條件3:各變數(shù)必須有相等的可能。

　　

【正文】 ? ? ? ????? ???? ???? ? ? ? ??? 取極限 （ n→ ∞ ） 則有 ? ? ? ? ? ? 2bbaadxf x d x b afx ???? 例 2 ［ 2］ 證明 ： 若函數(shù) ??kfx在 ［ a， b］ 上是正值可積的 ， k=1， 2? n，且 0ab， 則? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 1 111 2 1 1 1. . . . . .b b b bn n nnna a a af x f x f x d x f x d x f x d x f x d x? ? ? ? ? ?? ? ? ????? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? 證明 ： 利用 1212 nn n a a aa a a n? ? ?? ? ? ?有? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?1 2 1 21 2 1 21. . . . . .nnn b b b b b ba a a a a af x f x f x f x f x f xnf x d x f x d x f x d x f x d x f x d x f x d x????? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? 于是 ：? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?1 1 112121 2 1 21.. . .. . 1b b bn n nb nn a a ab b b b b banna a a a a af x d x f x d x f x d xf x f x f x dxnf x d x f x d x f x d x f x d x f x d x f x d x??? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ???? ? ??? ? ? ? ? ? 即 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 1 111 2 1 2. . . . . .b b b bn n nnnna a a af x f x f x d x f x d x f x d x f x d x? ? ? ? ? ?? ? ? ????? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? 例 3 設(shè) f （ x） 在 ［ ０ ， １ ］ 上非負(fù)連續(xù) ， 證明 ： ? ? ? ?10 1ln0f x dxe f x dx? ? ? 證明 ： 由題設(shè)知 f（ x） ， 1nf（ x） 在 ［ ０ ， １ ］ 上可積 ， 將 ［ ０ ，１ ］ n 等分 ， 作積分和 ? ?10 11lim nx iif x d x fnn?? ???? ?????? ? ? 1101 11l n l i m l n l i m l n nn nxxi iiif x d x f fn n n?? ??? ???? ? ? ??? ? ? ? ???? ? ? ???? ?? 所以 ? ?11101l i m l nln1l i mn nx iif n nf x dxnx iie e fn?? ??????????????? ?? ????? ?? ????????? 由均值不等式 1212 nn n a a aa a a n? ? ?? ? ? ?得1111l im l imn nnxx iiiiffn n n? ? ? ? ????? ? ? ??? ? ? ???? ? ? ??? ?? 畢業(yè)論文 故 ? ? ? ?10 1ln0f x dxe f x dx? ? ? 注 1： 此例中的結(jié)論僅僅是著名的 Jensen 不等式的一個(gè)特例 。 注 2： Jensen 不等式 ： 設(shè) μ 是在集 Ω 內(nèi)的 σ － 代數(shù) м 上的正測(cè)度 ， 使得μ （ Ω ） ＝１ ， 若 f 是 ? ?1L? 內(nèi)的實(shí)函數(shù) ， 對(duì)所有的 x∈ Ω ， af（ x） b，且 φ 是在 （ a， b） 上是凸的 ， 則 ? ? ? ?fd f d? ? ? ?????? 在證數(shù)列 11 nn???????????????收斂時(shí) ,文獻(xiàn) [ 1 ]中引入的不等式 , 不易想到 , 缺少一定分析過(guò)程 .文獻(xiàn) [ 2 ] 中用到二項(xiàng)式展開(kāi)式 ,過(guò)程較為繁瑣 . 然而利用均值不等式結(jié)合單調(diào)有界定理證明此問(wèn)題 ,分析思路清晰 ,過(guò)程簡(jiǎn)潔 ,便于理解 . 單調(diào)有界定理與均值不等式 為討論方便 ,將文獻(xiàn) [ 1 ]中定理 2. 9和文獻(xiàn) [3 ]中的均值不等式引述如下 定理 1 (單調(diào)有界定理 ) 在實(shí)系數(shù)中 ,有界的單調(diào)數(shù)列必有極限 . 推論 1 在實(shí)系數(shù)中 ,遞增有上界的數(shù)列必有極限 . 推論 2 在實(shí)系數(shù)中 ,遞減有下界的數(shù)列必有極限 . 定理 2 (均值不等式 ) 設(shè) 12, , , nx x x 為 n個(gè)正實(shí)數(shù) ,則有? ?1 2 1 21 nnnx x x x x xn ? ? ? ? ? ? ? (其中“ =”當(dāng)且僅當(dāng) 12 nx x x? ? ? 時(shí)成立 ) . 均值不等式在數(shù)列收斂證明中的應(yīng)用 問(wèn)題一 :證明數(shù)列 11 nn???????????????收斂 證明 由 1 2 31 1 11 1 11 2 3? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?, 猜想數(shù)列 11 nn???????????????為單調(diào)遞增數(shù)列 ,需證 111111nnnn?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?, 即證 1 11111nn nn? ??? ? ??? ??? 因?yàn)? 1 11 1 11 1 .. . 1 1nn nnn n n? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?.其中 11n? 0. 由定理 2有 11111 . . . 1 11 1 1 2 11 1 . . . 1 1 11 1 1nnnnnnnn n n n n n? ?? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? 畢業(yè)論文 其中 11 1n? ? ≠ 1,故“ =”不成立 ,所以數(shù)列 11 nn???????????????為單調(diào)遞增數(shù)列 ,又因?yàn)? 111 1 11 . . . 11 1 1 1 1 2 2 21 1 . . . 1 12 2 2 2 2 1nnnnnnn n n n? ?? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? 其中 111 22n??,故“ =”不成立 ,故 1122nn??? ? ?????,即 2112nn??? ??????上式對(duì)一切偶數(shù)成立 , 又 11 nn???????????????為單調(diào)遞增數(shù)列 , 故對(duì)一切正整數(shù) n, 有 11 nn??????? 4, 故 11 nn???????????????有上界 . 根據(jù)定理 1推論 1,數(shù)列 11 nn???????????????收斂 . 下面利用這種方法給出另外兩個(gè)問(wèn)題的證明方法 . 問(wèn)題二 :證明數(shù)列 111 nn????????????????收斂 . 證明 比較數(shù)列前幾項(xiàng) , 猜想數(shù)列 111 nn????????????????為單調(diào)遞減數(shù)列 , 下面需要證明1211111nnnn??? ? ? ?? ? ?? ? ? ??? ? ? ?, 即 21 11 1 1 11 1 1 11 1 1nn nn n n n?? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?. 由定理 2 ? ? ? ?? ?211 311 1 ... 1 2 2 21 1 1 11 1 1 ... 1 11 1 1 1 1nnnn n nnn n n n n????? ? ? ??? ? ? ??? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? 下面證明 ? ?? ?? ?232 2 2 1 11n n nnn? ? ? ???化簡(jiǎn)得 ? ? ? ?? ?4 21 2 2 2n n n n n? ? ? ? ? ,即4 3 2 4 3 24 6 4 1 4 6 4n n n n n n n n? ? ? ? ? ? ? ?顯然成立 . 畢業(yè)論文 故 1211111nnnn??? ? ? ?? ? ?? ? ? ??? ? ? ?,所以數(shù)列 111 nn????????????????為單調(diào)遞減數(shù)列 . 又顯然111 nn???????? 0,則數(shù)列有 111 nn????????????????下界 . 根據(jù)定理 1推論 2,數(shù)列 111 nn????????????????收斂 . 問(wèn)題三 :證明數(shù)列 111nn????????????????收斂 證明 由 1 2 31 1 11 1 12 3 4? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?猜想數(shù)列 111nn????????????????為單調(diào)遞增數(shù)列 , 需證 1111112nnnn?? ? ? ?? ? ?? ? ? ???? ? ? ?. 即要證 1 111112nn nn? ??? ? ??????? ,又1111 11 1 1 1 11 1 11 1 2 1 2n n nnn nnnn n n n n???? ???? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?. 由定理 2 ? ? ? ?21 11 1 . . . 11 1 3 121 . . . 12 2 1 1 2n n nnn n n nnn n n n n? ???? ? ? ???? ? ? ????? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?, 所以 ? ? ? ? ? ?1 221 21 1 1 3 1 3 11 1 2 2 1 2 1nn n n n n n nn n n n n n?? ? ? ? ? ? ???? ? ??? ? ? ? ? ??? ?. 下面要明證? ?2 23 1 11 21nn nn?? ?? ?? 化簡(jiǎn)得 : ? ? ? ? ? ? ? ?22 21 3 2 3 1n n n n n? ? ? ? ? ? ,即有 : 3 2 3 25 7 3 5 7 2n n n n n n? ? ? ? ? ? ?,顯然成立 . 因此 1111112nnnn?? ? ? ?? ? ?? ? ? ???? ? ? ?, 故數(shù)列 111nn????????????????為單調(diào)遞增數(shù)列 . 又11111nnnn?? ? ? ?? ? ?? ? ? ???? ? ? ?,由問(wèn)題一知 11141nn??????????. 所以數(shù)列 111nn????????????????有上界 . 畢業(yè)論文 由定理 1推論 1,數(shù)列 111nn????????????????收斂 . 綜上問(wèn)題的證明過(guò)程中 ,有一定的分析的思路 ,過(guò)程簡(jiǎn)潔 ,比較容易