【正文】 畢業(yè)論文 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?22 2111 11 1 1... ...nnkkkk kkb a b ab a b af x f x f x nn f x n n f x f x n?? ? ? ? ??????? ? ? ? ? ? ? ????? ???? ???? ? ? ? ??? 取極限 （ n→ ∞ ） 則有 ? ? ? ? ? ? 2bbaadxf x d x b afx ???? 例 2 ［ 2］ 證明 ： 若函數(shù) ??kfx在 ［ a， b］ 上是正值可積的 ， k=1， 2? n，且 0ab， 則? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 1 111 2 1 1 1. . . . . .b b b bn n nnna a a af x f x f x d x f x d x f x d x f x d x? ? ? ? ? ?? ? ? ????? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? 證明 ： 利用 1212 nn n a a aa a a n? ? ?? ? ? ?有? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?1 2 1 21 2 1 21. . . . . .nnn b b b b b ba a a a a af x f x f x f x f x f xnf x d x f x d x f x d x f x d x f x d x f x d x????? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? 于是 ：? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?1 1 112121 2 1 21.. . .. . 1b b bn n nb nn a a ab b b b b banna a a a a af x d x f x d x f x d xf x f x f x dxnf x d x f x d x f x d x f x d x f x d x f x d x??? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ???? ? ??? ? ? ? ? ? 即 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 1 111 2 1 2. . . . . .b b b bn n nnnna a a af x f x f x d x f x d x f x d x f x d x? ? ? ? ? ?? ? ? ????? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? 例 3 設(shè) f （ x） 在 ［ ０ ， １ ］ 上非負(fù)連續(xù) ， 證明 ： ? ? ? ?10 1ln0f x dxe f x dx? ? ? 證明 ： 由題設(shè)知 f（ x） ， 1nf（ x） 在 ［ ０ ， １ ］ 上可積 ， 將 ［ ０ ，１ ］ n 等分 ， 作積分和 ? ?10 11lim nx iif x d x fnn?? ???? ?????? ? ? 1101 11l n l i m l n l i m l n nn nxxi iiif x d x f fn n n?? ??? ???? ? ? ??? ? ? ? ???? ? ? ???? ?? 所以 ? ?11101l i m l nln1l i mn nx iif n nf x dxnx iie e fn?? ??????????????? ?? ????? ?? ????????? 由均值不等式 1212 nn n a a aa a a n? ? ?? ? ? ?得1111l im l imn nnxx iiiiffn n n? ? ? ? ????? ? ? ??? ? ? ???? ? ? ??? ?? 畢業(yè)論文 故 ? ? ? ?10 1ln0f x dxe f x dx? ? ? 注 1： 此例中的結(jié)論僅僅是著名的 Jensen 不等式的一個特例 。（ 其極限稱為 Euler 數(shù) ） 求極限 limnx n?? 解 ： 利用 1212 nn n a a aa a a n? ? ?? ? ? ? 因為 121 . . . 1 2 2 21 . . . 1 1nnnn n n nn n n nnn??? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ????? 個 有 201n nn? ? ?， 故 lim 1nx n?? ? 證明積分不等式 例 1［ 2］ 證明 ： 若函數(shù) f（ x） 在 ［ a， b］ 連續(xù) ， 且 x∈ ［ a， b］ ，有 f（ x） 0， 則 ? ? ? ? ? ? 2bbaadxf x d x b afx ???? 證明 ： 利用 1212...1 1 1...nna a anna a a? ? ??? ? ?的變形畢業(yè)論文 ? ? 212 121 1 1. . . . . .n na a a na a a??? ? ? ? ? ? ? ?????.由已知條件 ： ??fx與 ??1fx在 ［ a， b］ 上均可積 。 所以數(shù)列 11 nn???????????????單調(diào)有界 ， 由單調(diào)有界定理 ， 數(shù)列極限存在 。 先證不等式 ： 當(dāng)nk 時 ， 111111nknk??? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ?. 設(shè)1 2 1 1k ka a a k?? ? ? ? ? ， 2... 1knaa? ??. 由均值不等式 ? ? ? ?11 1111 1 1 1k nkn k k nk n kk n k n? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ??? ??? ? ? ?? ? ? ? 1111knkn??? ? ? ???? ? ? ???? ? ? ? 因此 ， 111111nknk??? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ? 其次由 111n??， 有111 1 1 11 1 , 1 1n n n kn n n k??? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? 當(dāng) nk 時 ， 任取一個正整數(shù) k， 111 kMk?????????均是數(shù)列 11 nn???????????????的上界 。 ［ １ ］ 證明 ： 先證數(shù)列單調(diào)遞增 。 極限是高等數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容 ， 極限理論是高等數(shù)學(xué)中的基礎(chǔ)理論 。 證明 設(shè) f（ x） ＝ lnx， x∈ （ 0， +∞ ） ,則 f（ x） = 21x? 0,即 f（ x） =lnx 在 x∈ （ 0， +∞ ） 內(nèi)是 嚴(yán) 格 凸函 數(shù) .由 1ia0,λ i 0,i=1,2,?, n,且121 2 1 2 1 2. . . 1nn n n???? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? (3) 由 Jensen 不 等 式 得12 1212 1 2 1 1 2 2 1 2121 1 1l n l n . . ....nnn n n n nna a aa a a? ? ? ?????? ? ? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ???? ? ? ? ?12 12 112 121 2 1 1 2 2 1 21 1 1l n l n . . . l n l n . . . n nn nn n n n a a aa a a ??? ? ? ????? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ? ???畢業(yè)論文 由 y=lnx 的 單 調(diào) 性 知 121212121212......nnnnnna a aa a a? ? ????? ? ????? ? ?????? ? ??? ? ????? 由 Jensen 不 等 式 取 等 號 的 條件 知 ,當(dāng)且僅當(dāng) 1212...nna a a???? ? ? 時 上 式 等 號 成立 . 由 于 ia 0, i? 0,i=1,2,?, n 及 (3)式 ,運(yùn) 用 Jensen 不 等 式 得1 1 2 2 12 121 2 1 2 1 2 1 2...l n l n . . .... n n n nn n n na a a a a a? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ???12 121 2 1 2 1 2l n l n . . . l nn nn n na a a???? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?從而有1212...1 1 2 21212...... ... nn nnnna a aa a a ? ? ???? ? ? ?? ? ? ? ? ???? ? ?? ??? ? ??? 由 Jensen 不 等 式 取 等 號 的 條件 知 ,當(dāng)且僅當(dāng) 1 1 2 2 ... nna a a? ? ?? ? ?時 上 式 等號 成 立 . 注 1:當(dāng)12 1n n? ? ?? ? ? ? 時 ,定理 1 即 為定理 A(均值 不 等 式 ) 1212121 1 1... nn nna a an a a ana a a? ? ???? 推 論 1 設(shè) ia 0, i? 0,i=1,2,?, n,則? ?? ?12121212...1212 ...1212......1 1 1.. . .. .nnnnnnnna a aa a a? ? ????? ? ????? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ????? ? ? ? ? ????? (4) 當(dāng)且僅當(dāng)121 1 1...na a a? ? ?時等號成立；121 2 1 2...121 2 1 212... ... nnn nnnna a aa a a ? ? ???? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ???? ? ?? ??? ? ??? （ 5） 當(dāng)且僅當(dāng) 12 na a a? ? ? 時 等 號 成 立 證 明 由 i? ,ia ＞ 0， i=1,2,?, n,及 (1)得畢業(yè)論文 ? ? ? ? ? ?1212121 1 2 2121 1 2 2......nnnnnnnna a aa a a? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ????? ? ?? ? ?????? ? ??? ? ???即? ?? ?12121212...1212 ...1212......1 1 1.. . .. .nnnnnnnna a aa a a? ? ????? ? ????? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ????? ? ? ? ? ????? 由 定理 1 知 ,當(dāng)且僅當(dāng)121 1 1...na a a? ? ?時 上 式 等 號 成 立 . 由 0iia?? ， i=1,2,?, n,及 (2)得1212121212121 2 1 2......nnnnnnaaaaaa? ? ?