【正文】 配湊 1) 湊系數(shù) 例 1 當 0 x 4 時 ,求 maxy = x (8 2 x) . 解析 由 0 x 4 , 有 8 2 x 0 , 利用均值不等式求最值 ,必須和為定值或積為定值 ,此題為 2 個式子的積的形式 ,但其和不是定值 . 注意到 2 x + (8 2 x) = 8 為定值 ,故只需將 y = x (8 2 x) 湊上一個系數(shù)即可 . ? ? ? ? 21 1 2 8 28 2 2 8 2 82 2 2xxy x x x x ????? ? ? ? ? ??? ???? ?? ,當且僅當 2 x = 8 2 x 即 x = 2 時取等號 ,所以當 x = 2時 , y = x (8 2 x) 的最大值為 8. 點評 本題無法直接運用均值不等式求解 ,但湊上系數(shù)后即可得到和為定值 , 就可利用均值不等式求得最大值 . 2) 湊項 例 2 已知 54x? ,求函數(shù) ? ? 142 45f x x x? ? ? ?的最大值 . 解析 由已知 4 x 5 0 ,首先調(diào)整符號 ,因為 ? ? 14245x x?? ? 不是定值 ,故需對 4 x 2 進行湊項得到定值 . 因為 54x? ,所以 5 4 x 0 , ? ? ? ?115 4 3 2 5 4 3 2 3 15 4 5 4f x x xxx??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ????.當且僅當154 54x x??? 即 x = 1 時等號成立 . 點評 本題需要調(diào)整項的符號 ,又要配湊項的系數(shù) ,使其積為定值 . 3) 分離 例 3 求 ? ?2 7 10 11xxyxx??? ? ?? 的值域 . 解析 本題看似無法運用均值不等式 , 如將分子配方湊出 ( x + 1) ,再將其分離 . ? ? ? ? ? ?21 5 1 4 41511xxyxxx? ? ? ?? ? ? ? ???. 當 x + 1 0 ,即 x 1 時 , ? ? 42 1 5 91yx x? ? ? ? ?? (當且僅當 x = 1 時取“ = ”畢業(yè)論文 號 ) . 當 x + 1 0 ,即 x 1 時 , ? ? 45 2 1 11yx x? ? ? ? ??(當且僅當 x = 3 時取“ = ”號 ) . 故所求的值域為 ( ∞ ,1 ] ∪ [9 , + ∞ ) . 點評 分式函數(shù)求最值 ,通常化成 ? ? ? ?Ay m g x Bgx? ? ? ( A 0 , m 0 , g ( x) 恒正或恒負 ) 的形式 ,然后 運用均值不等式來求 . 整體代換 例 4 已知 a 0 , b 0 , a + 2b = 1 ,求 11t=ab? 的最小值 . 解析 ? ?1 1 1 1 1 1 2 2 21 2 1 2 3 3 2 3 2 2b a b a b aaba b a b a b a b a b a b? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? 當且僅當 2baab? 時取“ = ”號 . 由 221baabab?????? ,得 2121 2ab?????????,即 2121 2ab?????????時 , 11t=ab? 的最小值為 3 2 2? . 點評 本題巧妙運用“ 1”的代換 ,得到 23 bat ab? ? ? ,而 2ba 與 ab 的積為定值 ,即可用均值不等式求得 11t=ab? 的最小值 . 換元 例 5 求函數(shù) 225xy x?? ? 的最大值 . 解析 變量代換 ,令 2tx?? ,則 2 2xt?? ( t ≥ 0) ,則221ty t? ?,當 t = 0 時 , y = 0 ,當 t 0 時 , 1 1 21 412 22y t tt t? ? ?? ?, 當且僅當 12t t? , 即22t? 時取“ = ”號 , 所以 32x?? 時 , max 24y ? . 點評 本題通過變量代換 ,使問題得到了簡化 ,而且將問題轉(zhuǎn)化成熟悉的分式型函數(shù)的最值問題 ,從而為構(gòu)造積為定值創(chuàng)設有利條件 . 取平方 畢業(yè)論文 例 6 求函數(shù) 152 1 5 222y x x x??? ? ? ? ? ????? 的最大值 . 解析 注意到 2 x 1 與 5 2 x 的和為定值 , ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?22 2 1 5 2 4 2 2 1 5 2 4 2 1 5 2 8y x x x x x x? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?. 又 y 0 ,所以 0 2 2y?? ,當且僅當 2 x 1 = 5 2 x ,即 32x? 時取“ = ”號 ,所以 max 22y ? 點評 本題將解析式 2 邊平方構(gòu)造出“和為定值” ,為利用均值不等式創(chuàng)造了條件 . 總之 ,我們利用均值不等式求最值時 ,一定要注意“一正二定三相等” ,同時還要注意一些變形技巧 ,積極創(chuàng)造條件利用均值不等式 . 一般不等式的證明 ,常?？紤]比較法、綜合法、分析法 ,這是高中比較常用的方法 ,但有些不等式運用上述方法不好入手 ,故考慮均值 不等式或者均值不等式與綜合法相結(jié)合 ,這樣處理 ,常常使復雜問題簡單化 ,從而達到證明的目的。若 f(x)≤ 0,不 等 式 反 號 . 主 要結(jié) 論 定理 1 設 ia ＞ 0， i? ＞ 0， i＝ 1， 2， ? ， n,則 1212...12121212.........nn nnnna a aa a a? ? ???? ? ? ????? ? ?????? ? ??? ? ????? (1) 當且僅當 1212...nna a a???? ? ? 時等號成立； 1212...1 1 2 21212...... ... nn nnnna a aa a a ? ? ???? ? ? ?? ? ? ? ? ???? ? ?? ??? ? ??? (2) 當且僅當 1 1 2 2 ... nna a a? ? ?? ? ?時等號成立。 解 :由③式得 ? ?22 22a b a b? ? ? ? ?22 22b c b c? ? ? ? ?22 22c a c a? ? ?所以 2 2 2 2 2 2a b b c c a? ? ? ? ? ≥? ?22 a b b c c a? ? ? ? ?= 2 例 13:一段長為 L的籬笆圍成一個一邊靠墻的矩形菜園 ,問這個矩形的長、 各為多少時 ,菜園的面積最大 ,最大的面積是多少 ? 解 :設矩形的長為 x,則寬為 2Lx? ， 于是 ,菜園面積為 : ? ? 2 21 1 12 2 2 2 2L x x L xS x x L x L? ? ???? ? ? ? ????? 當且僅當 x =L x,即 12xL? 時取等號。 解 :由①式得 , 2221 6 6 4() 2 2 ( )b a b ab a b b a b a??? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? 所以 2221 6 6 4 2 6 4 1 6()aab a b a? ? ? ? ??,故 2 16()a b a b? ?的最小值是 16。 故 2 1 2 1ab? ? ?滿足條件的最大值是 22。 ③ ? ?22a b a b? ? ? 當且僅當 a = b時 ,上面三式取等號 ,這 三個式子雖然是由均值不等式推廣而得 ,但掌握并應用于解題之中 ,有時候比均值不等式更有效 ,起到事半功倍的效果。故 2xy x? 取最小值是 3。 例 9:已知 0?xy 2xy= 2,求 2xy x? 的最小值 ,并求 yx, 的值。有些問題 ,表面只給出兩個正數(shù) ,需要巧妙地拆開部分項 ,形成三個或者三個以上的正數(shù) ,才能湊成這些正數(shù)的“和”或“積”為定值 ,再用多個正數(shù)的均值 不等式求解。 例 5:過點 )1,2(p 作直線 L交 X , Y軸正向于 A, B 兩點 , 求 L的方程 ,使三角形AOB 的面積最小。 例 2:若 20 ??x ,則函數(shù) )(xf = 3 (8 3 )xx? 的最大值是 ———— . 畢業(yè)論文 解 : )(xf = 3 (8 3 )xx? ≤ 3 (8 3 )2xx?? =4 ， 故 )(xf 的最大值是 4 例 3:代數(shù)式 224 1x x? ?的最小值是 _———— 解 : 224 1x x? ?= 224111x x? ? ??=24? 1=3 故 224 1x x? ?的最小值是 3。 一個題目同時滿足上述三個條件 ,或者可以變形成適合以上條件的 ,便可用均值不等式求 ,這就幫助學生在解題時迅速找到了突破口 ,從而找到正確方法 ,快速簡易地求最值。 條件 2:各變數(shù)的和或積要為常數(shù) ,以確保不等式的一端為定值 ,否則執(zhí)行拆項或添項變形 。經(jīng)研究后 ,歸納出 3個用均值不等式求最值問題的適用條件。若兩個正數(shù)的和為常數(shù) ,當且僅當它們相等時 ,它們的積有最大值。 對均值不等式的深刻理解和掌握 ,弄清楚其運用條件 ,便能在解題中快速找到突破口 ,進而找到正確解決問題的方法。即兩個正數(shù)的算術平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)。 總之 ,對均值不等式的學習研究 ,理解掌握和運用 ,對數(shù)學問題的解答 ,對實際生活和生產(chǎn)實際中應用數(shù)學問題的處理 ,對學生學習的能力和素質(zhì)的培養(yǎng) ,都具有極為重要的意義。但是我們要注意，求解最值時請一定要注意相等條件，若多次利用均值不等式求 解最值，則必須注意這些不等式等號成立的條件是否一致，只有在一致的條件下才有可能達到最值?？梢哉f均值不等式的發(fā)現(xiàn)，驗證和應用也是數(shù)學文化的精髓所在。本文通過實例講解均值不等式 ,并延伸擴展相關問題，綜合運用并進一步探討，將研究均值不等式所得 相關結(jié)果 ,用以解決最值問題、不等式證明以及實際生活中的數(shù)學應用的實際問題。渤海大學本科畢業(yè)論文 渤海大學本科畢業(yè)論文題目 關于均值不等式的探討 The Subject o f U ndergradua te Gra dua ti o n P ro ject o f DUT D ISC U SSION ON IN EQU ALITY 學院（系）： 數(shù) 理學院數(shù)學系 專業(yè)班級： 數(shù)學與應用數(shù)學 101 學號： 10020208 入學年制： 2020年 9 月 學生姓名： 李雪琴 指導教師： 宋燕 完成日期： 2020年五月 2020年 3 月 10 日 渤海大學 Bohai university畢業(yè)論文 摘要 不等式主要研究數(shù)的不等關系 ,是進一步學習數(shù)學的基礎 ,是掌握現(xiàn)代科學技術的重要工具。均值不等式是不等式內(nèi)容的重要組成部分 ,世界上的很多國家 ,對均值不等式的教學都有其具體要求 ,在高中《課程標準》里面都對這部分內(nèi)容的教學做了明確的規(guī)定 .其內(nèi)容在中學數(shù)學課程中也占有十分重要的地位 ,而國內(nèi)外專門針對該知識點的研究比較少。 關鍵詞 均值不等式，最值問題 ， 數(shù)學應用 畢業(yè)論文 The subject of Undergraduate Graduation Project (Thesis) BHU DISCUSSION ON INEQUALITY Abstract Inequality mainly studies several relations, is the foundation of further study mathematics, is an important tool to master modern science and inequality is the inequality content is an important part of many countries in the world, the average inequality has its s