均值不等式的應(yīng)用-文庫(kù)吧資料
2024-10-27 19:15本頁(yè)面
【正文】 3+13x驏x即x+3x+1桫=max.輊11故a179。04?2（舍）16，當(dāng)且僅當(dāng)x=y=4時(shí)，等號(hào)成立.（三).不等式與恒成立問(wèn)題x0，163。18 1故y179。琪琪0,3桫2時(shí)，,b為正實(shí)數(shù)，2b+ab+a=30，求函數(shù)y=的最：法一：由2b+ab+a=30得a=302bb+1所以ab=302b2b2+30b+1bbb+1由a,b為正實(shí)數(shù)得0ab=2t2+34t32t=2驏琪琪t16+34 桫t?2 34=18故y179。=y24(32x)：因?yàn)?3，所以32x0故y=4x(32x)=2 2x(32x)163。239。=y，即x=y=時(shí)等號(hào)成立239。237。x=12239。239。(2)若今年是第1年,則第幾年年利潤(rùn)最高?最高利潤(rùn)為多少萬(wàn)元?第四篇：均值不等式的變形和應(yīng)用均值不等式的變形和應(yīng)用一、變形,b是正實(shí)數(shù)，則a2ab+b 2a或+ 2（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立）bba,b,c是正實(shí)數(shù)，則a2+b2+c2?abbc+ca（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立）,b是正實(shí)數(shù)，則a+b22ab（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)a+b成立）,a2,b1,b2是實(shí)數(shù)，則(2222a1+a2b1+b2?a1b1a2b2（當(dāng)且僅當(dāng)a1:a2=b1:b2)()()時(shí)，等號(hào)成立）二、應(yīng)用（一).在求最值中的應(yīng)用在求最值時(shí)，要利用湊項(xiàng)、湊系數(shù)、分離和換元等方法，使兩個(gè)整數(shù)的和或積或平方和為定值，以利用均值不等式。2x+3x+1,每只產(chǎn)品的銷(xiāo)售價(jià)為10元,每只產(chǎn)品固定成本為8元,今年,工廠第一次投入100萬(wàn)元,并計(jì)劃以后每年比上一年多投入100萬(wàn)元,預(yù)計(jì)銷(xiāo)售量從今年開(kāi)始每年比上一年增加10萬(wàn)只,第n次投入后,每只產(chǎn)品的固定成本為g(n)=k0,k為常數(shù),n206。若對(duì)任意x0,22x163。1，則3+9的最小值為_(kāi)__________。、11ba+、+179。（1）現(xiàn)有可圍36米長(zhǎng)鋼筋網(wǎng)的材料，每間虎籠的長(zhǎng)、寬各設(shè)計(jì)為多少時(shí)，可使每間虎籠面積最大？（2）若使每間虎籠面積為24m，則每間虎籠的長(zhǎng)、寬各設(shè)計(jì)為多少時(shí)，可使四間虎籠的鋼筋網(wǎng)總長(zhǎng)最??？五、當(dāng)堂檢測(cè)若a,b206。8 xxyyzz1(a+b+c)2179。x+12.（2013天津數(shù)學(xué)）設(shè)a + b = 2, b0, 則當(dāng)a = ______時(shí),考向二、利用均值不等式證明簡(jiǎn)單不等式例已知x0,y0,z0，求證：（變式訓(xùn)練已知a,b,c都是實(shí)數(shù)，求證：a+b+c179。x長(zhǎng)為24cm的鐵絲做成長(zhǎng)方形模型，則模型的最大面積為_(kāi)__________。2；③x2+2179。3 22給出下列不等式：①a+1179。C、a+b179。0，且a+b=2，則（）112222A、ab163。R）（4）222三、學(xué)情自測(cè)已知a179。R）（3）ab163。2(a,b同號(hào)）aba2+b2a+b2a+b2179。幾個(gè)重要的不等式（1）a+b179。；2（1）均值不等式成立的條件是_________.（2）等號(hào)成立的條件是：當(dāng)且僅當(dāng)_________時(shí)取等號(hào).（3）其中_________稱(chēng)為正數(shù)a,b的算術(shù)平均值，_________稱(chēng)為正數(shù)a，M21）.兩個(gè)正數(shù)的和為定值時(shí)，它們的積有最大值，即若a，b∈R，且a＋b＝M，M為定值，則ab≤，4＋等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)a＝：和定積最大。,16]應(yīng)用四：均值定理在比較大小中的應(yīng)用： 例：若ab1,P=lgalgb,Q=1a+b(lga+lgb),R=lg()，則P,Q,R的大小關(guān)系是22分析：∵ab1 ∴l(xiāng)ga0,lgb0（lga+lgb)algb=p 2a+b1R=lg()lgab=lgab=Q∴RQP。xy條件：m≤(x+y)的最小值，m206。應(yīng)用三：均值不等式與恒成立問(wèn)題例：已知x0,y0且1+9=1，求使不等式x+y179。232。232。3232。231。231。當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=111=8231。230。230。230。\11=1a=b+c179。+解：Qa、b、c206。232。232。8232。1247。1247。1247。求證：230。已知a、b、c206。230。230。故ymax= 2評(píng)注：本題將解析式兩邊平方構(gòu)造出“和為定值”，為利用均值不等式創(chuàng)造了條件。4+(2x1)+(52x)=8又y0，所以0y163。解析：注意到2x1與52x的和為定值。W＞0，W2＝3x＋2y＋23x y ＝10＋3x 2y ≤10＋3x)2＝2 x2＋22下面將x，1y ＋分別看成兩個(gè)因式： 22x＋x＋ ≤222技巧八、取平方2y 212＋)x＋ ＋ 22223＝ ＝即1＋y＝2 R且a+b=1，求x+y最小值xyy 2技巧七、已知x，y為正實(shí)數(shù)，且x＋ ＝1，求x1＋ 2＋b2分析：因條件和結(jié)論分別是二次和一次，故采用公式ab≤。xyxyxy變式：（1）若x,y206。xy248。=++10179。y9x19正解：∵x0,y0,+=1，\x+y=(x+y)231。230。xy成立條件是=即y=9x,取等號(hào)的條件的不一致，產(chǎn)生錯(cuò)誤。錯(cuò)因：解法中兩次連用均值不等式，在x+y179。248。(x+y)179。+=1，\x+y=231。xy19230。(0,p)y=2x+,x3,(x0)()(3)（1）y=（2）sinxx3x2．已知0x1，求函數(shù)y3．0x.；，求函數(shù)yab+b=2，則3+： 3和3都是正數(shù)，3+3≥23a3b=3a+b=6ababababab當(dāng)3=3時(shí)等號(hào)成立，由a+b=2及3=3得a=b=1即當(dāng)a=b=1時(shí)，3+3的最小值是6．變式：若log4x+log4y=2，求+,y的值xy技巧六：整體代換：多次連用最值定理求最值時(shí)，要注意取等號(hào)的條件的一致性，否則就會(huì)出錯(cuò)。248。5235。練習(xí)．求下列函數(shù)的最小值，并求取得最小值時(shí)
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