均值不等式的證明-文庫(kù)吧資料
2024-11-05 22:00本頁(yè)面
【正文】 a(k+1)。假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)命題成立，即((a1+a2+…+ak)/k)^k≥a1a2…ak。原題等價(jià)于：((a1+a2+…+an)/n)^n≥a1a2…an。引理：設(shè)A≥0，B≥0，則(A+B)^n≥A^n+nA^(n1)B。概念：調(diào)和平均數(shù)：Hn=n/(1/a1+1/a2+...+1/an)幾何平均數(shù)：Gn=(a1a2...an)^(1/n)算術(shù)平均數(shù)：An=(a1+a2+...+an)/n平方平均數(shù)：Qn=√這四種平均數(shù)滿(mǎn)足Hn≤Gn≤An≤Qnaa…、an∈R+，當(dāng)且僅當(dāng)a1=a2=…=an時(shí)勸=”號(hào)均值不等式的一般形式：設(shè)函數(shù)D(r)=^(1/r)(當(dāng)r不等于0時(shí))。y178。a1+a2+L+ak+1 s=a1+a2+L+ak用歸納假設(shè)下面介紹個(gè)好理解的方法琴生不等式法琴生不等式：上凸函數(shù)f(x),x1,x2,L,xn是函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)的任意n個(gè)點(diǎn)，設(shè)f(x)=lnx，f(x)為上凸增函數(shù)所以，在圓中用射影定理證明（半徑不小于半弦）第三篇：均值不等式證明均值不等式證明一、已知x,y為正實(shí)數(shù)，且x+y=1求證xy+1/xy≥17/41=x+y≥2√(xy)得xy≤1/4而xy+1/xy≥2當(dāng)且僅當(dāng)xy=1/xy時(shí)取等也就是xy=1時(shí)畫(huà)出xy+1/xy圖像得01時(shí)，單調(diào)增而xy≤1/4∴xy+1/xy≥(1/4)+1/(1/4)=4+1/4=17/4得證繼續(xù)追問(wèn)：拜托，用單調(diào)性誰(shuí)不會(huì)，讓你用均值定理來(lái)證補(bǔ)充回答：我真不明白我上面的方法為什么不是用均值不等式證的法二：證xy+1/xy≥17/4即證4(xy)178。An+nA(n1)Bn注：引理的正確性較明顯，條件A≥0，B≥0可以弱化為A≥0，A+B≥0(用數(shù)學(xué)歸納法)。abc(10)對(duì)實(shí)數(shù)a,b,c，有均值不等式的證明：方法很多，數(shù)學(xué)歸納法（第一或反向歸納）、拉格朗日乘數(shù)法、琴生不等式法、排序不等式法、柯西不等式法等等用數(shù)學(xué)歸納法證明，需要一個(gè)輔助結(jié)論。0(5)對(duì)非負(fù)實(shí)數(shù)a,b，有(8)對(duì)實(shí)數(shù)a,b,c，有a2+b2+c2179。b(ab)a2+b2179。R+，當(dāng)且僅當(dāng)a1=a2=L=an時(shí)取“=”號(hào)僅是上述不等式的特殊情形，即D(1)≤D(0)≤D(1)≤D(2)由以上簡(jiǎn)化，有一個(gè)簡(jiǎn)單結(jié)論，中學(xué)常用均值不等式的變形：(1)對(duì)實(shí)數(shù)a,b，有a2+b2179。An163。第二篇：常用均值不等式及證明證明常用均值不等式及證明證明這四種平均數(shù)滿(mǎn)足Hn163。而反向數(shù)學(xué)歸納法是在知道n成立的前提下，對(duì)比n小的數(shù)進(jìn)行歸納，指“平方平均”大于“算術(shù)平均”大于“幾何平均”大于“調(diào)和平均”我記得好像有兩種幾何證法，一種三角證法，一種代數(shù)證法。這些都很簡(jiǎn)單的用a+b=√(ab)可以證明得到關(guān)鍵是下面的反向數(shù)學(xué)歸納法如果n成立對(duì)n1，你令an=(n1)次√(a1a2...a(n1)然后代到已經(jīng)成立的n的式子里，整理下就可以得到n1也成立。第一篇：均值不等式的證明均值不等式的證明設(shè)a1,a2,a3...an是n個(gè)正實(shí)數(shù)，求證(a1+a2+a3+...+an)/n≥n次√(a1*a2*a3*...*an).要簡(jiǎn)單的詳細(xì)過(guò)程，謝謝！！你會(huì)用到均值不等式推廣的證明，估計(jì)是搞競(jìng)賽的把對(duì)n做反向數(shù)學(xué)歸納法首先歸納n=2^k的情況k=1。k成立k
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