均值不等式的證明5篇-文庫吧資料
2024-11-05 18:47本頁面
【正文】 )移項即證(sqrt(a)sqrt(b))≥0顯然成立此不等式中a+b可以表示一條直徑的兩部分，(a+b)/2=rsqrt(ab)就是垂直于直徑的弦，而r≥弦的一半(ab)≥2/1/a+1/b兩邊同時乘上1/a+1/b即證sqrt(ab)*(1/a+1/b)≥2而sqrt(ab)*(1/a+1/b)=sqrt(a/b)+sqrt(b/a)≥2。所以得證n=2^k中k是什么范圍k是正整數(shù)第一步先去歸納2，4，8，16，32...這種2的k次方的數(shù)一般的數(shù)學歸納法是知道n成立時，去證明比n大的時候也成立。k成立k+1。用歸納假設下面介紹個好理解的方法琴生不等式法琴生不等式：上凸函數(shù)f(x)，x1,x2,...xn是函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)的任意n個點，則有：f≥1/n*設f(x)=lnx，f(x)為上凸增函數(shù)所以，ln≥1/n*=ln即(x1+x2+...+xn)/n≥(x1*x2*...*xn)^(1/n)在圓中用射影定理證明(半徑不小于半弦)。那么當n=k+1時，不妨設a(k+1)是a1，a2，…，a(k+1)中最大者，則ka(k+1)≥a1+a2+…+ak。當n=2時易證。注：引理的正確性較明顯，條件A≥0，B≥0可以弱化為A≥0，A+B≥0,有興趣的同學可以想想如何證明(用數(shù)學歸納法)。(a1a2...an)^(1/n)(當r=0時)(即D(0)=(a1a2...an)^(1/n))則有：當r注意到Hn≤Gn≤An≤Qn僅是上述不等式的特殊情形，即D(1)≤D(0)≤D(1)≤D(2)由以上簡化，有一個簡單結(jié)論，中學常用2/(1/a+1/b)≤√ab≤(a+b)/2≤√方法很多，數(shù)學歸納法(第一或反向歸納)、拉格朗日乘數(shù)法、琴生不等式法、排序不等式法、柯西不等式法等等用數(shù)學歸納法證明，需要一個輔助結(jié)論。417xy)/4xy=(14xy)(4xy)/4xy≥0∴xy+1/xy≥17/4試問怎樣叫“利用均值不等式證明”，是說只能用均值不等式不能穿插別的途徑?!二、已知abc，求證：1/(ab)+1/(bc)+1/(ca)0ac=(ab)+(bc)≥2√(ab)*(bc)于是ca≤2√(ab)*(bc)即：1/(ca)≥1/【2√(ab)*(bc)】那么1/(ab)+1/(bc)+1/(ca)≥1/(ab)+1/(bc)1/【2√(ab)*(bc)】≥2/【√(ab)*(bc)】1/【2√(ab)*(bc)】=(3/2)/【2√(ab)*(bc)】0三、調(diào)和平均數(shù)：Hn=n/(1/a1+1/a2+...+1/an)幾何平均數(shù)：Gn=(a1a2...an)^(1/n)算術(shù)平均數(shù)：An=(a1+a2+...+an)/n平方平均數(shù)：Qn=√(a1^2+a2^2+...+an^2)/n這四種平均數(shù)滿足Hn≤Gn≤An≤Qn的式子即為均值不等式。17xy+4≥0即證(4xy1)(xy4)≥0即證xy≥4，xy≤1/4而x,y∈R+，x+y=1顯然xy≥4不可能成立∵1=x+y≥2√(xy)∴xy≤1/4，得證法三：∵同理0xy+1/xy17/4=(4x178。(3,4)）2關(guān)于的方程2axx1=0在（0,1）內(nèi)恰有一解，求實數(shù)a的取值范圍(1,+165。162,95249。1）1關(guān)于x的方程2kx2x3k2=0有兩個實數(shù)根，一個小于1，另一個大于1，求實數(shù)k的取值范圍（k＞0或k＜4）21為使方程x22px1
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