不等式的證明方法畢業(yè)論文-文庫吧資料
2025-06-30 19:24本頁面
【正文】 證明所要證明的不等式.例11 設(shè)，且，求證：.證明 設(shè)，則代入中得 ，即 因?yàn)椋裕? 即 ，解得 ，故. 標(biāo)準(zhǔn)化法[10]形如的函數(shù)，其中，且為常數(shù)，則當(dāng)?shù)闹抵g越接近時(shí)，的值越大（或不變）；當(dāng)時(shí)，取最大值，即.標(biāo)準(zhǔn)化定理：當(dāng)為常數(shù)時(shí)，有.證明：記，則, 求導(dǎo)得 ，由得 ，即.又由 ,知的極大值點(diǎn)必在時(shí)取得.由于當(dāng)時(shí)，故得不等式.同理，可推廣到關(guān)于個(gè)變?cè)那樾?例12 設(shè)為三角形的三內(nèi)角，求證：.證明 由標(biāo)準(zhǔn)化定理得，當(dāng)時(shí)， ， 取最大值，故 . 分解法按照一定的法則，把一個(gè)數(shù)或式分解為幾個(gè)數(shù)或式，使復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為簡單易解的基本問題，以便分而治之，各個(gè)擊破，從而達(dá)到證明不等式的目的.例12 ，且，求證：證明：因?yàn)?所以 3 利用函數(shù)證明不等式 利用函數(shù)單調(diào)性函數(shù)單調(diào)性本身就是不等式，此方法的關(guān)鍵是把要證明的不等式分中值定理來證明，其關(guān)鍵是構(gòu)造一個(gè)輔助函數(shù)，然后利用公式證明。用放縮法證明數(shù)列不等式，關(guān)鍵是要把握一個(gè)度，如果放得過大或縮得過小，就會(huì)導(dǎo)致解決失敗。若分子, 分母同時(shí)存在變量時(shí), 要設(shè)法使其中之一變?yōu)槌Ａ?。? 已知，求證明 因?yàn)槌闪ⅲ? 所以 =有成立。 分式放縮一個(gè)分式若分子變大則分式值變大，若分母變大則分式值變小，一個(gè)真分式，分子、分母同時(shí)加上同一個(gè)正數(shù)則分式值變大，利用這些性質(zhì)，可達(dá)到證題目的。證明 因?yàn)? 利用均值不等式 ∴ ∵ 兩端的結(jié)構(gòu)、數(shù)字具有如下特征： （1） 次數(shù)相等； （2） 項(xiàng)數(shù)相等或不等式右側(cè)系數(shù)與左側(cè)項(xiàng)數(shù)相等； （3） 一邊為和一邊為積。分析 由，聯(lián)想基本不等式成立的條件，把代換中的“1”， 要證不等式變?yōu)?，即。本題通過化簡整理之后，再利用基本不等式，由放大，最終得到要證的不等式。 已知，證明：不等式對(duì)任意正整數(shù)都成立。推廣：（當(dāng)且僅當(dāng)=時(shí)取“”）；當(dāng)， 為正數(shù)時(shí)，（當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)取“”）。 “添舍”放縮通過對(duì)不等式的一邊進(jìn)行添項(xiàng)或減項(xiàng)，即不等式中，通過傳遞性，添加或舍去某項(xiàng)，使得不等式的和（或積）變大或變小，以達(dá)到解題目的。 放縮法 在證題過程中，根據(jù)不等式的傳遞性，常采用舍去一些正項(xiàng)（或負(fù)項(xiàng)）而使不等式的各項(xiàng)之和變?。ɑ蜃兇螅?，或把和（或積）里的各項(xiàng)換以較大（或較?。┑臄?shù)，或在分式中擴(kuò)大（或縮?。┓质街械姆肿樱ɑ蚍帜福?，從而達(dá)到證明的目的。對(duì)一些結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜，變量較多，變量之間的關(guān)系不甚明了的不等式，可引入一個(gè)變量進(jìn)行代換，以便簡化原有的結(jié)構(gòu)或?qū)崿F(xiàn)某種轉(zhuǎn)化與變通，給證明帶來新的啟迪和方法。例 若，求證：。證明 設(shè)，則 == = 三角代換法,多用于條件不等式的證明，當(dāng)所給條件較復(fù)雜，一個(gè)變量不易用另一個(gè)變量表示，這時(shí)可考慮三角代換，將兩個(gè)變量都有同一個(gè)參數(shù)表示。例6 已知：，求證：證明： 設(shè)，則；設(shè)，則所以 已知，證明：。 三角代換法
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