本科畢業(yè)論文正定二次型與不等式-文庫吧資料
2025-06-30 19:47本頁面
【正文】 定的, 從而. 這就證明了不等式(2). 設(shè), , , , , 皆為實數(shù). 求證: 不等式 (3)對任意實數(shù)成立的充要條件是,.且.證明 設(shè)二次型,則其矩陣為.因為對任意實數(shù), 等價于半正定。(ⅲ) 存在實可逆矩陣, 使, 其中, 。 inequality 目 錄 摘 要 IAbstract II0 引言 11 正定二次型及半正定二次型的定義和性質(zhì) 12 若干代數(shù)不等式 23 幾個矩陣(或行列式)不等式 64 兩個幾何不等式 10參考文獻 130 引言二次型理論作為線性代數(shù)中的基礎(chǔ)知識[1~3], 其應(yīng)用非常廣泛. 而且二次型的理論在數(shù)學(xué)的其他分支及物理、力學(xué)、工程技術(shù)中也常常用到. 另一方面, 不等式作為一個極具魅力的領(lǐng)域, 對其研究也是一直長盛不衰, 除了一些不等式研究成果大量涌現(xiàn)外, 一些新的證明不等式的方法不時面世. 文[4~6]是這方面的一個真實寫照. 本文主要討論如何利用二次型的正定性或半正定性證明有關(guān)代數(shù)的、或幾何的不等式, 也是對如何利用高等數(shù)學(xué)中的觀點和方法來研究初等數(shù)學(xué)問題作一個嘗試. 1 正定二次型及半正定二次型的定義和性質(zhì)為方便起見, 首先給出二次型的相關(guān)概念及性質(zhì), 這些性質(zhì)的證明均可見[7]. 定義 數(shù)域上的元二次齊次多項式稱為數(shù)域上的一個元二次型. 在不致引起混淆時簡稱二次型.當是實數(shù)域時, 二次型稱為實二次型. 對于一個元實二次型, 如果對任意不全為零的實數(shù)都有, 則稱為正定二次型. 如果對任意實數(shù)都有, 則稱為半正定二次型.如果記, . 則二次型可簡單地表示為,其中, 對稱矩陣稱為二次型的矩陣, 當實二次型正定(或半正定)時, 也稱實對稱矩陣正定(或半正定). 定理1 階實對稱矩陣正定的充分必要條件是: 矩陣的順序主子式全大于零 ． 定理2 階實對稱矩陣正定的充分必要條件是: 矩陣的特征值全大于零． 定理3 階實對稱矩陣正定的充分必要條件是: 存在級實可逆矩陣, 使得．以上三個定理在任何一本高等代數(shù)教材中都可以見到.關(guān)于實二次型半正定性的判定有如下等價條件[2].定理4 設(shè)是階實對稱矩陣, 則下列條件等價: (ⅰ) 是半正定的。 positive definite。 不等式
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