本科畢業(yè)論文正定二次型與不等式-在線瀏覽
2024-08-04 19:47本頁面
【正文】 明 考慮二次型. 不難知道,因此二次型是半正定的. 由定理4(ⅳ), 二次型的矩陣的所有主子式非負. 而二次型的矩陣為,則, 故不等式(6)成立.特別地, 當(dāng)時, 所以 . (7)再記, 則(7)式即著名的Cauchy不等式.從這里可以看出,不等式(6)是Cauchy不等式的一個推廣. 設(shè), 其中, 為階實對稱矩陣, 為實常數(shù), , 為中的固定向量, 證明:(1) 任給, 恒有的充要條件是:, 且任給恒有的充要條件是: 。 反之, 如果, 則由(8)式及的正定性即知, 任給恒有, 故(1)的前一結(jié)論得證. 將剛才推理過程中的“”改為“”, 即證得(1)的后一結(jié)論. 而(2)的兩個結(jié)論分別是(1)的兩個結(jié)論的逆否命題, 既然(1)的兩個結(jié)論成立, 當(dāng)然(2)的兩個結(jié)論也成立. 設(shè)皆為矩陣, 且其中至少有一個是列滿秩的, 則對任意個維列向量有. (9)等式成立當(dāng)且僅當(dāng)存在使.證明 考慮元實二次函數(shù). (10)由(注意:是一個實數(shù)). 當(dāng)時, . 于是. 這樣便有. 等式成立當(dāng)且僅當(dāng).由于正定, 重復(fù)上面的證明即得, 即. 現(xiàn)在證明不等式(12). 若, 則不等式(12)顯然成立. 若, 則是正定的, 由剛才所證命題即知不等式(12)也成立. 特別地，設(shè), 取 , 則有, 于是由不等式(12)即得以下一個有趣的不等式 . (13)可以證明, 不等式(13)中等式成立的充要條件是: .4 兩個幾何不等式 幾何不等式中也不乏可用實二次型處理的例子. 這里僅舉兩例以說明. 設(shè)是一個三角形的三個內(nèi)角, 證明: 對任意實數(shù), 都有 . (14)證法1 設(shè)二次型,則其矩陣為,因, 所以, 代入矩陣并對進行初等行變換, 得.于是矩陣的特征值為0, 1, , 它們均不小于等于0, 從而由定理4(ⅴ)可知二次型是半正定的, 因此對于任意實數(shù), 都有. 不等式(14)得證. 證法2 因為矩陣的一階主子式, 三個二階主子式分別為, ,.顯然其二階主子式皆大于零. 又其三階主子式.而, , 所以.這就是說,
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