【正文】 ................................................... 20 參考文獻 ....................................................................................................................................... 21 致謝 .............................................................................................................................................. 21 10 1 構(gòu)造法概述 構(gòu)造法的含義 如何界定構(gòu)造法？關(guān)于構(gòu)造法，目前主要是從兩個 方面來理解。 從這個定義出發(fā)，構(gòu)造法就有了有限性、能行性的規(guī)定。從微觀方面來說，構(gòu)造法是根據(jù)所要解決的具體問題，展開聯(lián)想，有針對性的構(gòu)造某種切合數(shù)學(xué)問題的模型，進而尋找到問題解決的途 徑。 構(gòu)造法歷史 可以說，構(gòu)造思想伴隨著數(shù)學(xué)產(chǎn)生。而取得這些成就的方法，多是構(gòu)造性方法。在西方，畢達哥拉斯學(xué)派的一名成員帕索斯根據(jù)該數(shù)學(xué)學(xué)派所發(fā)現(xiàn)的畢達哥拉斯定理，構(gòu)造出一個直角邊長都是自然數(shù)“ 1”的等腰直角三角形，從而發(fā)現(xiàn)了不可公度量 2 。這即是第一次數(shù)學(xué)危機。歐幾里得對 這個問題給出肯定的回答。假設(shè)素數(shù)只有有限個： 12, ,..., np p p 。但是 1 1 21 ...nnp p p p?? ? ?，這表明，自然數(shù) 1 可以被大于 1 自身的某個素數(shù)整除，這同樣是荒謬的。從歐幾里得的證法我們不難看出構(gòu)造法在其中的運用。《原本》是一部精致的借助演繹推理的系統(tǒng)。對歐幾里得第五公社的研究使數(shù)學(xué)家們認識到，作為公理化方法最原初的公設(shè)，可以是構(gòu)造的，甚至不必是“真理”，只要 不違反公理選擇的獨立性原則、相容性原則、協(xié)調(diào)性原則，就可以建立一整套數(shù)學(xué)。這種認識在歐幾里得之前是不可思議的。 此后，數(shù)學(xué)得到了長足的發(fā)展 —— 非歐幾何的建立、康托集合的誕生。 1919 年，著名哲學(xué)家兼數(shù)學(xué)家羅素以通俗化的語言描述了這一悖論，即為羅素悖論。并形成了三大 數(shù)學(xué)學(xué)派。羅素本人在《數(shù)學(xué)原理》中用構(gòu)造層次論建立起宏大的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，避開了邏輯上的缺陷。將構(gòu)造思想發(fā)展到極致的是布勞威爾，他否認排中律，主張一切數(shù)學(xué)對象必須能像自然數(shù)那樣能被在有限步驟內(nèi)構(gòu)造出來才可以認為是存在的，這就是著名的“存在必須被構(gòu)造”。但是由于直覺主義學(xué)派否認排中律，即否認反證法，大部分已知的數(shù)學(xué)必須被拋棄，數(shù)學(xué)家并不接受。吳文俊院士說，由于計算機的發(fā)展，構(gòu)造性數(shù)學(xué)在不遠的將來獲得大的發(fā)展，甚至成為數(shù)學(xué)的主流。中 學(xué)幾何中，作輔助線、因式分解中加項減項就是最生動的體現(xiàn)。但是應(yīng)當(dāng)看到，任何事物都有兩面性。由于構(gòu)造法具有極強的針對性，往往是一題一構(gòu)造，適用性并不強。題目該怎么解就怎么解，以自然為上，要像“呼吸一樣自然”。單遵教授說拿到題目的第一步就是仔細閱讀題，理解題意。 （ 3） 根據(jù)已知條件和已知知識，準(zhǔn)確構(gòu)造相關(guān)數(shù)學(xué)模型。 2 模型概述 模型歸納 和中學(xué)數(shù)學(xué)其他知識點相比，不等式證明手段千變?nèi)f化，充滿奇思妙想，極富數(shù)學(xué)美，構(gòu)造法集中體現(xiàn)了這一點。運用這一方法需要構(gòu)造一些數(shù)學(xué)模型。參照以往文獻，我認為，加強命題是一種強有力的模型，加強命題就是把命題轉(zhuǎn)化為更強的命題，使得問題明朗化。如何思考比得出結(jié)果具有更大的意義。但是大致來說，我們頭腦中的某些觀念總是在不知不覺的影響著我們的行為。我認為，它們在很大程度上決定了我們在用構(gòu)造法證明不等式時是否能夠成功。除此而外，重要的構(gòu)造思想還有審美構(gòu)造、聯(lián)想構(gòu)造、直覺構(gòu)造、類比構(gòu)造、歸納構(gòu)造、逆向構(gòu)造、賦義構(gòu)造、調(diào)頻構(gòu)造。基于這樣一種追求，我們常能發(fā)現(xiàn)巧妙的方法。人們對簡單美好的事物的追求總會對人的行為產(chǎn)生潛意識的影響，指導(dǎo)著人的判斷和抉擇。站在審美的角度構(gòu)造數(shù)學(xué)模型，稱之為審美構(gòu)造。雖然表面上顯得更加“繁”，但因為增加了反面這一條件，有時反而利于問題的解決，總體的看，這是一種由繁到簡的思維過程。這些思想超越了方法，更加具有一般性，和普遍性。 寧波大學(xué)理學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計（論文） 13 3 用構(gòu)造法證明不等式 構(gòu)造函數(shù) 數(shù)列型不等式的四個命題 針對一個具體的不等式，如何準(zhǔn)確的尋找到一個合適的函數(shù)呢？有實踐經(jīng)驗的人都知道，尋找過程往往充滿艱辛和反復(fù)，要經(jīng)過長時間的摸索，需要積累一些經(jīng)驗。就如同在因式分解里面，我們可以根據(jù)代數(shù)基本定理知道每一個代數(shù)式都可一再復(fù)數(shù)范圍類分解，但是卻找 不到通法一樣。通過研究，我發(fā)現(xiàn)，對一類“數(shù)列型不等式”，這樣的“通法”是存在的。首先，看一看什么是數(shù)列型不等式。關(guān)于數(shù)列不等式有幾個命題，這兩個命題可以幫助我們尋找所需要的函數(shù)。 命題 1 若10 , ( ) ,nnkka a f n n N?? ? ??， (0) 0f ? 成立，則 ( ) ( 1)na f n f n? ? ?； 命題 2 若10 , ( ) , , ( 0 ) 1nnkka a f n n N f?? ? ? ??, ( ) 0fx? 成立 ,則 ()( 1)n fna fn? ?。這兩個命題是對偶的。 下面看兩個實例： 例 1 證明對任意的 *,mn N? ,不等式 1 1 1...ln( 1 ) ln( 2 ) ln( ) ( )nm m m n m m n? ? ? ?? ? ? ?恒成 14 立。 證明：由命題 1，我們只需證明 11ln( ) ( ) ( 1 )nnm n m m n m m n???? ? ? ?（ 1）l n ( ) ( ) ( 1 )m n m n m n? ? ? ? ? ? （ 2） 由此可構(gòu)造函數(shù) 2( ) lnf x x x x? ? ? 則 21 2 1( ) 2 1 xxf x xxx ??? ? ? ? ? ?, 顯然當(dāng)Embedded LINGO Model110 , ( ) 0 。即 11( ) ( ) ln 2 024f x f? ? ? ? 在區(qū)間 (0, )? 上恒成立。 分析：對許多和正整數(shù)有關(guān)的命題，可以考慮數(shù)學(xué)歸納法。對于一個較難的問題，可能我們使用數(shù)學(xué)歸納法不需要觸及到問題的本質(zhì)，只需要按部就班的運用就可以 使問題獲解，但即使我們給出了解答，也很是迷茫。 證明：先證明 33 323 1 3 2 121 1 3313 1 3 1 3 1 3 12nnnnn n n n? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ? 為此，構(gòu)造函數(shù) ( ) (1 ) 1nf x x nx? ? ? ? 只需證明 ( ) (1 ) 1 0nf x x n x? ? ? ? ?在 [1, )? 成立即可。 33 3 23 1 3 1nn???????????成立 3 3 3 3 33 6 9 3 3 6 9 3... ...2 5 8 3 1 2 5 8 3 15 8 11 3 2 3 2...2 5 8 3 1 2nnnnn? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ?? 即 133 6 9 3 3 2...2 5 8 3 1 2nnn ???? ? ? ? ? ??? ??。而上面的方法好處在于能夠讓我們較快的發(fā)現(xiàn)需要構(gòu)造的函數(shù)，觸及問題的核心，使問題獲解。 證明：構(gòu)造函數(shù)2 1() 1xfx x ?? ?，當(dāng) 1x? 時 16 則2 2 21 1 1 1() 21 ( 1 1 ) 1 ( 1 ) 2( 1 ) 2( 1 ) 21x x xfx x x x xxx? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?? 令 2()g t tt??，就是對勾函數(shù)。本文將證明下列不等式： ( , ) ( , ) ( , )G x y L x y M x y??。 證明：不妨設(shè) xy? ， 1，當(dāng) xy時欲證 ln lnxyxy xy? 只需證明 1lnxx yxyy? ??? 寧波大學(xué)理學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計（論文） 17 在上式中，令 = , 1xtty，即得： 212lntt t? ()? 作函數(shù) 2(t)=t 2 ln 1g t t 。 ()gt 是 單 調(diào) 遞 增 函 數(shù) 。 2，當(dāng) = ( , ) = L ( x , x ) = xx y L x y時 ， 按 照 定 義 ， ( , )=G(x,x)=xG x y 顯然有 ( , )= ( , )G x y L x y .. 綜上所述 ( , ) ( , )G x y L x y? 成 立 。導(dǎo)數(shù) ? ? ? ?1 l n( t) = , t 1 1 = 0 .t t t tt? ? ???? 當(dāng) 時 ， 顯 然 有 ，即當(dāng) t1時， t)?（ 時減函數(shù)。 當(dāng) = ( , ) = ( x , )x y M y時 ， 顯 然 有 L x y。 不等式 ( , ) ( , ) ( , )G x y L x y M x y?? 得證。把不等式轉(zhuǎn)化為 2 4b ac?? ? 的形式，大多情況下需要考慮根的分布情況，利用根與系數(shù)的關(guān)系求解。 例 5 已知 ,abc R? ，求證： 2( 2 ) 3 ( 2 ) ( )b a c a b c a c? ? ? ? ? ?。將不等式變形為 寧波大學(xué)理學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計（論文） 19 2[ 2 ( 2 ) ] 12 ( 2 ) ( )b a c a b c a c? ? ? ? ? ?， 則式 2[ 2 ( 2 ) ] 12 ( 2 ) ( )b a c a b c a c? ? ? ? ? ? 當(dāng) ac? 時，可以看作一元二次方程 23 ( ) 2( 2 ) 2 0a c x b a c x a b c? ? ? ? ? ? ? ? （ 1） 的判別式。 當(dāng)然，此題方法不止一種 證法二：作差法 2 2 2 22 2 2222( 2 ) 3 ( 2 ) ( ) 4 2 4 42 ( 2 ) 4 42 ( 2 ) ( 2 )( 2 ) 0b a c a b c a c a b c a b a c b ca a b c b b c ca a b c b ca b c? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? 2( 2 ) 3 ( 2 ) ( )b a c a b c a c? ? ? ? ? ? ? 成立的條件是 2a b