【導讀】1978年，《參考消息》第四版刊載了當年在布加勒斯特舉行的第二十屆國際數(shù)學奧林匹克競賽題。加之時代因素，由。這則小消息作為發(fā)端，國內(nèi)數(shù)學界形成了一波研究數(shù)學競賽，研究初等數(shù)學的高潮。四十多年來，對這兩者的研究延。續(xù)不斷，可謂方興未艾。作為一種極富創(chuàng)新精神的方法，構造法被廣泛的運用于中學數(shù)學競賽的各個部分。在證明不等式方面，其獨創(chuàng)性和巧妙性往往讓人嘆為觀止。僅僅在國內(nèi)，每年都有數(shù)以百計的關于構造法解題的論文。第一章對構造法進行概述，即講述了構造思想及構造法的歷史和目前國內(nèi)外對這一思想。與方法的研究現(xiàn)狀，指出構造法解題所應遵循的規(guī)則。第二章則是構造法解題的模型概述，比較全面的總結(jié)了構造法。行說明，對一些問題給出新的解答，從中體會構造法的迷人之處，窺見數(shù)學之美。的文獻，本文的創(chuàng)新之處在于將加強命題證明不等式作為構造法證明不等式的一種新模型作了一些探索，對思維構造

　　

【正文】 構造不等式 例 7 證明：對任意的 ,x y R R????, 22sin cosx y x y???? 證明：對任意的 ,x y R R????，有下列不等式成立 2 2 2 2s i n s i n c o s c o s( ) ( ) 0x y x y? ? ? ?? ? ? 寧波大學理學院本科畢業(yè)設計（論文） 27 展開即得 2 2 2 2s i n c o s c o s s i nx y x y x y? ? ? ?? ? ? ,x y R?? 2 2 2 2 2 2s i n c o s c o s s i n s i n c o sx y x y x y x y? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? 除了以上舉例說明的六種模型之外，比較重要的還有解析幾何模型，二項式模型，限于篇幅，不能再一一舉例論證。 加強命題證明不等式 在和正整數(shù)有關的命題中，有形如“ 12 ... na a a c? ? ? ?（ c 是常數(shù)）， 0na? ”的不等式。證明這一類不等式，如果用數(shù)學歸納法，當我們從 nk? 向 1nk??過渡時，我們常常會發(fā)現(xiàn)，從 nk? 的假設推不出或不容易推出 1nk??的結(jié)論！假設和結(jié)論之間的傳遞性消失或者隱藏 起來了！這導致思路受阻，解題失敗。其實，數(shù)學歸納法加強命題的方法對這類不等式常常是有效的！這種方法具有明顯的構造性！一般的思路是設法找到一個函數(shù) ( ) 0fn? ，這個函數(shù)稱之為調(diào)控函數(shù)。若能轉(zhuǎn)而證明 12 ... ( )na a a c f n? ? ? ? ?成立，則原命題顯然成立。如何尋找滿足條件的調(diào)控函數(shù)呢？用數(shù)學歸納法 !讓我們通過一個例子來一探究竟！ 例 13 求證：11 3nk kk? ?? 證明：根據(jù)題目的特點，方便起見，我們把調(diào)控函數(shù)設設成 1()fn的形式，這里 ( ) 0fn? 。假設 1113 ()nk fnkk? ??? 現(xiàn)在我們就通過數(shù)學歸納法確定 ()fn 1n? 時 28 111 3 (1)(1) 2ff? ? ? ? ()i 1 1 133( ) ( 1 )( 1 ) 1 f k f kkk ? ? ? ? ??? 1 1 1( ) ( 1 ) ( 1 ) 1f k f k kk? ? ?? ?? ()ii 也就是說 ()fn滿足 1(1) ( )2fi? 1 1 1( ) ( 1 ) ( 1 ) 1f k f k kk? ? ?? ?? ()ii 結(jié)合 ()ii 中不等式右邊的結(jié)構，我們設 1()11 ( 1 ) 1111( 1 )111f n nk k k kn n n nnn???????? ? ?????? ? ?? ? 恒成立。 設111() 11ngnn????是 增函數(shù)，且 lim ( ) 2n gn?? ? 21()2f n n??? 因此命題可加強為 1123nk k k n? ??? 再用數(shù)學歸納法證明即可。 寧波大學理學院本科畢業(yè)設計（論文） 29 研究發(fā)現(xiàn)，此題還可以考慮以下放縮方法。這就是下面的證法 2. 證法 2： ? ? ? ?22221 1 1 1( 1 ) ( 1 )( 1 )111 1 1 1 1()2 ( 1 )( 1 ) 2 1 11111k k k k kk k k kkk kkk k k k k kkk? ? ????? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ????? 由此得到 11 1 1 1 1 1 11 ....1 3 2 4 3 11 1 1 12 1 11 1 12211223nk k k n nn n n nnn?? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ?? ? ?? ? ? ?????? 證法二 ? ?? ?? ?2222( ) 11 1 1 1111 1 1()1112( )1kkk k k kkk k k kkkk k kkk??? ? ??????????? 由此得到 11 1 1 1 1 11 2( 1 ... )2 2 3 111 2( 1 )3nk k k n nn?? ? ? ? ? ? ? ??? ? ??? 讓我們再看一例 例 14 求證：21 1 1 3 4. . . ,2 1 2 1 2 1 2 1n nN ?? ? ? ? ?? ? ? 30 證明：證法 1：與上例一樣，我們設調(diào)控函數(shù)為 1()fn的形式， ( ) 0fn? 21 1 1 3 4 1. . . ,2 1 2 1 2 1 2 1 ( )( ) 0n nNfnfn?? ? ? ? ? ?? ? ?? 則1 34 12 1 21 (1)f???，即 21(1) 13f ? （ 1） 設 nk? 時 21 1 1 34 1... ,2 1 2 1 2 1 21 ( )k kNfk ?? ? ? ? ? ?? ? ?成立。 則有數(shù)學歸納法有 1nk?? 時 2 1 11 1 1 1 34 1 1 34 1...2 1 2 1 2 1 2 1 21 ( ) 2 1 21 ( 1 )k k kf k f k??? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? 即 11 1 12 1 ( ) ( 1 )k f k f k? ???? 設 ( ) 2nf n a? 于是11121262 1 1122kkkaa?????? ? ?對任意的 kN?? 恒成立： 1212613m in 124kaa ????? ? ????? 取 34a? 寧波大學理學院本科畢業(yè)設計（論文） 31 即可。 實際上江蘇如東高級中學的陳唐明老師取 78a? 其錯誤在于他由條件 1112 1 1122kkka????? ? ? 對于任 意的 kN?? 恒成立”得到 11su p 1 12 ka ???? ? ????? （《加強命題證明一類數(shù)列不等式的解法探析》數(shù)學教學通訊（教師版）編號 226400） 證法 2：直接放縮 1172 1 2 ( 3 )41 4 1 ( 3 )2 1 7 2nnnnnn??? ? ?? ? ??? 3213111 1 1 1 4 1 1 1 4 4 12. . . 1 ( . . . . . . )12 1 2 1 2 1 3 7 4 8 2 3 7 4124 2 1 4 2 3 4( 1 )3 7 2 3 7 2 1nnnn??????????? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? 從上面兩例不難發(fā)現(xiàn)，直接放縮和用加強命題證明不等 式各有優(yōu)缺點。前者優(yōu)勢在于直接明快，缺點就是難于把握，事先并不知道怎樣放縮 。而用數(shù)學歸納法加強命題證明不等式好處是容易把握，思維模式固定；但缺點也是明顯的，就是常常得繞上一大圈，比較費事。從哲學上來說，這也是易于理解的。每種解法都各有得失，沒有哪種方法是盡善盡美的。所謂有得必有失。 4 結(jié)語 總結(jié)與回顧 以上我們通過眾多的實例分析了構造法證明不等式，可以發(fā)現(xiàn) 述構造法證明不等式的模型眾多， 32 有著豐富的價值，它能極好的拓寬我們的視野，幫助我們形成勤于思考，勇于創(chuàng)新的優(yōu)良思維品質(zhì)。同時，也可讓我們體會到無窮 的解題之樂！ 學問無止境。對這一課題的研究，雖然取得了一系列進展，但尚未形成系統(tǒng)的理論體系，僅僅停留在“用現(xiàn)成的例子說明現(xiàn)成的觀點，或是用現(xiàn)成的觀點解決現(xiàn)成的問題”的程度。近幾年來，僅國內(nèi)每年都有數(shù)以百計的文章研究數(shù)學構造法證明不等式，但都是大同小異，鮮有新意。這是目前這一領域研究的不足之處，也是我繼續(xù)研究的方向。如何將研究推進深化？進而形成一般的理論需要不斷探索。這也是本人今后繼續(xù)研究之路的方向。 參考文獻 【 1】賈秀玲《“眾口”不能“鑠金” —— 關于數(shù)學歸納法加強命題的再思考》 ，《中學數(shù)學》， 20xx年第 12 期 【 2】任念兵，《強化命題證明一類數(shù)列不等式》，《中學數(shù)學教學參考》， 20xx 年第 12 期 【 3】劉強《談構造法證明不等式》， 科學咨詢：中旬 20xx 年 7 期 . 【 4】厲軍萍《巧用構造法證明不等式競賽題》， 中學教研：數(shù)學版 20xx 年 6 期 【 5】謝國梁《用構造法證明不等式》， 學周刊： C 20xx 年 2 期 【 6】馬勇《構造法證明不等式的思考途徑》， 讀寫算（教師版）：素質(zhì)教育論壇 20xx 年 20 期 【 7】傅仕玲《用構造法證明不等式》， 數(shù)學教學通訊：教師閱讀 20xx 年 7 期 【 8】趙春祥《構造法證明不等式 例說》， 數(shù)學教學通訊：中學生版高三卷 20xx 年 3 期 【 9】吳守玲《用構造法證明不等式》， 南京廣播電視大學學報 【 10】構造法在證明不等式中的應用 余悛瑞 【 11】構造法在證明不等式中的應用 余悛瑞 20xx 年第 10 期考試 周刊 【 12】《實用高考中學數(shù)學解題策略與方法技巧大典》 【 13】《解題研究》單遵 【 14】《數(shù)學與哲學》張景中 【 15】《構造函數(shù)法證數(shù)列不等式的幾種思考途徑》 【 16】 任文龍 ,王奇 ,李慧 《 高觀點下的初等數(shù)學不等式》， 20xx 年 17 期《數(shù)學通訊》 致謝 尊敬的各位老師 : 美好的大學生涯即將結(jié)束，我們即將跨入人生的另一階段。在今后的生活里，我們會碰到各方面的問題。這要求我們學會學習，現(xiàn)代社會，文盲不是目不識丁的人，而是沒有學習能力的人。 值此論文結(jié)束之際，感謝我生活了四年的大學，是她，教會了我如何學習。同 時，對我的指導寧波大學理學院本科畢業(yè)設計（論文） 33 老師章鷗勁老師深表感謝。章老師一直對本論文的寫作給予了悉心的指導，對文章的構架提了許多切中要害的建議。同時，感謝文獻的作者們，我從你們那兒吸收了大量富有價值的觀點，擴大了我的視野，增加了我的見識。特別是張景中院士，單遵教授。對所有對論文寫作產(chǎn)生過有益影響的人們，在此一并鳴謝！ 34