【導(dǎo)讀】直同我們形影不離，它的應(yīng)用范圍非常廣泛，是數(shù)學(xué)教學(xué)容重要組成部分。在不等式的證明過程中需要。以及聯(lián)系，幫助大家區(qū)分解決如何合理有效的運(yùn)用這些不等式來達(dá)到自己所想要的預(yù)期效果。Jensen不等式，由Jensen不等式推導(dǎo)所要的holder不等式，從holder不等式中我們看出，只要稍加。變形就是大家廣為熟知的柯西不等式。而柯西不等式是本篇論文討論的重點(diǎn)內(nèi)容，我們將著重討論柯西。不等式的幾種主要表現(xiàn)形式及相關(guān)的證明，應(yīng)用舉例等等。在此之后我們還將通過柯西不等式推導(dǎo)著名

　　

【正文】 可以看出柯西不等式的應(yīng)用是相當(dāng)廣泛的，對(duì)于在不等式中涉及到平方和的積，或是積的平方和問題時(shí)，我們往往可以通過條件或是有條件轉(zhuǎn)變而來運(yùn)用柯西不等式來解決問題。 由柯西不等式推導(dǎo)均值不等式的部分相關(guān)證明 在推導(dǎo)均值不等式前我們先了解下均值不等式 設(shè)由 n個(gè)正數(shù) naaa ， ?21, ，則 naaanaaaaaaaaan nnnn221211112121111???????????????? 常記為 nnnn QAGH ??? 先證 nn QA? 由柯西不等式 ? ? ? ? ? ? 22222122222122211 nnnn bbbaaabababa ?????????? ??? 令 121 ???? nbbb 則有 ? ? ? ?22221221 nn aaanaaa ??????? ?? 兩邊除以 2n 得n aaan aaa nn22221221 ?????????? ??? ??兩邊同時(shí)開方 得 n aaan aaa n 22121111 ????????? 現(xiàn)在來證 ? ?6nn AG? .由2121221 2,0)( aaaaaa ???? 得，當(dāng)且僅當(dāng) 21a? 時(shí) 等號(hào)成立。所以當(dāng) 2?n 時(shí)，命題成立 . 假設(shè) kn? 時(shí)命題成立，現(xiàn)在來證 1??kn 時(shí)成立 . 當(dāng) 11 121 ? ??????? ?k aaaaAkn kk?時(shí)，令 ，則分子分母同乘以 12?kk 得 19 1 121 ? ????? ?k aaaaA kk? = k k aaaakk aaaak kkkk 2 1 ))(1(1 ))(1( 121121 ? ??????? ????? ?? ?? k Akaaaa kk2 )1(121 ??????? ?? 2)1(121 k Akak aaa kk ????????? 21121kAAAakaaakkk?? ??? ??? ?? ?????????? 21121 k kkk n Aaaaa ?? ???? k kkk n Aaaaa 1121 ?? ???? 即 11212 ?? ??? kkkk AaaaaA ， 則 ., 1211 121 時(shí)，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng) ?? ? ????? kk kk aaaaaaaA . 所以有 1??kn ，成立 . 3 均值不等式的應(yīng)用 均 值不等式的應(yīng)用舉例 在運(yùn)用均值不等式前，我們應(yīng)該要知道均值不等式的所謂一“一正，二定，三相等”的原則，即變量都是正數(shù)，其次平方和或積為正值，最后含變數(shù)的個(gè)項(xiàng)均相等，取得最值。我們現(xiàn)在通過一個(gè)例子簡(jiǎn)單的說明下： （ 1）均值不等式求最值 例 1 1)1(3)1(1 55 22 ? ?????? ??? x xxx xxy 20 225 5 ( 1 ) 3 ( 1 ) 11111311 0 112 1 3 5101 0 11( 1 ) ( ( ) ) 2111 21y12( 1 ] [ 5 , )( ) ( 0 ,()x x x xyxxxxxxyxxxxxxxxxxby af x c a bfx? ? ? ? ? ?????? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ? ??? ? ?????? ??? ? ? ? ?當(dāng) 時(shí) ， 即 時(shí)（ ）當(dāng) 且 僅 當(dāng) 時(shí) ， 等 號(hào) 成 立當(dāng) 時(shí)所 以則當(dāng) 且 僅 當(dāng) 時(shí) ， 等 號(hào) 成 立所 以 該 函 數(shù) 的 值 域 ，注 遇 到 分 式 求 最 值 時(shí) ， 化 0)()fx 恒 正 或 恒 負(fù) 。 （ 2）均值不等式易錯(cuò)題型 在求解均值不等式相關(guān)問題 的時(shí)候，往往會(huì)忽視等號(hào)成立的條件，下面我們就來他通過一個(gè)例題簡(jiǎn)要分析一下。 的最小值。））和（（）分別求（且設(shè) 22 )1(111,1,0,0 bbaabbaababa ?????????? 這道題往往容易犯這樣的錯(cuò)誤， 錯(cuò)誤解法： .4)1(121,21的最小值為）（ bbaabbaa??????? 分析 這里之所以犯這樣的錯(cuò)誤是因?yàn)樘睾雎粤艘阎獥l件和等號(hào)成立的條件。 正確做法 ??6 解 21111 ?????????? abababbaababbbaa ）（）（ 21 .225425)1(1)1(121,2254252)1)(1(2)1(1)1(1.21425)(2172)16(172)161161161(2222222171564171616116和分別為的最小值）及（）（所以時(shí)成立。等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)）（因?yàn)樽钚≈担┈F(xiàn)在來求（時(shí)成立等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)相加個(gè)有bbaabbaababbaabbaabbaabaababababababababab???????????????????????????????? （ 3）運(yùn)用均值不等式及相關(guān)的變形求解不等式（提高題） 例 設(shè) a、 b、 c、 d ??R ,求證 44 22223 dcbadabc dabc dabc ??????? ??6 因?yàn)? )22(214 bacddcabdabc d ab c dabc ????????? 22 444444.)4(42224222)2(2)2(2122223222233222dcbad a bcd ab cda b cdcbadcbadcbad a bcd ab cda b cdcbadcbadcbadcbadcbabadcdcba??????????????????????????????????????? ?????????????????? ????????所以又即 由均值不等式推導(dǎo) Jensen 不等式的個(gè)例 將均值不等式 )2,1,0(2121 nixn xxxxxx inn n ???????? 其中， 兩端取對(duì)數(shù) n xxxaaan nn ????? 2121 lnln1 由觀察可設(shè) 0,ln)( ?? xxxf 其中 ))()()((1)( 11121 xfxfxfnn xxxf n ????????所以有 ）上的凹函數(shù)為區(qū)間（可知由其中 ??????? ,0ln)(0)(1)(,1)( 39。39。239。39。39。 xxfxfxxfxxf 上式即為我們所證得的 Jensen 不等式 . 23 致謝 首先我要感謝我的指導(dǎo)老師歐建光老師，在他的悉心，耐心指導(dǎo)下，我的論文才得以完成。在完成論文的過程中，無論是在論文的編寫、資料的收集和開題報(bào)告的書寫等方面，歐老師都給了我很大的幫助。老師細(xì)心耐心的教導(dǎo)，嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹螌W(xué)態(tài)度。讓我銘記在心。在 我的論文完成之際，向歐 老師致以真摯的謝意！ 其次，我還要感謝四年的大學(xué)生活，感謝溫州大學(xué)甌江學(xué)院對(duì)我的培養(yǎng)，感謝所有教導(dǎo)過我的老師們，沒有你們的培養(yǎng)和幫助，就沒有現(xiàn)在的我，最后我要感謝我的父母，感謝他們的支持和幫助，讓我安心完成學(xué)業(yè)。 最后，向在百忙之中抽出時(shí)間評(píng)審本文的各位專家表示最衷心的感謝！ 24 參考文獻(xiàn) [1]徐鴻遲 ， 柯西不等式的微小改動(dòng) [J]， 20xx，（ 8）， 9095. [2]南山，柯西不等式與排序不等式 [M]，第一版，湖南教育出版社， 20xx,1115 [3]華東 師范大學(xué)數(shù)學(xué)系 ,數(shù)學(xué)分析上） [M]， （第三版 ,高等教育出版社 ,20xx. [4]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系 ,數(shù)學(xué)分析（下） [M],第三版 ,高等教育出版社 ,20xx. [5]張?zhí)斓?，韓振來，數(shù)學(xué)分析同步輔導(dǎo)及習(xí)題精解（上） [M]，第三版，天津科學(xué)技術(shù)出版社， 20xx. [6]葉立軍，初等數(shù)學(xué)研究 [M]，第一版，華東師范大學(xué)出版社， 20xx. [7]呂 林根，解析幾何 [M]，第四版，高等教育出版社 ， 20xx， 3638. [8]北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室前代數(shù)小組，高等代數(shù) [M]，第 三版，高等教育出版社， 20xx. [9]陳文燈，高等數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指導(dǎo) [M]， 北京理工大學(xué)出版社 , 1997 ， 8486. [10]徐圖平，柯西不等式的兩個(gè)推論及其應(yīng)用 [J]， 20xx，（ 8）， 7071 [11]張?zhí)斓?，韓振來 ，數(shù)學(xué)分析同步輔導(dǎo)及習(xí)題精解（下），第三版，天津科學(xué)技術(shù)出版社， 20xx.