【導讀】直同我們形影不離，它的應用范圍非常廣泛，是數(shù)學教學容重要組成部分。在不等式的證明過程中需要。以及聯(lián)系，幫助大家區(qū)分解決如何合理有效的運用這些不等式來達到自己所想要的預期效果。Jensen不等式，由Jensen不等式推導所要的holder不等式，從holder不等式中我們看出，只要稍加。變形就是大家廣為熟知的柯西不等式。而柯西不等式是本篇論文討論的重點內(nèi)容，我們將著重討論柯西。不等式的幾種主要表現(xiàn)形式及相關的證明，應用舉例等等。在此之后我們還將通過柯西不等式推導著名

　　

【正文】 可以看出柯西不等式的應用是相當廣泛的，對于在不等式中涉及到平方和的積，或是積的平方和問題時，我們往往可以通過條件或是有條件轉變而來運用柯西不等式來解決問題。 由柯西不等式推導均值不等式的部分相關證明 在推導均值不等式前我們先了解下均值不等式 設由 n個正數(shù) naaa ， ?21, ，則 naaanaaaaaaaaan nnnn221211112121111???????????????? 常記為 nnnn QAGH ??? 先證 nn QA? 由柯西不等式 ? ? ? ? ? ? 22222122222122211 nnnn bbbaaabababa ?????????? ??? 令 121 ???? nbbb 則有 ? ? ? ?22221221 nn aaanaaa ??????? ?? 兩邊除以 2n 得n aaan aaa nn22221221 ?????????? ??? ??兩邊同時開方 得 n aaan aaa n 22121111 ????????? 現(xiàn)在來證 ? ?6nn AG? .由2121221 2,0)( aaaaaa ???? 得，當且僅當 21a? 時 等號成立。所以當 2?n 時，命題成立 . 假設 kn? 時命題成立，現(xiàn)在來證 1??kn 時成立 . 當 11 121 ? ??????? ?k aaaaAkn kk?時，令 ，則分子分母同乘以 12?kk 得 19 1 121 ? ????? ?k aaaaA kk? = k k aaaakk aaaak kkkk 2 1 ))(1(1 ))(1( 121121 ? ??????? ????? ?? ?? k Akaaaa kk2 )1(121 ??????? ?? 2)1(121 k Akak aaa kk ????????? 21121kAAAakaaakkk?? ??? ??? ?? ?????????? 21121 k kkk n Aaaaa ?? ???? k kkk n Aaaaa 1121 ?? ???? 即 11212 ?? ??? kkkk AaaaaA ， 則 ., 1211 121 時，等號成立當且僅當 ?? ? ????? kk kk aaaaaaaA . 所以有 1??kn ，成立 . 3 均值不等式的應用 均 值不等式的應用舉例 在運用均值不等式前，我們應該要知道均值不等式的所謂一“一正，二定，三相等”的原則，即變量都是正數(shù)，其次平方和或積為正值，最后含變數(shù)的個項均相等，取得最值。我們現(xiàn)在通過一個例子簡單的說明下： （ 1）均值不等式求最值 例 1 1)1(3)1(1 55 22 ? ?????? ??? x xxx xxy 20 225 5 ( 1 ) 3 ( 1 ) 11111311 0 112 1 3 5101 0 11( 1 ) ( ( ) ) 2111 21y12( 1 ] [ 5 , )( ) ( 0 ,()x x x xyxxxxxxyxxxxxxxxxxby af x c a bfx? ? ? ? ? ?????? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ? ??? ? ?????? ??? ? ? ? ?當 時 ， 即 時（ ）當 且 僅 當 時 ， 等 號 成 立當 時所 以則當 且 僅 當 時 ， 等 號 成 立所 以 該 函 數(shù) 的 值 域 ，注 遇 到 分 式 求 最 值 時 ， 化 0)()fx 恒 正 或 恒 負 。 （ 2）均值不等式易錯題型 在求解均值不等式相關問題 的時候，往往會忽視等號成立的條件，下面我們就來他通過一個例題簡要分析一下。 的最小值。））和（（）分別求（且設 22 )1(111,1,0,0 bbaabbaababa ?????????? 這道題往往容易犯這樣的錯誤， 錯誤解法： .4)1(121,21的最小值為）（ bbaabbaa??????? 分析 這里之所以犯這樣的錯誤是因為特忽略了已知條件和等號成立的條件。 正確做法 ??6 解 21111 ?????????? abababbaababbbaa ）（）（ 21 .225425)1(1)1(121,2254252)1)(1(2)1(1)1(1.21425)(2172)16(172)161161161(2222222171564171616116和分別為的最小值）及（）（所以時成立。等號當且僅當）（因為最小值）現(xiàn)在來求（時成立等號當且僅當相加個有bbaabbaababbaabbaabbaabaababababababababab???????????????????????????????? （ 3）運用均值不等式及相關的變形求解不等式（提高題） 例 設 a、 b、 c、 d ??R ,求證 44 22223 dcbadabc dabc dabc ??????? ??6 因為 )22(214 bacddcabdabc d ab c dabc ????????? 22 444444.)4(42224222)2(2)2(2122223222233222dcbad a bcd ab cda b cdcbadcbadcbad a bcd ab cda b cdcbadcbadcbadcbadcbabadcdcba??????????????????????????????????????? ?????????????????? ????????所以又即 由均值不等式推導 Jensen 不等式的個例 將均值不等式 )2,1,0(2121 nixn xxxxxx inn n ???????? 其中， 兩端取對數(shù) n xxxaaan nn ????? 2121 lnln1 由觀察可設 0,ln)( ?? xxxf 其中 ))()()((1)( 11121 xfxfxfnn xxxf n ????????所以有 ）上的凹函數(shù)為區(qū)間（可知由其中 ??????? ,0ln)(0)(1)(,1)( 39。39。239。39。39。 xxfxfxxfxxf 上式即為我們所證得的 Jensen 不等式 . 23 致謝 首先我要感謝我的指導老師歐建光老師，在他的悉心，耐心指導下，我的論文才得以完成。在完成論文的過程中，無論是在論文的編寫、資料的收集和開題報告的書寫等方面，歐老師都給了我很大的幫助。老師細心耐心的教導，嚴謹?shù)闹螌W態(tài)度。讓我銘記在心。在 我的論文完成之際，向歐 老師致以真摯的謝意！ 其次，我還要感謝四年的大學生活，感謝溫州大學甌江學院對我的培養(yǎng)，感謝所有教導過我的老師們，沒有你們的培養(yǎng)和幫助，就沒有現(xiàn)在的我，最后我要感謝我的父母，感謝他們的支持和幫助，讓我安心完成學業(yè)。 最后，向在百忙之中抽出時間評審本文的各位專家表示最衷心的感謝！ 24 參考文獻 [1]徐鴻遲 ， 柯西不等式的微小改動 [J]， 20xx，（ 8）， 9095. [2]南山，柯西不等式與排序不等式 [M]，第一版，湖南教育出版社， 20xx,1115 [3]華東 師范大學數(shù)學系 ,數(shù)學分析上） [M]， （第三版 ,高等教育出版社 ,20xx. [4]華東師范大學數(shù)學系 ,數(shù)學分析（下） [M],第三版 ,高等教育出版社 ,20xx. [5]張?zhí)斓?，韓振來，數(shù)學分析同步輔導及習題精解（上） [M]，第三版，天津科學技術出版社， 20xx. [6]葉立軍，初等數(shù)學研究 [M]，第一版，華東師范大學出版社， 20xx. [7]呂 林根，解析幾何 [M]，第四版，高等教育出版社 ， 20xx， 3638. [8]北京大學數(shù)學系幾何與代數(shù)教研室前代數(shù)小組，高等代數(shù) [M]，第 三版，高等教育出版社， 20xx. [9]陳文燈，高等數(shù)學復習指導 [M]， 北京理工大學出版社 , 1997 ， 8486. [10]徐圖平，柯西不等式的兩個推論及其應用 [J]， 20xx，（ 8）， 7071 [11]張?zhí)斓拢n振來 ，數(shù)學分析同步輔導及習題精解（下），第三版，天津科學技術出版社， 20xx.