【正文】 . 19 .......................................................................................... 19 由均值不等式推導(dǎo) Jensen 不等式的個例 ...................................................... 22 致謝 ............................................................................................................................................... 23 參考文獻(xiàn) ..................................................................................................................................... 24 4 前言 數(shù)學(xué)不等式的研究首先從歐洲國家興起 , 直到 17 世紀(jì)以后，不等式的理論才逐漸發(fā)展起來，成為數(shù)學(xué)基礎(chǔ)理論的一個重要組成部分。 關(guān)鍵詞 ： 凸函數(shù) ；不等式； 2 Inequality proof and its application Wangnaize Oujiang College, Wenzhou University， Wenzhou, Zhejiang， 325027 Abstract： Inequality proof and its application in mathematics has a indispensable role and status, from elementary mathematics to higher mathematics, inequality has been and we were like peas and carrots, its application range is very wide, is an important part of the capacity of mathematics teaching. In the inequality proof process need to use many mathematical thought, bined with many important mathematical content, this paper mainly introduces several famous between inequality proof, use, and contact, help you distinguish between solve how to reasonably and effectively use the inequality to achieve their desired expected effect. These a few inequality is we often in the study will use, concrete, it is through the convex function related definition and nature, and then introduce Jensen inequality, Jensen inequality is derived by the holder inequality, from holder inequality we see, as long as everyone is a widely known as the deformation of Cauchy inequality. And Cauchy inequality is discussed in this paper the key content, we will mainly discuss the Cauchy inequality several main forms and relevant proof, examples of application and so on. After that we will through the Cauchy inequality is famous mean inequality, from mean inequality back to Jensen inequality related content. So far, this paper discusses the important content. Keywords: convex functions。在此之后我們還將通過柯西不等式推導(dǎo)著名的均值不等式，從均值不等式回到 Jensen 不等式的相關(guān)內(nèi)容。這幾個不等式也是我們經(jīng)常在學(xué)習(xí)中所要用的，具體的來說，就是通過凸函數(shù)的相關(guān)定義及其性質(zhì)，進(jìn)而引入Jensen 不等式，由 Jensen 不等式推導(dǎo)所要的 holder 不等式，從 holder 不等式中我們看出，只要稍加變形就是大家廣為熟知的柯西不等式。 本科畢業(yè) 設(shè)計（論文 ） ( 20xx 屆 ) 題 目： 不等式的證明及其運(yùn)用 專 業(yè)： 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 班 級： 09 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 姓 名： 王乃澤 學(xué) 號： 09205013247 指導(dǎo)教師： 歐建光 職 稱： 副教授 完成日期： 20xx 年 4 月 20 日 1 不等式證明及其運(yùn)用 王乃澤 （溫州大學(xué) 甌江 學(xué)院，浙江溫州， 325027） 摘要 ：不等式證明及其應(yīng)用在數(shù)學(xué)中有著不可或缺作用和地位，從初等數(shù)學(xué)到高等數(shù)學(xué)，不等式一直同我們形影不離，它的應(yīng)用范圍非常廣泛，是數(shù)學(xué)教學(xué)容重要組成部分。在不等式的證明過程中需要用到諸多的數(shù)學(xué)思想，結(jié)合了許多重要的數(shù)學(xué)內(nèi)容，本篇論文主要介紹幾個著名不等式之 間證明，運(yùn)用，以及聯(lián)系，幫助大家區(qū)分解決如何合理有效的運(yùn)用這些不等式來達(dá)到自己所想要的預(yù)期效果。而柯西不等式是本篇論文討論的重點(diǎn)內(nèi)容，我們將著重討論柯西不等式的幾種主要表現(xiàn)形式及相關(guān)的證明，應(yīng)用舉例等等。至此，為本篇論文所論述的重要內(nèi)容。 Inequality。 自從著名數(shù)學(xué)家 H. Hardy,J. E. Little wood 和 G. Pl ya 的著作 Inequalities 由 Cambridge University Press 于 1934 年出版以來 , 數(shù)學(xué)不等式理論及其應(yīng)用的研究正式登場 , 成為一門新興的數(shù)學(xué)學(xué)科 , 從此不等式不再是一些零星散亂的、孤立的公式綜合 , 它已發(fā) 展成為一套系統(tǒng)的科學(xué)理論。 楊路等教授對幾何不 等式研究的一系列開創(chuàng)性工作，將我國幾何不等式的研究推向高潮；在代數(shù)不等式方面，王挽瀾教授對 Fan ky 不等式的深人研究達(dá)到國際領(lǐng)先水平 。胡克教授對這個不等式及其應(yīng)用作了系統(tǒng)而深刻的研究。由于這些結(jié)果在理論和實(shí)際運(yùn)用方面都有重 大 意義，引起一系列廣泛研究，當(dāng)中取得各式各樣的進(jìn)展，成果在眾多報刊雜志上被發(fā)表。例如匡繼昌先生的專著《常用不等式》一書由于供不應(yīng)求 。 除此之外 ,國內(nèi)還有一個不等式研究小組比較活躍 , 主辦一個《不等式研究通訊》的內(nèi)部交流刊物 , 數(shù)學(xué)家楊路先生任顧 問。 不等式的研究主要包括以下四個方面，推廣和改進(jìn)現(xiàn)有的不等式，建立新的不等式，擴(kuò)大不等式的應(yīng)用范圍，探索不等式的證明方法。本人通過收集整理資料發(fā)現(xiàn)，由于不等 式分布范圍之廣，大多學(xué)科都有涉獵，但是很少有給出以我們現(xiàn)階段所學(xué)的這些著名不等式為文章的主要脈絡(luò)或是零散的給出個別著名不等式，展開挖掘它們的內(nèi)在聯(lián)系，基于這個前提，因此撰寫了本篇論文。因此熟練掌握不等式證明的幾種方法并能靈活運(yùn)用 常用的證明方法，對以后的學(xué)習(xí)有著非常重要的意義。 ??3 方法一 證 設(shè) .0,ln)( ?? xxxxf 由 )(xf 的一階和二階導(dǎo)數(shù) xxfxxf 1)(,1ln)( ????? 可見， 不等式有時為嚴(yán)格凸函數(shù)。 我們將定義拓展為一般情形，即得到 （詹森（ Jensen ）不等式） 若 ??fx在 ? ?,ab 為凸函數(shù)，則對于任意? ?baxi ,? , 0i?? ? ?1,2, ,in? ,1 1n ii ?? ??,有 ? ?11nni i i iiif x f x????????????? 例 3 已知 0?ix ),3,2,1( ni ?? ， 2?n ， 121 ????? nxxx 7 求證： nnnnn nnxxx )1()11()11()11(21 ?????????. 證 設(shè) nxxf )11()( ??，易知 時為凹函數(shù)，在 0)( ?xxf 所以由琴聲不等式可得 )()()( 21 nxfxfxf ???? )( 21 n xxnf n???? = nnnnnf )1()1( ?? 即 nnnnn nnxxx )1()11()11()11(21 ?????????成立， 等號成立當(dāng)且僅當(dāng) 時取到nxxx ??? 21 . 由 Jensen 不等式推導(dǎo) holder 不等式的相關(guān)證明 定義 有，設(shè) ,),2,1(,a i nibi ?? 111 1 1 1n n npqpqi i i iiia b a b? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? 111,1,1 ???? q