【正文】 在 我的論文完成之際，向歐 老師致以真摯的謝意！ 其次，我還要感謝四年的大學(xué)生活，感謝溫州大學(xué)甌江學(xué)院對我的培養(yǎng)，感謝所有教導(dǎo)過我的老師們，沒有你們的培養(yǎng)和幫助，就沒有現(xiàn)在的我，最后我要感謝我的父母，感謝他們的支持和幫助，讓我安心完成學(xué)業(yè)。老師細(xì)心耐心的教導(dǎo)，嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹螌W(xué)態(tài)度。 xxfxfxxfxxf 上式即為我們所證得的 Jensen 不等式 . 23 致謝 首先我要感謝我的指導(dǎo)老師歐建光老師，在他的悉心，耐心指導(dǎo)下，我的論文才得以完成。39。39。 正確做法 ??6 解 21111 ?????????? abababbaababbbaa ）（）（ 21 .225425)1(1)1(121,2254252)1)(1(2)1(1)1(1.21425)(2172)16(172)161161161(2222222171564171616116和分別為的最小值）及（）（所以時成立。 的最小值。我們現(xiàn)在通過一個例子簡單的說明下： （ 1）均值不等式求最值 例 1 1)1(3)1(1 55 22 ? ?????? ??? x xxx xxy 20 225 5 ( 1 ) 3 ( 1 ) 11111311 0 112 1 3 5101 0 11( 1 ) ( ( ) ) 2111 21y12( 1 ] [ 5 , )( ) ( 0 ,()x x x xyxxxxxxyxxxxxxxxxxby af x c a bfx? ? ? ? ? ?????? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ? ??? ? ?????? ??? ? ? ? ?當(dāng) 時 ， 即 時（ ）當(dāng) 且 僅 當(dāng) 時 ， 等 號 成 立當(dāng) 時所 以則當(dāng) 且 僅 當(dāng) 時 ， 等 號 成 立所 以 該 函 數(shù) 的 值 域 ，注 遇 到 分 式 求 最 值 時 ， 化 0)()fx 恒 正 或 恒 負(fù) 。 由柯西不等式推導(dǎo)均值不等式的部分相關(guān)證明 在推導(dǎo)均值不等式前我們先了解下均值不等式 設(shè)由 n個正數(shù) naaa ， ?21, ，則 naaanaaaaaaaaan nnnn221211112121111???????????????? 常記為 nnnn QAGH ??? 先證 nn QA? 由柯西不等式 ? ? ? ? ? ? 22222122222122211 nnnn bbbaaabababa ?????????? ??? 令 121 ???? nbbb 則有 ? ? ? ?22221221 nn aaanaaa ??????? ?? 兩邊除以 2n 得n aaan aaa nn22221221 ?????????? ??? ??兩邊同時開方 得 n aaan aaa n 22121111 ????????? 現(xiàn)在來證 ? ?6nn AG? .由2121221 2,0)( aaaaaa ???? 得，當(dāng)且僅當(dāng) 21a? 時 等號成立。 解 設(shè)點 1p 是直線 l 上的任意一點， 記 0x x C? ?? ? ? （ 1） ? ? ? ?220 1 0 1 0 1p p x x y y? ? ? ? （ 2） 15 點 01pp兩點間的距離 01pp 就是點 0p 到直線 l 的距離等價于（ 2）有最小值 由西不等式有 ? ? ? ? ? ? ? ?2222 0 1 0 1 0 1 0 1x x y y x x y y? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = ? ?0 0 1 1x y C x y C? ? ? ? ? ? ? ? ? 由（ 1）（ 2）得 22 0 1 0 0p p x y C? ? ? ? ? ? ? ? ? 即 0001 22x y Cpp ? ? ? ?? ? ? ? （ 3） 當(dāng)且僅當(dāng) ? ? ? ?0 1 0 1:y y x x ?? ? ? ? 01pp l? （ 3）式取等號 即點到直線的距離公式 0001 22x y Cpp ? ? ? ?? ? ? ? 柯西不等式求解有關(guān)三角形的問題 ??6 （ 1) 我們引用第二章的例子稍加變形來說明 .2 33s i ns i ns i n2 33,CBA ????? nCnBnAABC 求證：的三個內(nèi)角是三角形、已知 證 由柯西不等式有 )s i ns i n) ( s i n111()s i n1s i n1s i n1()s i ns i n( s i n 22222222 nCnBnAnCnBnAnCnBnA ?????????????即 )s i ns i n( s i n3)s i ns i n( s i n 2222 nCnBnAnCnBnA ????? （ 1） 因為 2 2c o s12 2c o s1c o s1s i ns i ns i n 2222 nCnBnAnCnBnA ???????? ）（故）（）（）（2)c o s (c o s2s i ns i ns i nc o sc o s2)c o s (c o sc o s2)c o s (c o sc o s2)2c o s2( c o s21c o s222222222nCnBAnCnBnAnCnBnAnCnBnCnBnAnCnBnCnBnAnCnBnA???????????????????????? 16 ）（所以又因為349412c o sc o s22)c o s1(c o s2)c o s1(c o s2)c o s (c o s22222??????????? ??????????nAAnAnAnAnAnCnBA 將（ 3）代入（ 2）得 ）（ 449s i ns i ns i n 222 ??? nCnBnA 將（ 4）代入（ 1）得 493)s ins in( s in 2 ???? nCnBnA 2 33s ins ins in2 33 ????? nCnBnA所以 (2) 設(shè) p 是 ABC? 內(nèi)的一點， zyx , 是 p到三邊 a,b,c 的距離， R是 ABC? 外接圓的半徑。求滿足 yxpyxyx ???? 2,623, 22 ??6 解 因為 6)2()3(,623 2222 ???? yxyx 即 ，由柯西不等式， yxyxp 2213322 ??????116611)2()3()21()32( 2222 ??????? yx 等號成立當(dāng)且僅當(dāng) 時成立。 ??8 （ 2）柯西不等式的三角形式 ?????? ???ni ini ini ii baba 12121212121 )()()( 當(dāng)且僅當(dāng) ii kba? 時等式成立 . 證 因為ini iiini iini ii bbaababa ??? ??? ????? 1112 )()()( ?? ?ni ii ba12)( 由柯西不等式 2112211)()()( ???????? ??? ??????ni ini iiini iiabaaba （ 1） 2112211)()()( ???????? ??? ??????ni ini iiini iibbabba （ 2） 當(dāng)且僅當(dāng) ii kba? 時等式成立，由（ 1）（ 2）得 13 ?????? ????????? ??? ? ???? ???nini iini iini iibababa1 1212212212121)()()()( 所以 ?????? ???ni ini ini ii baba 12121212121 )()()( 當(dāng)且僅當(dāng) ii kba? 時等式成立 . (3)積分形式的柯西不等式 ??3 定理 設(shè) f 和 g 是在 [, ]ab上的實可積函數(shù)，則 2 2 2( ( ) ( ) ) ( ( ) ) ( ( ) )b b ba a af x g x dx f x dx g x dx?? ? ? 當(dāng)且僅當(dāng) f 和 g 是線性相關(guān)函數(shù)時等式成立 . 證 對任意實數(shù) t ,有 2( ( ) ( )) 0ba tf x g x dx??? 即 2 2 2( ) 2 ( ) ( ) ( ) 0b b ba a at f x dx t f x g x dx g x dx? ? ?? ? ? 2 2 2( 2 ( ) ( ) ) 4(