柯西許瓦茲不等式的推廣及其應用畢業(yè)論文(參考版)
2025-07-01 23:28本頁面
【正文】 同時還要感謝我的爸爸媽媽，感謝他們多年來對我的辛苦養(yǎng)育和栽培。同時，在很多我不會的問題方面給予了我很多幫助，并且不厭其煩的反復為我修改。而我們應用柯西許瓦茲不等式解則十分簡單。例如：例12，32，41它們是同一道題我們應用柯西許瓦茲不等式的三種形式都能很好的對其解答。我們通過一些例題說明柯西許瓦茲不等式和其推廣在實際問題中的應用。文章第三大部分給出了柯西許瓦茲不等式在歐氏空間中的形式，在對其推廣的過程中由其在微積分可改寫成行列式形式中得到啟發(fā)也把其改寫成行列式的形式，應對其進行推廣。在實數(shù)域中我們對柯西許瓦茲不等式做了基本的變形推廣；將其中的冪指數(shù)擴充，得到赫爾德不等式；導出了其級數(shù)的無窮不等式等。對每一種形式給出了相應的推廣與應用。證明：設二維離散型隨機變量的聯(lián)合概率分布為則的邊際概率分布分別為令，有由不等式（）有 且不等式等號成立的充要條件是：即 且等號成立當且僅當 例46．設為任意實數(shù)，則且等號成立當且僅當 或者存在常數(shù)使 證明 若 均為0，則等式顯然成立.若 不全為0時， 設二維離散型隨機變量 的聯(lián)合概率分布為 則 的邊際概率分布分別為，令 有由不等式（）得有 且等號成立當且僅當 即 其等號成立當且僅當 ，總之，所證不等式等號成立的充要條件是 或存在常數(shù)使。推廣 ChungErdos 不等式： （）證明：定義隨機變量 則由柯西許瓦茲不等式得根據(jù)定義，又有 ，所以得證（）式.例41．若都是數(shù)，又 （常數(shù)）.求證：證明：設隨機變量 的分布律為：則取則知為凹函數(shù)，于是 即所以化簡就可得：例42．設， ，則，且等號成立的充要條件是證明：因為 所以所證不等式等價于 即，由于，且。證明：對任意實數(shù)，定義顯然對于一切，因此二次方程或者沒有實數(shù)根或者只有一個重根。例31．證明：證明：取由柯西許瓦茲不等式易知 整理得：例32．若都是正數(shù)，又（常數(shù)）求證：證明：設根據(jù)不等式（）得：即：兩邊平方就可得：例33．已知: 求證: 證明：構造向量所以 根據(jù)（）式得：例34．設且,求證：證明：構造向量可得： 根據(jù)（）式可得：例35．平面，()點式平面外一點。由上知，有嚴格不等式而從而有例28．設在上可微且 連續(xù)，,證明：證明：因為連續(xù)，且，故因為，故從到積分得到： 柯西許瓦茲不等式在維歐氏空間中的推廣與應用定義：設在維歐氏空間中， 是兩個任意的維向量，則 （）或（） 證明:考慮關于變元的一元二次方程 此方程或者只有0解或者無實數(shù)解，將方程整理得：我們知道一元二次方程只有0解或者無解得條件為所以得： 即即柯西許瓦茲不等式在一個歐氏空間里，對于任意的 有不等式 當且僅當與線性相關時，等號成立.這個不等式用于歐氏空間中，對于任意的 則有這是柯西不等式。 設數(shù)項級數(shù)與收斂，則也收斂，且 （），則有
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