不等式的證明方法畢業(yè)論文(參考版)
2025-06-27 19:24本頁面
【正文】 因此要反復(fù)熟悉不等式性質(zhì)的每條具體內(nèi)容，結(jié)合具體問題用準、用熟、用活。從而系統(tǒng)的掌握好不等式的性質(zhì)，是解決不等式證明問題的基礎(chǔ)。探索了解不等式的證明過程，發(fā)覺不等式背后蘊含的更深一步的結(jié)論，發(fā)揮創(chuàng)造性思維，在日后的教育教學過程中，將加深學生對不等式證明乃至對數(shù)學學科的理解。3．5 利用泰勒公式當所涉及命題中出現(xiàn)二階或更高階導(dǎo)數(shù)時，我們可以考慮使用泰勒公式證明，其關(guān)鍵是選擇恰當?shù)奶厥恻c展開。 利用柯西中值定理柯西中值定理定義:，滿足以下幾個條件： (1) 在上都連續(xù)； (2) 在上都可導(dǎo)； (3) 和不同時為零； (4) ，則存在 使得 柯西中值定理的形式，可以看到兩個函數(shù)式的比值，在移動條件下可以化成兩個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的比值，我們將以微分中值定理為理論依據(jù)，通過求導(dǎo)，建立一個簡便而有效的方法來證明不等式成立。拉格朗日中值定理：設(shè)滿足：（1）在閉區(qū)間上連續(xù)；（2）在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，則有一點使得 例 若，即，證：證明： 令，顯然在[]區(qū)間上，根據(jù)拉格朗日中值定理有 =，因為 ， 有 即 證明不等式：。設(shè)則由定理2有而所以： 故 利用中值定理微分中值定理將函數(shù)與導(dǎo)數(shù)有機地聯(lián)系起來，如果所求證的不等式經(jīng)過簡單變形后，與微分中值定理的結(jié)構(gòu)有相似性，就可以考慮利用微分中值定理來證明，其關(guān)鍵是構(gòu)造一個輔助函數(shù)，然后利用公式證明。則。例1[6 己知： 求證：。定理2 設(shè)函數(shù)為定義在上的凹函數(shù)，若 ，,且那么有不等式 成立。定義2?設(shè) 在區(qū)間，上連續(xù)，如果對上任意兩點 恒有那么稱 在上是凸函數(shù)。例14 設(shè)，求證：證明： 當時， 當時， 故 利用函數(shù)的凹凸性當所求證的不等式中出現(xiàn)了形如的式子時，我們可以考慮根據(jù)函數(shù)凹凸性的一些性質(zhì)來證明。又由于在處連續(xù)，則當時從而得證。例1 證明不等式證明：設(shè)則。 迭合法把所要證明的結(jié)論先分解為幾個較簡單部分，分別證明其各部分成立，再利用同向不等式相加或相乘的性質(zhì)，使原不等式獲證. 例7 已知：，求證: 證明： 因為，所以 ，由柯西不等式所以原不等式獲證 數(shù)學歸納法[8]對于含有的不等式，當取第一個值時不等式成立，如果使不等式在時成立的假設(shè)下，還能證明不等式在時也成立，那么肯定這個不等式對取第一個值以后的自然數(shù)都能成立.例8 已知：，求證：.證明 （1）當時，不等式成立；（2）若時，成立，則=，即成立.根據(jù)（1）、（2），對于大于1的自然數(shù)都成立. 構(gòu)造解析幾何模型證明不等式 如果不等式兩邊可以通過某種方式與圖形建立聯(lián)系，則可根據(jù)已知式的結(jié)構(gòu)挖掘出它的幾何背景，通過構(gòu)造解析幾何模型，化數(shù)為形，利用數(shù)學模型的直觀性，將不等式表達的抽象數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為圖形加以解決． 例13 設(shè)a＞0，b＞0，a＋b = 1，求證：＋≤2yxx＋y = 02ABDCO證明：所證不等式變形為：≤2這可認為是點A()到直線 x＋y = 0的距離．但因()＋()= 4，故點A在圓x＋y= 4 (x＞0，y＞0)上．如圖所示，AD⊥BC，半徑AO＞AD，即有：≤2，所以＋≤2 判別式法[9]通過構(gòu)造一元二次方程，利用關(guān)于某一變元的二次三項式有實根時判別式的取值范圍，來
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