構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)證明不等式-資料下載頁(yè)
2024-10-26 21:14本頁(yè)面
【正文】 能根據(jù)其條件和結(jié)論，結(jié)合判別式的結(jié)構(gòu)特征，通過(guò)構(gòu)造二項(xiàng)平方和函數(shù)：f(x)=(a1xb1)2+(a2xb2)2+K+(anxbn)2 由f(x)179。0，得⊿≤0，就可以使一些用一般方法處理較繁瑣的問(wèn)題，獲得簡(jiǎn)捷明快的證明。,b,c,d206。R+且a+b+c+d=1，求證：a+1+4b+1+4c+1+4d+1﹤6。解析：構(gòu)造函數(shù)：f(x)=(4a+1x1)2+(4b+1x1)2+(4c+1x1)2+(4d+1x1)2＝8x22(4a+1+4b+1+4c+1+4d+1)x+4.(Qa+b+c+d=1)由f(x)179。0，得⊿≤0，即⊿＝4(4a+1+4b+1+4c+1+4d+1)2128163。0.∴4a+1+4b+1+4c+1+4d+1163。42﹤,b,c,d206。R+且a+b+c=1，求解析：構(gòu)造函數(shù)f(x)=（＝(1axa)2+(149++的最小值。abc2xb)2+(3cx)2 1492++)x12x+1,(Qa+b+c=1)abc111由f(x)179。0（當(dāng)且僅當(dāng)a=,b=,c=時(shí)取等號(hào)），632149得⊿≤0,即⊿＝1444（++）≤0 abc111149∴當(dāng)a=,b=,c=時(shí)，(++)min=36 632abc構(gòu)造函數(shù)證明不等式利用函數(shù)的單調(diào)性+例巳知a、b、c∈R，且a求證： a+ma b+mb[分析]本題可以用比較法、分析法等多種方法證明。若采用函數(shù)思想，構(gòu)造出與所證不等式密切相關(guān)的函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性來(lái)比較函數(shù)值而證之，思路則更為清新。a+x+，其中x∈R，0b+xb+abaf（x）==1b+xb+x證明：令 f（x）=∵ba0ba+ 在R上為減函數(shù) b+xba+從而f（x）= 在R上為增函數(shù) b+x∴y=∵m0∴f（m） f（0）∴a+ma b+mb例求證：a+b1+a+b≤a+b1+a+b（a、b∈R）[分析]本題若直接運(yùn)用比較法或放縮法，很難尋其線索。若考慮構(gòu)造函數(shù)，運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性證明，問(wèn)題將迎刃而解。[證明]令 f（x）=x，可證得f（x）在[0，∞)上是增函數(shù)（證略）1+x而0得f（∣a+b∣）≤ f（∣a∣+∣b∣）即： a+b1+a+b≤a+b1+a+b[說(shuō)明]要證明函數(shù)f(x)是增函數(shù)還是減函數(shù)，若用定義來(lái)證明，則證明過(guò)程是用比較法證明f(x1)與f(x2)的大小關(guān)系；反過(guò)來(lái)，證明不等式又可以利用函數(shù)的單調(diào)性。利用函數(shù)的值域例若x為任意實(shí)數(shù)，求證：—1x1≤≤ 221+x2[分析]本題可以直接使用分析法或比較法證明，但過(guò)程較繁。聯(lián)想到函數(shù)的值域，于是構(gòu)造函數(shù)f（x）= x11，從而只需證明f(x)的值域?yàn)閇—，]即可。1+x222x2證明：設(shè) y=，則yxx+y=0 21+x∵x為任意實(shí)數(shù)22∴上式中Δ≥0，即（1）4y≥0411得：—≤y≤ 221x1∴—≤≤ 21+x22∴y≤2[說(shuō)明]應(yīng)用判別式說(shuō)明不等式，應(yīng)特別注意函數(shù)的定義域。另證：類比萬(wàn)能公式中的正弦公式構(gòu)造三角函數(shù)更簡(jiǎn)單。例求證：必存在常數(shù)a，使得Lg（xy）≤ +lg2y對(duì)大于1的任意x與y恒成立。[分析]此例即證a的存在性，可先分離參數(shù)，視參數(shù)為變?cè)暮瘮?shù)，然后根據(jù)變?cè)瘮?shù)的值域來(lái)求解a，從而說(shuō)明常數(shù)a的存在性。若s≥f(t)恒成立，則s的最小值為f(t)的最大值；若 s≤f(t)恒成立，則s的最大值為f(t)的最小值。22證明：∵lgx+lgy 0(x1,y1)∴原不等式可變形為：Lga≥lgx+lgylgx+lgy222lgx+lgy）2lgxlgy令 f(x)= == +222222lgx+lgylgx+lgylgx+lgylgx+lgy22而 lgx0,lgy0,∴l(xiāng)gx+lgy ≥ 2lgxlgy 0∴2lgxlgy≤1 22lgx+lgy∴ 1從而要使原不等式對(duì)于大于1的任意x與y恒成立，只需Lga≥2即 a≥102即可。故必存在常數(shù)a，使原不等式對(duì)大于1的任意x、y恒成立。運(yùn)用函數(shù)的奇偶性xx2xx 證明：設(shè)f（x）=(x≠0)x122 例證明不等式：xxx2xx∵f（x）== x+ x122212xxx[1(12)]+12x2xx=x+= f(x)x122=∴f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱x∵當(dāng)x0時(shí)，12當(dāng)x故當(dāng) x≠0時(shí),恒有f(x)即：xx[小結(jié)]本題運(yùn)用了比較法，實(shí)質(zhì)是根據(jù)函數(shù)的奇偶性來(lái)證明的，本題也可以運(yùn)用分類討論思想。但利用偶函數(shù)的軸對(duì)稱性和奇函數(shù)的中心對(duì)稱性，常能使所求解的問(wèn)題避免復(fù)雜的討論。
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