導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用4——構(gòu)造函數(shù)證明數(shù)列不等式例題[大全5篇]-資料下載頁(yè)
2024-10-26 14:31本頁(yè)面
【正文】 x2+L+xn)x1+x2+L+xnf(x1+x2+L+xn)x1+x2+L+xn222。f(x2)f(x1+x2+L+xn)……222。f(xn)f(x1+x2+L+xn)相加后可以得到:f(x1)+f(x2)+L+f(xn)f(x1+x2+L+xn)所以x1lnx1+x2lnx2+x3lnx3+L+xnlnxn(x1+x2+L+xn)ln(x1+x2+L+xn)令xn=230。11112222246。247。231。ln2+ln3+ln4+L+ln(n+1),有 222231。22247。234(n+1)(1+n)232。248。246。230。111247。231。ln++L+22247。231。23(n+1)248。232。2246。247。247。248。230。1111231。+++L+222231。234(n+1)232。2230。111231。231。22+32+L+(n+1)2232。246。230。111247。ln231。++L+231。247。(n+1)n232。2180。13180。2248。246。247。247。248。1246。230。11246。n230。231。247。231。247。=n+12n+22(n+1)(n+2)232。248。232。248。所以ln2+ln3+ln4+L+1(n+1)ln(n+1)n2(n+1)(n+2)(n206。N).*(方法二)ln(n+1)(n+1)ln(n+1)(n+1)(n+2)179。1246。230。1=ln4231。247。(n+1)(n+2)232。n+1n+2248。1246。nln4230。12ln(n+1)ln4=231。247。2(n+1)232。2n+2248。2(n+2)1ln4所以ln2+ln3+ln4+L+又ln411n+1,所以1ln22+1ln32+1ln42+L+2221(n+1)ln(n+1)n2(n+1)(n+2)(n206。N).*例16.(2008年福州市質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)=0,b0,證明:f(a)+(a+b)ln2179。f(a+b)f(b).解析:設(shè)函數(shù)g(x)=f(x)+f(kx),Qf(x)=xlnx,(k0)\g(x)=xlnx+(kx)ln(kx),\0x162。(x)=lnx+1ln(kx)1=ln令g162。(x)0,則有xkx1222。xkx,k2x0222。∴函數(shù)g(x)在[,k）上單調(diào)遞增，在(0,kk2]∴g(x)的最小值為g()，即總有g(shù)(x)179。g().22而g()=f()+f(kkkk2)=klnk2=k(lnkln2)=f(k)kln2,\g(x)179。f(k)kln2, 即f(x)+f(kx)179。f(k)=a,kx=b,則k=a+b.\f(a)+f(b)179。f(a+b)(a+b)ln2.\f(a)+(a+b)ln2179。f(a+b)f(b).
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