構(gòu)造一次函數(shù)證明不等式-資料下載頁
2024-11-10 18:04本頁面
【正文】 不等式對于大于1的任意x與y恒成立，只需Lga≥2即 a≥102即可。故必存在常數(shù)a，使原不等式對大于1的任意x、y恒成立。運用函數(shù)的奇偶性xx2xx 證明：設(shè)f（x）=(x≠0)x122 例證明不等式：xxx2xx∵f（x）== x+ x122212xxx[1(12)]+12x2xx=x+= f(x)x122=∴f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱x∵當(dāng)x0時，12當(dāng)x故當(dāng) x≠0時,恒有f(x)即：xx[小結(jié)]本題運用了比較法，實質(zhì)是根據(jù)函數(shù)的奇偶性來證明的，本題也可以運用分類討論思想。但利用偶函數(shù)的軸對稱性和奇函數(shù)的中心對稱性，常能使所求解的問題避免復(fù)雜的討論。第五篇：巧用構(gòu)造法證明不等式巧用構(gòu)造法證明不等式構(gòu)造法是指在解決數(shù)學(xué)問題的過程中，為了完成由條件向結(jié)論的轉(zhuǎn)化，通過構(gòu)造輔助元素，架起一座溝通條件和結(jié)論的橋梁，從而使問題得到解決。不等式證明是高中數(shù)學(xué)的一個難點問題，若能巧用構(gòu)造方法，、構(gòu)造函數(shù)證明不等式若能根據(jù)題中條件的特征，巧妙地構(gòu)造函數(shù)，（2011年安徽高考理科題）（Ⅰ）設(shè)x179。1,y179。1，證明 111x+y+163。++xy，xyxy（Ⅱ）1163。a163。b163。c，證明logab+logbc+logca163。logba+logcb+：∵x179。1，y179。1，所以要證明原不等式成立，則只需證xy(x+y)+1163。y+x+(xy)(x)=y+x+(xy)2[xy(x+y)+1]=(y2y)x2+(1y2)x+y1 當(dāng)y=1時，則f(x)=0，即xy(x+y)+1=y+x+(xy)2，所以111x+y+=++xy xyxy111206。(,1).函數(shù)當(dāng)y1時，二次函數(shù)f(x)的圖象開口向上，對稱軸x=+22y2f(x)在[1,+165。)上單調(diào)遞增，所以f(x)179。f(1)=y2y+1y2+y1=0所以111x+y+163。++xy xyxy綜上，所證明的原不等式成立.（Ⅱ）、構(gòu)造方程證明不等式由解不等式的經(jīng)驗知，不等式的解的區(qū)間的端點就是相應(yīng)方程的解，所以可以利用方程與不等式的內(nèi)在聯(lián)系， 設(shè)實數(shù)a,b,c滿足236。a2bc8a+7=0237。2 2238。b+c+bc6a+6=0求證：1163。a163。=a28a+7證明：由已知得237。，故可構(gòu)造關(guān)于x的方程：238。b+c=177。(a1)x2177。(a1)x+a28a+7=0所以D=[177。(a1)]24(a28a+7)179。0，即a210a+9163。0，所以1163。a163。、構(gòu)造三角形證明不等式若能根據(jù)不等式的特征，構(gòu)造出與不等式相同的幾何背景的三角形，,b,c為正實數(shù)，求證：a2+ab+b2+b2+bc+c2+c2+ca+a2179。(a+b+c)證明：由于a2+ab+b2=+b22abcos1200，構(gòu)造三角形ABC，如 q D B使AC=b,BC=a,208。ACB=1200，則AB=a2+ab+=q，則ADbBDaa=，.==sin600sinqsin600sin(1800q)sinq33ba(a+b)所以AB=，BD=.由此可得AB=AD+DB=.sinqsinqsinq∵0qp163。1，所以AB179。，所以0siqn3(a+b)，即2a2+ab+b2179。同理：b2+bc+c2179。(a+b)①.23(c+b)② 2(c+a)③ 2c2+ca+a2179。由①②③得a2+ab+b2+b2+bc+c2+c2+ca+a2179。(a+b+c).四、構(gòu)造幾何體證明不等式若要證明的不等式與幾何體中一些線段的長度有某種內(nèi)在的關(guān)系， 已知a,b,c均為正數(shù)，且a2+b2+c2=：a2+b2+c23(a+b+c)證明：由a2+b2+c2=1，可發(fā)現(xiàn)此式與長方體的對角線長的公式有一定聯(lián)，使其長寬高分別為a,b,c，且AC1=c 1A1 D1而AB1=b2+c2=，有AB1+B1C1AC1，即a2+a1①同理有b2+b1②c2+c1③由①②③得a2+b2+c23(a+b+c).“構(gòu)造”，可以根據(jù)所要證明的不等式的結(jié)構(gòu)特征，合理運用類比、聯(lián)想等方法，構(gòu)造出“輔助元素”，使所要證明的不等式化難為易，從而解決問題。
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