【正文】 。if and only ifxy, is the statement thatwith equality if and only if=(a=177。+of the(xy)2(xy)2xy. For a geometrical interpretation, consider awith sides of lengthandperimeterandxy. Similarly, awith all sides of lengthand the same area as the rectangle. The simplest nontrivial case of the AM–GM inequality implies for the perimeters that+ 2ynatural logarithm, which converts multiplication to addition, is a usings inequalitygeneral proofweightsgeneralized means.BackgroundTheaverage, of a list ofnumbersx2, . . . ,is the sum of the numbers divided bygeometric meannonnegativerootx1,xnexponentialnatural logarithmsnx1,xn,and that equality holds if and only if== xn.Geometric interpretationIn two dimensions,+ 2x2perimeterx1x2. Similarly,is the perimeter of a square with the samearea. Thus for= 2nndimensional box is connected toedges. If these edges39。x2, . . . ,x1x2 +is the total length of edges incident to the vertex. There arevertices, so we multiply this by since each edge, however, meets two vertices, every edge is counted twice. Therefore we divide byand conclude that there areedges. There are equally many edges of each length andlengths。2n?12n?1(x1x2 +ndimensional cube of equal volume. Since the inequality sayswe getwith equality if and only if== xn.Thus the AM–GM inequality states that only thehas the smallest sum of lengths of edges connected to each vertex amongst allx,andn(x,z)financial mathematicsrate of return: the for example, it can be inferred froms inequality, using the concave function ln(x). It can also be proven using thexixj, then replacing bothandby+will leave the arithmetic mean on the lefthand side unchanged, but will increase the geometric mean on the righthand side becauseThus righthand side will be largest — so the idea — when allnnnx1x2x3: Averaging two different numbers produces two equal numbers, but the third one is still different. Therefore, we never actually get an inequality involving the geometric mean of three equal numbers.Hence, an additional trick or a modified argument is necessary to turn the above idea into a valid proof for the case≥ 3.Proof by inductionWith the arithmetic meanof the nonnegative real numbersxn, the AM–GM statement is equivalent towith equality if and only if=for all∈ {1, . . . ,mathematical inductionFor= 1Suppose that the AM–GM statement holds for all choices ofnonnegative real numbers.Induction step:nnonnegative real numbers. Their arithmetic meansatisfies.本科生畢業(yè)論文設(shè)計(jì)關(guān)于不等式證明方法的探討作者姓名：曾海輝指導(dǎo)教師：張碩所在學(xué)院：數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院專業(yè)（系）：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)班級(jí)（屆）：2014屆數(shù)學(xué)B班二〇一四年 四月 三十日目錄目錄………………………………………………………………………………………………1摘要、關(guān)鍵字……………………………………………………………………………………21 問(wèn)題提出 ……………………………………………………………………………………3 在現(xiàn)實(shí)生活中的意義及前景 ………………………………………………………… 3 在數(shù)學(xué)教學(xué)中的現(xiàn)狀和問(wèn)題 ………………………………………………………… 32 常用證明方法……………………………………………………………………………… 5 比較法 ………………………………………………………………………………… 5 分析綜合法 …………………………………………………………………………… 6 反證法 ………………………………………………………………………………… 7 放縮法 ………………………………………………………………………………… 8 換元法………………………………………………………………………………… 11 數(shù)學(xué)歸納法…………………………………………………………………………… 14 判別式法……………………………………………………………………………… 15 函數(shù)單調(diào)性法………………………………………………………………………… 16 幾何證法… ……………………………………………………………………………17 面積體積法… ……………………………………………………………………… 18 極值法 ……………………………………………………………………………… 193 教學(xué)建議與思考……………………………………………………………………………20 內(nèi)容綜述與建議……………………………………………………………………… 19 問(wèn)題總結(jié)與思考……………………………………………………………………… 22參考文獻(xiàn)……………………………………………………………………………………… 23Abstract ………………………………………………………………………………………24 關(guān)于不等式證明方法的探討學(xué)院：數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院專業(yè)：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)指導(dǎo)教師： 張 碩作 者： 曾海輝摘要：不等式及其證明的內(nèi)容極為豐富，在高中數(shù)學(xué)中占據(jù)了相當(dāng)關(guān)鍵的主體地位，它貫穿于高中數(shù)學(xué)的幾乎每一個(gè)章節(jié)之中，同時(shí)，他又是我們實(shí)踐生活應(yīng)用甚為廣泛的一種集理論和技巧于一身的格式化計(jì)算性工具。然而，對(duì)一些不等式的證明又為我們?cè)谏钪欣貌坏仁教峁┝擞辛ψC據(jù)。在證明不等式過(guò)程中，除了等特別常見(jiàn)的原理外，統(tǒng)一的方法沒(méi)有很多，但是經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)同一不等式可有多種證明方法的情形。在教學(xué)生活中，不等式及其證明是教師們的重頭戲，是學(xué)生們的老大難，因此在本文中，、函數(shù)單調(diào)性法、幾何證法、面積體積比較法、極值法等常見(jiàn)證明方法，期望能對(duì)讀者、。 在現(xiàn)實(shí)生活中的意義及前景在日常實(shí)踐活動(dòng)中，不等式及其證明是運(yùn)用最為廣泛，跨領(lǐng)域性最強(qiáng)的一種集理論、技巧于一身的格式化計(jì)算工具，而且，使用不等式來(lái)實(shí)現(xiàn)任務(wù)完成的情況呈現(xiàn)于社會(huì)生產(chǎn)和實(shí)踐生活的各方各面，各個(gè)層次，例如，經(jīng)常見(jiàn)到采購(gòu)批發(fā)方案設(shè)計(jì)，房屋租賃方案設(shè)，消費(fèi)娛樂(lè)方案設(shè)計(jì)等。在研究不等式各個(gè)內(nèi)容（如不等式性質(zhì)、解法和證明方法）的進(jìn)程中，但在此性質(zhì)和解法就不做探討了，而主要探討了不等式的證明中使用的一些常用方法,如上文中所列。但是在上世紀(jì)以前，證明不等式的方法中，除個(gè)別非常一般的原理（如 ）外，統(tǒng)一的證明方法沒(méi)有很多，然而幾種不同的方法或幾種方法用于同一證明過(guò)程中來(lái)證明不等式的情況出現(xiàn)較多。因此，上世紀(jì)末新世紀(jì)初，不等式在形式要求下，得到了突飛猛進(jìn)的發(fā)展和開(kāi)拓，打破了原有的局限，在更多領(lǐng)域得到了更加廣泛更加深層的應(yīng)用。 在數(shù)學(xué)教學(xué)中的現(xiàn)狀和問(wèn)題。然而，眾所周知，我們教育教學(xué)現(xiàn)在面臨的不等式及其證明的現(xiàn)狀是學(xué)生無(wú)法掌握變化多樣的不等式證明方法，遇到問(wèn)題時(shí)，不知如何選用合適的方法，這也是一個(gè)很多老師都遇到的一直未成功解決的共性問(wèn)題。因此，在不等式及其證明的教學(xué)工作中應(yīng)讓學(xué)生熟悉正確掌握不等式的各種性質(zhì)，并適當(dāng)不間斷加強(qiáng)和鞏固學(xué)生們對(duì)他們?cè)诓坏仁綐?gòu)造、解法和證明上的運(yùn)用。在這樣的形勢(shì)下，本文更多的是從一般普遍的情況下進(jìn)行研究，查閱了各方面關(guān)于不等式的習(xí)題相應(yīng)的解題方法，并對(duì)這些習(xí)題和方法進(jìn)行了細(xì)致全面的歸納總結(jié)，還有諸如反證法、體積法等也很常用的證明方法以供參考，希望給讀者們進(jìn)行進(jìn)一步總結(jié)提供一些借鑒和幫助。下面我們就一起來(lái)討論總結(jié)這些不等式的常用證明方法。采用比較的方法，轉(zhuǎn)折性的一步是要進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃危绶纸?，方式，加法和減法，分裂，定理和公式法，和積化差等。其步驟一般是：作差，形變，判斷差值正負(fù)，下論斷，當(dāng)觀察到 同號(hào)時(shí),我們一般會(huì)將其進(jìn)行坐商，再比較 的大小，該方法被稱為作商法。常見(jiàn)類型：（1）單項(xiàng)比較法：也由項(xiàng)目比較法和比較的方法稱為項(xiàng)目，是比較不等式的兩邊的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，每個(gè)相同或相似的項(xiàng)目之間的異同點(diǎn)，并根據(jù)相似性和差異性，給予相同的兩側(cè)，剩余項(xiàng)的大小，不僅減小了不等式的長(zhǎng)度，而且使剩余的不等式的變形方向更加明了，它主要在不等式的證明中的兩側(cè)結(jié)構(gòu)類似的情況下應(yīng)用。（3）綜合比較法：這是一個(gè)更復(fù)雜涉及因素更多需多方面考慮的證明方法，經(jīng)過(guò)綜合分析不等式，經(jīng)常會(huì)同時(shí)用到數(shù)種方法進(jìn)行證明。典型例題討論： 分析與綜合法概述：很多情況下，我們會(huì)把一個(gè)整體事物或現(xiàn)象劃分為更加熟悉簡(jiǎn)潔的幾個(gè)部分，分別進(jìn)行研究探討，并把各個(gè)部分的討論結(jié)果進(jìn)行綜合研究，最終總結(jié)出論斷，此方法我們把它稱為分析與綜合法。而且。注意事項(xiàng)：（1）靈活熟練運(yùn)用常用不等式，形如，（2）， 巧妙解讀并利用條件中的隱含條件，形如的隱含條件為定義域?yàn)槿w正實(shí)數(shù)，（3） 不等式的各種變形技術(shù)的靈活運(yùn)用，例如，移項(xiàng)分割，合并等。 反證法概述:是從待證不等式的否定式入手，經(jīng)推導(dǎo)獲得，若否定成立，則其會(huì)與已知條件或某些定理沖突，因此反面證得所求的不等式成立。注意事項(xiàng):（1）應(yīng)該準(zhǔn)確的對(duì)全部能夠出現(xiàn)的負(fù)面結(jié)果一一探討，明確如惟一、非正、大于等詞語(yǔ)的否定式，（2）經(jīng)常是在直接的結(jié)論與允許的條件之間的關(guān)系和線索不明顯的情況下應(yīng)用，（3） “否定假設(shè)”。適用情況：（1）情況”惟一”式不等式證明，（2）情況否決性不等式證明，如 一定不等于零，（3）“最“式不等式證明，形如 中最少有一個(gè)大于零，(4)“都”或“且”式不等式證明。證明：假設(shè) 都小于 ，則 （注：由假設(shè)驗(yàn)證其與事實(shí)沖突之處）由 得 與（2）沖突。（“至多”“至少”型問(wèn)題） 放縮法概述：在一些不等式證實(shí)過(guò)程中，使用不等式傳遞性，我們會(huì)使其某些項(xiàng)地值適當(dāng)?shù)臄U(kuò)大或減縮，有時(shí)也會(huì)舍掉或增加某些項(xiàng)，然后就可以使不平等相關(guān)項(xiàng)目之間的關(guān)系的尺寸更清楚一些，進(jìn)而使得不等式的其他項(xiàng)獲得簡(jiǎn)化并使不等式獲得更有益的變形，使證明過(guò)程變得更加簡(jiǎn)單清晰。常用放縮公式：放縮法主要是用來(lái)巧妙解決一些兩側(cè)關(guān)系并不緊密，差別較大的不等式的不等式證明，因此熟記一些常用的放縮公式是非常重要的，經(jīng)常能夠起到減輕過(guò)程篇幅，便宜行事的效果