【正文】 ??xf ,則)(xf 在 0x 取得極小值 . 定理五（極值的第二充分條件） 設 )(xf 在的某領域 ),( 0 ?x? 內(nèi)一階可導，在 0xx? 處二階可導，且 0)( 0 ?? xf ， 0)( 0 ??? xf ,(i)若 0)( 0 ??? xf ，則 )( xf 在 0x 取得極大值； (ii)若 0)( 0 ??? xf ，則 )(xf 在 0x 取得極小值 . 極值和最值是兩個不同的概念 .極值僅是在某點的鄰域內(nèi)考慮，而最值是在某個區(qū)間上考慮 .若函數(shù)在一個區(qū)間的內(nèi)部取得最值，則此最值也是極值 .極值的充分條件定理反映了可導函數(shù)的一階導數(shù)符號或二階導數(shù)在可疑點上的導數(shù)符號與函數(shù)極值的關系 . （ 1）構造輔助函數(shù) )(xf ，并取定區(qū)間 . △如何構造輔助函數(shù)？ ①當不等式兩邊均含有未知數(shù)時，可利用不等式兩邊之差構造輔助函數(shù)（見例 5）； ②當不等式兩邊含有相同的“形式”時，可利用此形式構造輔助函數(shù)（見例 6）； ③當不等式形如 axg ?)( （或 axg ?)( ）（ a 為常數(shù)）時，可設 )(xg 為輔助函數(shù)（見例7） . (2)求出 )(xf 在所設區(qū)間上的極值與 最大、最小值 . △極值與最大、最小值的求法 ①極值求法：（ 1）求出可疑點，即穩(wěn)定點與不可導的連續(xù)點；（ 2）按極值充分條件判定可疑點是否為極值點 . SelectionParagraphFormatLineSpacingLinesToPointsSelectionParagraphFormatLineSpacingLinesToPointselectionParagraaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaphFormatLineSpacingLinesToPointsSelectionParagraphFormatLineSpacingLinesTSelectionParbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbagraphFoLineSpacingLinesToPointsSelectionParagraphFormatLineSpacingLinesToPointse11111111111111111111111111111111lectionParagraphFormatLineSpacingLinesToPointsSelectionParagraphFormatLineSpacingLinesToPoctionParagraphFormatLineSpaci2222222222222222222222ngLinesToPoints2SelectionParagraphFormatLineSpacingLinesToPointsSelectionParagraphFormatLineSpacingLinesToPointselectionParagraphFccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccormatLineSpacingLinesToPointsSelectionParagraphFormatLineSpacingLinesToPoctionParagraSelec SelectionParagraphFormatLineSpacingLinesToPointsSelectionParagraphFormatLineSpacingLinesToPointselectionParagraaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaphFormatLineSpacingLinesToPointsSelectionParagraphFormatLineSpacingLinesTSelectionParbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbagraphFoLineSpacingLinesToPointsSelectionParagraphFormatLineSpacingLinesToPointse11111111111111111111111111111111lectionParagraphFormatLineSpacingLinesToPointsSelectionParagraphFormatLineSpacingLinesToPoctionParagraphFormatLineSpaci2222222222222222222222ngLinesToPoints2SelectionParagraphFormatLineSpacingLinesToPointsSelectionParagraphFormatLineSpacingLinesToPointselectionParagraphFccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccormatLineSpacingLinesToPointsSelectionParagraphFormatLineSpacingLinesToPoctionParagraSelec ②最大、最小值的求法：（ 1）閉區(qū)間 ],[ ba 上連續(xù)函數(shù)的最大、最小值的求法：先求出可疑點，再將可疑點處的函數(shù)值與端點 ba, 處的函數(shù)值比較，最大者為最大值，最小者為最小值 .（ 2）開區(qū)間 ),( ba 內(nèi)可導函數(shù)的最大值、最小值的求法：若 )(xf 在 ),( ba 內(nèi)可導，且有唯一的極值點，則此極值點即為最大值點或最小值點 . 例 5：證明：當 0?x 時有 455 ?? xx . 分析：利用差式構造輔助函數(shù) )0(,45)( 5 ???? xxxxf ，這與前面利用函數(shù)單調(diào)性定義證明不等式中所構造輔助函數(shù)的方法相同，但由于 )(xf 在 ),0( ?? 上不是單調(diào)函數(shù)，（因對任意 0, 21 ?xx ，且 )(5)()()(, 2152512121 xxxxxfxfxx ?????? ，不能判斷 )(xf 的符號） .所以不能用可導函數(shù)的單調(diào) 性證明此不等式，則可采用函數(shù)的極值方法試之 .函數(shù)的單調(diào)性證明此不等式，則可采用函數(shù)的極值方法試之 ． 證明：構造輔助函數(shù) )0(,45)( 5 ???? xxxxf ，則有 ),1)(1)(1(5)1)(1(555)( 2224 ?????????? xxxxxxxf 令 0)( ?? xf ，解得 1??x ，其中只有 1?x 在區(qū)間 ),0( ?? 內(nèi)，由 )1(45l i m)(l i m 511 fxxxf xx ???? ??，有 )(xf 在 1?x 點連續(xù) ． 因當 10 ??x 時， 0)( ?? xf ，則 )(xf 在 )1,0( 上為減函數(shù)；當 1?x 時， 0)( ?? xf ，則)(xf 在 ),1( ?? 上為增函數(shù)；由定理四可知， )(xf 在 1?x 處取得極小值，即 0)1( ?f 為區(qū)間),0( ?? 上的最小值，所以當 0?x 時，有 0)1()( ?? fxf ． 故 ),0(0455 ???? xxx 即)0(455 ??? xxx ． SelectionParagraphFormatLineSpacingLinesToPointsSelectionParagraphFormatLineSpacingLinesToPointselectionParagraaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaphFormatLineSpacingLinesToPointsSelectionParagraphFormatLineSpacingLinesTSelectionParbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbagraphFoLineSpacingLinesToPointsSelectionParagraphFormatLineSpacingLinesToPointse11111111111111111111111111111111lectionParagraphFormatLineSpacingLinesToPointsSelectionParagraphFormatLineSpacingLinesToPoctionParagraphFormatLineSpaci2222222222222222222222ngLinesToPoints2SelectionParagraphFormatLineSpacingLinesToPointsSelectionParagraphFormatLineSpacingLinesToPointselectionParagraphFccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccormatLineSpacingLinesToPointsSelectionParagraphFormatLineSpacingLinesToPoctionParagraSelec SelectionParagraphFormatLineSpacingLinesToPointsSelectionParagraphFormatLineSpacingLinesToPointselectionParagraaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaphFormatLineSpacingLinesToPointsSelectionParagraphFormatLineSpacingLinesTSelectionParbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbagraphFoLineSpacingLinesToPointsSelectionParagraphFormatLineSpacingLinesToPointse11111111111111111111111111111111lectionParagraphFormatLineSpacingLinesToPointsSelectionParagraphFormatLineSpacingLinesToPoctionParagraphFormatLineSpaci2222222222222222222222ngLinesToPoints2SelectionParagraphFormatLineSpacingLinesToPointsSelectionParagraphFormatLineSpacingLinesToPointselectionParagraphFccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccormatLineSpacingLinesToPointsSelectionParagraphFormatLineSpacingLinesToPoctionParagraSelec 例 6：設 0,0 ?? ba ，則 bb baba )()11( 1 ??? ? ． 分 析 ： 此 不 等 式 兩 邊 含 有 相 同 的 “ 形 式 ”： BBA)( ， 可 將 不 等 式 變 形 為bbbbbbaa11 )1()1( ?? ??? ，可構造輔助函數(shù) )0()1()( 1 ??? ? xxxxf bb． 證明：將不等式變形為bbbbbbaa11 )1()1( ?? ??? ，構造輔助函數(shù) )0()1()( 1 ??? ? xxxxf bb，則有bbbx bxxxxf 21 )()1()( ???? ?， 令 0)( ?? xf ，則有 bx? ． 當 bx??0 時， 0)( ?? xf ，所以 )(xf 單調(diào)遞減；當 bx? 時， 0)( ?? xf ，則 )(xf 單調(diào)遞增 ． 因此，由定理四可知 )(xf在 bx? 時 取 得 極 小 值 ， 即 最 小 值 ． 所以當 ),0(????a ，有??? ?bbaaaf 1)1()( bbbbbf 1)1()( ??? ，即 )0,(,)()11( 1 ???? ? bababa bb ． 例 7：證明：若 1?p ，則對于 ]1,0[ 中的任意 x 有：12 1)1(1 ????? ppp xx ． 分析：顯然設輔助函數(shù) )10(,)1()( ????? xxxxf pp ，若設121)( ?? pxg，由)10(0)1(2 11)0()0()0( 1 ???????? ? xFgfF p，故很難用函數(shù)單調(diào)性的定義去證明 ． 考慮到 1)1()0( ?? ff ，不難看到不等式 1)1( ??? pp xx ，即為 )(xf 與其端點 1,0 ?? xx 處的函數(shù)值的大小比較問題，因而可想到用最值方法試之 ． 證明：設輔助函數(shù)為 )10(,)1()( ????? xxxxf pp ，則 10 ??x 時，有： ],)1([)1()( 1111 ???? ??????? pppp xxpxppxxf 令 0)( ?? xf 得11 )1( ?? ?? pp xx ,解之得穩(wěn)定點 21?x ,因函數(shù) )(xf 在閉區(qū)間 [0,1]上連續(xù) ,因而在 [0,1]上有最大值和最小值，已知 12 1)211()21()21(,1)1()0( ??????? pppfff. 有SelectionParagraphFormatLineSpacingLinesToPointsSelectio