數(shù)學(xué)專業(yè)畢業(yè)論文定積分中的幾何直觀方法與不等式的證明hu修改-在線瀏覽
2025-03-05 14:16本頁(yè)面
【正文】 算術(shù)—幾何均值不等式，分與進(jìn)行討論證明，讀者不難看出，不僅過(guò)程繁瑣，而且對(duì)其證明思路難以把握。 文[4]借助定積分的方法，給出了一種很自然的證明【4】：命題1的證明【4】 當(dāng)，時(shí)，對(duì)于，有，即，兩邊取積分，得 ， ?。?）即得 （4）對(duì)（3）兩邊分別求和，即得 ?。?）命題1得證。不等式（3）的幾何意義是：如圖1，以為邊的曲邊梯形的面積介于兩個(gè)矩形的面積之間，根據(jù)定積分的幾何意義，即知上面不等式中三部分分別代表了它們的面積。本文將借鑒[4]中方法，即利用定積分的幾何直觀方法，把有關(guān)結(jié)果作進(jìn)一步的推廣。引理1的證明中幾何意義十分明顯，參見(jiàn)下面的圖2。那么可以對(duì)引理1中的不等式（8）進(jìn)一步精細(xì)化，得到定理2 設(shè)為等差數(shù)列且，公差，則 （14）證明 因?yàn)椋ǎ┦窍峦购瘮?shù)，由上述兩條性質(zhì)，得 即得 ?。?5）對(duì)（15）兩端在上積分，得（14）成立。（圖3）推論1 當(dāng)，時(shí)，有該結(jié)果顯然比（4）式更為精細(xì)。例2【１】 試求的值，式中．解 由命題1，可得所以。例4 設(shè)，求的近似值（絕對(duì)誤差不超過(guò)）．解 記數(shù)列是以為首項(xiàng)，公差的等差數(shù)列，那，這里，由定理1，得即，=，不妨取s=。原證比較簡(jiǎn)短，但我們更關(guān)
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