【正文】 ]上的積分，得sin1cosxx2（x0）。即可得到xxxx36sinx（x0）。移項(xiàng)即可得所要證明的不等式：x6sinxxx36+x5120。此種方法對(duì)學(xué)生要求較高，難度也較大，技巧性更強(qiáng)。aibi)163。a229。22iiiinni=1i=1 Schwarz不等式：若f(x),g(x)在（a,b）上可積，則(242。ab2242。g(x)dxa2b2。Holder不等式：設(shè)a1,a2,L,an及b1,b2,L,bn是兩個(gè)正整數(shù)序列，1p+1q=1，則當(dāng)p1時(shí)，有(229。bi)179。ab當(dāng)p0時(shí)，不等號(hào)iii=1n反向。平均不等式：對(duì)任意n個(gè)實(shí)數(shù)ai179。a1+a2+L+ann。為任意實(shí)數(shù)， 已知f(x)179。a求證：(242。f(x)sinkxdx)163。22ab證明：所要證明的式子的左端第一項(xiàng)應(yīng)用 Schwarz不等式(242。ab2baf(x)(2f(x)coskx)dx]2（1）同理可得 163。babaf(x)dx242。baf(x)coskxdx2(242。242。af(x)coskxdx)+(242。1。總結(jié)不等式是數(shù)學(xué)分析中的一個(gè)重點(diǎn)也是一個(gè)難點(diǎn)，也能為其他數(shù)學(xué)分支的學(xué)習(xí)提供一個(gè)重要工具。不等式作為一個(gè)系統(tǒng)，其內(nèi)容較為復(fù)雜，其的證明方法也較多，以上只是簡(jiǎn)要介紹了不等式證明的幾種常用方法，并用例題作一講解，意在拋磚引玉。[a,b],f(x)在[a,x]上也可積，于是，由a，x206。f(x)dtx以定義變下限的定積分：Y(x)=242。[a,b]，：若f在[a,b]上連續(xù)，則其變限積分作為關(guān)于x的函數(shù)，在[a,b]上處處可導(dǎo)，且更一般的有dg(x)f(t)dt=f[g(x)]g162。(x).242。f(t)dt)=f(x)，(242。f(x)g(x)dx]163。f(x)dx242。f(x)g(x)dx]242。g2(x)(u)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且y162。f(x)g(x)dxf2(u)242。f2(x)dxaaauuu =2242。f2(u)g2(x)dx242。[f2(u)g2(x)2f(u)g(u)f(x)g(x)+f2(x)g2(u)]dxauau=242。(u)在[a,b]上單調(diào)減少，則y(b)163。f(x)g(x)dx]242。g2(x)dx163。f(x)g(x)dx]163。f(x)dx242。baa+bbxf(x)dx179。at 證明：構(gòu)造變上限輔助函數(shù)：F(t)=242。[a,b]，F(xiàn)162。a22ta1tf(t)242。[f(t)f(x)]dx, x206。(t)179。F(a)=0,(b179。baxf(x)dx179。a22 利用函數(shù)單調(diào)性證明不等式定理:設(shè)函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù),在(a,b)內(nèi)可導(dǎo),則有(1)如果在(a,b)內(nèi)f162。0,那么,函數(shù)f(x)在[a,b]上單調(diào)增加.(2)如果在(a,b)內(nèi)f162。0,那么,函數(shù)f(x)在[a,b]：ex1+x，x185。(x)=ex1，故當(dāng)x0時(shí)，f162。(x)0，f(x)(x)在x=0處連續(xù)，則當(dāng)x185。+b1+a+b163。(x)=，所以單調(diào)遞增，于0()fx=1+x1+x(1+x)2是由a+b163。f(a+b).即a+b1+a+b163。a1+a+b1+ 利用微分中值定理證明不等式拉格朗日中值定理: 設(shè)函數(shù)f滿足如下條件:(1)f在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)；(2)f在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，則在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)x，使得f39。(x)和g162。g(b)，則存在x206。(x)f(b)f(a)= 39。x206。max|f162。[a,b]2 證明：令M=max|f162。(x)(xa).從而|f(x)|=|f162。M(xa),x206。f(x)dx|163。|f(x)|dx163。M(xa)dx=ln(1+x)0時(shí),試證不等式1+xbbb證明:構(gòu)造函數(shù)f(x)=ln(1+x).則在區(qū)間[0,x]上滿足拉格朗中值定理,且f162。(x)(x0),x206。(0,x), 則長春師范大學(xué)本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）11xln(1+x)=x+x1+x即xln(1+x)+x e，0xyp2，求證ayax(cosxcosy)：令f(t)=at，g(t)=cost, 由題設(shè)條件可知，f(t),g(t)在[x,y](0xy)上滿足柯西中值定理f(x)f(y)f39。(x)則axayaxlnap,0xxy.=cosxcosysin(x)2故ayax=(cosxcosy) 0x故 p2，0sinx1 , 則11, sinxayax(cosxcosy)axlna(cosxcosy)ayax(cosxcosy)積分第一中值定理：若函數(shù)f在[a,b]上連續(xù)，則至少存在一點(diǎn)x206。f(x)dx=f(x)(ba),(a163。b).ab 積分第二中值定理：設(shè)函數(shù)f在[a,b]上可積，若g為單調(diào)函數(shù)，則$x206。baf(x)g(x)dx=g(a)242。f(x) 例1．設(shè)f(x)為[0,1]上的非負(fù)單調(diào)非增連續(xù)函數(shù)（即當(dāng)xy時(shí)，f(x)f(y)），證明對(duì)于0ab1,有下面的不等式成立242。242。af(x)dx=f(x)(ba)163。x11163。從而1a0f(x)=f(x2)a,(0163。a).a因此可得242。f(a)1bf(x)(abb1)242。242。f(x)dx179。abf(x)1,故 bf(x)dx179。a0ab242。baxf(x)dx179。bba(xa+b)f(x)dx179。[a,b]，使242。(x)dx+f(b)242。(xabba+ba+b)dx+[f(b)f(a)]242。242。+bbxf(x)dx179。[a,b]，至少存在一點(diǎn)x206。162。(x0)(xx0)+2!n!(x)在[0,1]存在二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，f(0)=f(1)=0，并且當(dāng)x206。162。A，求證：f162。A，x206。(0,1)，利用f(1)和f(0)在x0點(diǎn)的二階泰勒公式可得f(1)=f(x0)+f39。39。(x0,1).2!f39。(x2)2x0,x2206。(x0)(x0)+ 8長春師范大學(xué)本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）由f(1)=f(0)可得f39。162。A,所以 f39。2f39。(x2)2f39。(x1)x0(1x0)!2!A2x0+(1x0)(0,1)時(shí),x0+(1x0)2163。(x0)163。(x)163。(0,1)2x206。162。f(x)dx(ba)f(aba+bM)|163。()(x)+f162。(x)(x)，x206。(x)dx=0，得a2ba+b1ba+b2)+242。162。baf(x)dx(ba)f(a+b1)=22242。162。2a+b(x)dx 242。d)長春師范大學(xué)本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）(1)若當(dāng)x206。(x)163。(x0,x0+d)時(shí)f162。0,則f在點(diǎn)x0取得極小值.(2)若當(dāng)x206。(x)179。(x0,x0+d)時(shí)f162。0，：設(shè)f在x0的某鄰域U(x0。(x0)=0，f162。(x0)185。162。162。0，n為自然數(shù)時(shí)，242。1.(2n+2)(2n+3)證明：構(gòu)造輔助函數(shù)f(x)=242。(x)=(xx2)163。1時(shí)，f162。0,當(dāng)x1時(shí)，除x=kp(k=1,2,3,188。(x)=0外，均有f162。x163。1時(shí)單調(diào)遞減，因此f(x)在[0,+165。f(1)=242。242。(t2n+1t2n+2)dt01 = =11 2n+22n+31.(2n+2)(2n+3)1,求證：x206。xp+(1x)p163。(x)=pxp1+p(1x)p1(1)=p[xp1(1x)p1].令F(x)=0，則x=而 162。(x)=p(p1)xp2+p(p1)(1x)1, 故F162。()=p(p1)[()p2+()p2](x)在x=處取得極小值，又因?yàn)镕(1)=F(0)=1,F()=(x)在區(qū)間[0,1]上的最大值為1，12p1163。定義:設(shè)f為定義在區(qū)間I上的函數(shù)，若對(duì)I上的任意兩點(diǎn)x1，x2，和任 實(shí)數(shù)l206。lf(x1)+(1l)f(x2), ，如果總有f(lx1+(1l)x2)179。162。0（f162。(x)163。y).21(x0)，證明: 構(gòu)造函數(shù)f(x)=xlnx，這時(shí),f162。(x)=0,所以f(x)在(0,+:(x+y)ln(∞),x0,y0,x185。.22即故(x+y)ln(x+y)xlnx+ylny(x0,y0,x185。.222 例2：（著名的均值不等式）設(shè)ai206。,n)求證：a1+a2188。162。an163。)上為凹函數(shù)，則由凹函數(shù)性質(zhì)可知lna1+lna2+188。+an.163。an)163。+na1a2188。a1+a2188。(165。)； 2!n!sinx=xcosx=1131x+L+(1)n1x2n1+L,x206。,+165。(165。)； 2!4!(2n)!1=1+x+x2+L+xn+L,x206。(1,1]． 23n (0,1)，證明 證明：因1+x,e2x分別可寫成冪級(jí)數(shù)展開式，有： 1x1+x=(1+x)(1+x+x2+L+xn+L)=1+2x+2x2+L+2xn+L,x206。(0,1)．2!n!n2n2nxn則不等式左邊的一般項(xiàng)為2x，右邊的一般項(xiàng)為，而當(dāng)n179。(0,1).1x9 利用著名不等式證明不等式柯西不等式：設(shè)ai,bi為任意實(shí)數(shù)（i=1,188。aibi)163。ai229。f(x)g(x)dx)163。f(x)dx242。[a,b]，li0(i=1,2,188。li=1，有i=1nf(229。229。a179。ai)2．ni=1i=12in證明 ：由柯西不等式(229。ai180。(229。1)=n229。0，在[a,b]上連續(xù)，242。f(x)coskxdx)+(242。:所要證明的式子左端第一項(xiàng)應(yīng)用施瓦茲不等式(242。abba2 f(x)(f(x)coskx)dx）163。f(x)dx242。f(x)(242。242。f(x)coskxdx)+(242。f(x)coskxdx+242。f(x)dx=長春師范大學(xué)本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）(abc)a+b+c3163。162。(x)=lnx+1,f162。(x)=1 x故f(x)=xlnx在xf(a+b+c1)163。(alna+blnb+clnc).333即(a+b+ca+b+c)163。a+b+c,所以 3(abc)a+b+c3163。(abc)a+b+c3163。Inequation。如何證明不等式呢？在本文中，我主要介紹了不等式概念、基本性質(zhì)和一些從初等數(shù)學(xué)中總結(jié)出的證明不等式的常用方法，分別有比較法、綜合法、放縮法、數(shù)學(xué)歸納法、換元法、判別式法、分解法方法。證明不等式方法因題而異，靈活多變，技巧性強(qiáng)。關(guān)鍵字：不等式；數(shù)學(xué)歸納法；函數(shù)；單調(diào)性不等式作為一個(gè)重要的分析工具和分析的手段，在數(shù)學(xué)中具有舉足輕重的地位，不等式的證明可分為推理性問題和探索性問題，推理性問題是指在特定條件下，闡釋證明過程，解釋內(nèi)在規(guī)律，基本方法有比較法,綜合法；探索性問題大多是與自然數(shù)有關(guān)的證明問題，常采用觀察—?dú)w納—猜想—證明的方法思路，以數(shù)學(xué)歸納法完成證明，不等式證明還有其他方法：換元法，放縮法等。希望通過這些方法的學(xué)習(xí)。1不等式概念及基本性質(zhì)：表示不相等關(guān)系的式子。如果ab是零，則a=b；如果ab是負(fù)數(shù)，則ab。即有 a≧b219。0這里符號(hào)219。這個(gè)定義雖然簡(jiǎn)單，實(shí)際它反映不等式的性質(zhì)。首先，根據(jù)不等式的定義，容易證明下述不等式的簡(jiǎn)單性質(zhì)，這些性質(zhì)是證明其他不等式的基本工具。ba(對(duì)稱性)b,bc,則ac(傳遞性)b,則a+bb+c(加法保序性)b,c0，則acbc(乘正數(shù)保序性)b,cd,則a+cb+b,cd,acb0,cd0,則ac.b,ab0,則abab.b0,dc0,則cdb0,n206。N，mnb,amnmn(1)x163。x2a2219。a219。x163。a(a0)219。a2219。a或x163。a177。a+b.(4)a1+a2+...+an163。R，則a2179。,b206。=b時(shí)成立。x+y246。231。R+,247。2232。另一些常用的不等式：ba+179。R+.ab()()a+b+c3179。,b,c206。比較證明不等式的一般步驟是：作差——變形——判斷——結(jié)論。分析綜合法是數(shù)學(xué)中常用的兩種直接證明方法，也是不等式證明中的基本方法。綜合法是由已知條件和已知不等式出發(fā)，推導(dǎo)出所要證明的不等式；分析法則要逐步找出使結(jié)論成立的充分條件，最后歸結(jié)為已知不等式或者已知條件。 所謂構(gòu)造，就是當(dāng)某些數(shù)學(xué)問題用通常的辦法難以奏效時(shí)，根據(jù)題設(shè)條件和結(jié)論的特征性質(zhì)，從新的角度、用新的觀點(diǎn)觀察分析、解釋對(duì)象，抓住反映問題的條件與結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系，用已知數(shù)學(xué)關(guān)系為支架，構(gòu)造出滿足條件或結(jié)論的數(shù)學(xué)對(duì)象，使原題中隱晦不清的關(guān)系和性質(zhì)在新構(gòu)造中的數(shù)學(xué)對(duì)象中清楚地展現(xiàn)出來，從而借助該數(shù)學(xué)對(duì)象解決數(shù)學(xué)問題的 2 方法。在運(yùn)用構(gòu)造法解題時(shí)，一要明確構(gòu)造的目的，即為什么要構(gòu)造；二要弄清楚問題的特點(diǎn)，以便依據(jù)特點(diǎn)、確立方案、實(shí)現(xiàn)構(gòu)造、達(dá)到目的。 作差法在比較兩個(gè)實(shí)數(shù)a和b的大小時(shí)，：作差——變形——判斷（正號(hào)、負(fù)號(hào)、零）.變形時(shí)常用的方法有：配方、通分、因式分解、和差化積、應(yīng)用已知定理、 [例1] 已知a、b206。ab，等號(hào)當(dāng)且僅只當(dāng)a=b時(shí)成立。[證明] 設(shè)a179。0,\aabbabba=abbbaabbab179。顯然上面的不等式當(dāng)且僅aab=bab(a=b)時(shí)等號(hào)成立，故原不等式當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)成立等號(hào)。 作商法在證題時(shí)，一般在a，b均為正數(shù)時(shí)，借助aa1或1來判斷其大小，bab步驟一般為：作商——變形——判斷（大于1或小于1）.[例2]已知a2，求證：log(a1)alog