不等式的性質(zhì)與不等式證明-在線瀏覽
2025-03-09 01:36本頁面
【正文】 1， y＞ 9， 即 x = 4， y = 12 時(shí)， 16/)yx(m i n ??所以當(dāng)且僅當(dāng) x－ 1＝ y－ 9＝ 3 時(shí)， 3．已知： a、 b為實(shí)常數(shù)，求函數(shù)的 最小值． 22 )()( bxaxy ????分析： 從函數(shù)的解析式的特點(diǎn)看，本題可以展開解為關(guān)于 x的二次函數(shù)，再通過配方求其最小值．但若能注意到（ x－ a）＋（ b－ x）為定值，利用變形不等式 即可使本題得解． 222)2(2 nmnm ???解： 22 )bx()ax(y ????222 )2xbax()xb()ax( ????????當(dāng) ，即 時(shí)， xbax ???2bax ??2min ()2aby ??2()2ab?? 從以上三個(gè)小題，可知?均值不等式?的使用，注意了?和??積?的轉(zhuǎn)換，達(dá)到了?放縮?目的．解題時(shí)要?jiǎng)?chuàng)設(shè)應(yīng)用均值不等式的條件，合理拆分項(xiàng)或配湊因式是常用的解題技巧，而拆與湊的成因在于使等號(hào)能夠成立．另外還要注意?和定積最大，積定和最小?． bnam1?? nmba例 4． 已知 a、 b、 m、 n均為正數(shù)，且 ，比較 與 的大?。? nbma?? 比較兩個(gè)數(shù)（式）的大小，注意利用不等式的性質(zhì)，靈活應(yīng)用已知條件，本題可采用作差比較法． 分析： 解： ∵ )nb(bn)ma(bn)nb(amnbmabnam????????)nb(bnb m nab nam nab m?????)()()(nbbnbamnnmab?????∵ ，且 a、 b、 m、 n均正． 1,1 ?? nmba∴ a＜ b， m＜ n 即 ． 0nm,0ba ????故上式分子中 0)(,0)( ???? nmabbamn ∴ 分子＜ 0，分母＞ 0． 0???? nb mabnam則 即 nbmabnam??? 現(xiàn)在試題中?不等式證明?很少，改為在一定條件下比大小，其解題方法仍同于不等式的證明（只不過未確定大?。貏e注意作差比較法中，代數(shù)式的恒等變形．分解因式，乘法公式的運(yùn)用． 例 5． 設(shè) p＞ 0， q＞ 0 且 ，則 p＋ q≤2 233 ?? qp分析： 欲證 p＋ q≤2，可從其反面入手，證明 p＋ q＞ 2是不可能的． 證： 設(shè) p＋ q＞ 2，由 3333 2)(3)( ?????? qppqqpqp∴ ， 6)(3 ?? qppq2)( ?? qppq而 ))((2 2233 qpqpqpqp ??????∴ p＋ q＞ 2 ∴ 22 qpqppq ???即 0)( 2 ?? qp∵ 是不可能的， 0)( 2 ?? qp ∴ p＋ q＞ 2也是不可能的， 2?? qp則 ． 解后思考： 在證明不等式或比大小時(shí)，可以直接證明，也 可以利用間接證明的方法，如反證法，從另一 個(gè)角度考慮，證明有時(shí)可以取得更佳的效果． 例 6． 設(shè) a＋ b＋ c＝ 1， ，且 a＞ b＞ c， 1222 ??? cba031 ??? c求證： 根據(jù) a、 b、 c 滿足的條件，聯(lián)想到用方程的判別式求解，因?yàn)榻o了三個(gè)數(shù)的和，三個(gè)數(shù)平方的和，而要證的是其中一個(gè)數(shù)的取值范圍，所以可用方程思想求解，想到判別式． 分析： 證明： ∵ a＋ b＋ c＝ 1 ∴ a＋ b＝ 1－ c ① 222222 11 cbacba ??????? ② ① 平方，得 ③ ccabba 212 222 ?????② 代入③得 ccabc 2121 22 ?????ccab ?? 2從 a＋ b＝ 1－ c， ，聯(lián)想到 a、 b為方程 ccab ?? 2的兩實(shí)根，又 ∵ a＞ b＞ c 0)1( 22 ????? ccxcx∴ 設(shè) ， ccxcxxf ?
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