本科畢業(yè)論文正定二次型與不等式-資料下載頁(yè)
2025-06-24 19:47本頁(yè)面
【正文】 是說(shuō), 矩陣A的所有主子式都非負(fù), 且其三階主子式等于零, 因而由定理4(ⅳ), 二次型是半正定的. 故對(duì)任意實(shí)數(shù), 不等式(14)成立.不等式(14)即著名的三角形角的嵌入不等式[10]. 設(shè)分別為三角形的三邊長(zhǎng). 證明: 對(duì)任意實(shí)數(shù)有不等式 . (15)證明 , 令, 顯然. 又由海倫(Heron)公式, 不難得到,其中為三角形的面積, (15)成立. 由不等式(15)我們可以得到一系列涉及三角形三邊長(zhǎng)的不等式. 例如, 取, , , 代入不等式(15)即得,展開(kāi)整理, 則有不等式.又如, 當(dāng)是一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)時(shí), 因?yàn)?所以. 同理, , . 這說(shuō)明也構(gòu)成一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng), 于是由不等式(15)知, 不等式 (16)對(duì)任意實(shí)數(shù)都成立.在不等式(16)中, 取, , , 則有,展開(kāi)整理即得 . (17) 不等式(17)正是第6屆國(guó)際中學(xué)生數(shù)學(xué)奧林匹克(IMO)試題.參考文獻(xiàn)[1] 王萼芳, 石明生．高等代數(shù)[M]. 北京: 高等教育出版社, 1999: 210~237.[2] 北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室前代數(shù)小組. 高等代數(shù)[M]. 北京: 高等教育出版社, 2003.[3] 張禾瑞, 郝鈵新. 高等代數(shù)[M], 北京: 高等教育出版社, 1999: 383.[4] 哈代, 李特伍德, 波利亞. 不等式[M]. 越民義, 譯. 北京:科學(xué)出版社, 1965.[5] . 解析不等式[M], 張小萍, 王龍, 譯. 北京: 科學(xué)出版杜, 1987: 75.[6] 匡繼昌. 常用不等式[M]. 第4版, 濟(jì)南: 山東科學(xué)技術(shù)出版社. 2004.[7] 楊文杰. 實(shí)二次型的半正定性及其應(yīng)用[J], 渤海大學(xué)學(xué)報(bào), 2004, 25(02).[8] 劉建. 三元二次型的兩個(gè)定理及其應(yīng)用[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué). 1996, 20(05).[9] 盧小寧, 蕭振綱. 多元二次函數(shù)的一個(gè)性質(zhì)及其應(yīng)用[J]. 數(shù)學(xué)理論與應(yīng)用, 2001, 21(04).[10] 冷崗松. 用二次型理論研究一個(gè)初等不等式[A]. 見(jiàn): 楊世明. 中國(guó)初等數(shù)學(xué)研究文集. 鄭州: 河南教育出版社, 1992: 19
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