【正文】 ? ?? ? ? ? ? ? ? 第二步 , 作平移變換 0y y y?? ， 將方程 (3)化為標準方程 , 其中 ( , , )y x y z? 這里只要用配方法就能找到所用的平移變換 .以下對 1 2 3,?? ? 是否為零進行討論 : 1)當(dāng) 1 2 3, , 0? ? ? ? 時， 用配方法將方程 (3)化為標準方程 ： 2 2 21 2 3x y z d? ? ?? ? ? (61) 根據(jù) 1 2 3,?? ? 與 d 的正負號，可具體確定方程 (61）表示什么曲面 ． 例如 1 2 3,?? ?與 d 同號，則方程（ 61）表示橢球面 ． （ 2） 當(dāng) 1 2 3,?? ? 中有一個為 0，設(shè) 3 0?? 方程（ 3）可 化為 221 2 3( 0 )x y k z z??? ? ? (62) 221 2 3( 0 )x y d k??? ? ? (63) 根據(jù) 12,??與 d 的正負號 ， 可具體確定方程 (62)、 (6３ )表示什么曲面 ． 例如當(dāng)12,??同號時 ， 方程 (62)表示橢圓拋物面 ． 當(dāng) 12,??異號時 ， 方程 (62)表示雙曲拋物面 ， (63) 表示柱面 ． (3) 當(dāng) 1 2 3,?? ? 中有兩個為 ０， 不妨設(shè) 230????， 方程 (3) 可化為下列情況之一 ： 21( ) 0 ( , 0 )a x p y q z p q? ? ? ? ? 此時 ， 再作新的坐標變換 ： 2 2 2 2py qz qy pzx x y zp q p q??? ? ?? ? ??? (實際上是繞 x~ 軸的旋轉(zhuǎn)變換 )， 方程可化為 ： 02221 ????? yqpx? 表示拋物柱面 ； )0(0~~)( 21 ??? pypxb ? 表示拋物柱面 ； )0(0~~)( 21 ??? qzqxc ? 表示拋物柱面 ； 21( ) 0d x d? ??若 1? 與 d 異號，表示兩個平行平面；若 1? 與 d 同號，圖形無實點，若 0d? ，表示 yoz 坐標面． 例 二次曲面由以下方程給出 ， 通過坐標變換 ， 將其化為標準型 ， 并說明它是什么曲面 ． 2 2 22 3 4 4 4 4 2 12 10 0x y z x y y z x y z? ? ? ? ? ? ? ? ? 解 ： 將二次曲面的一般方程寫成矩陣形式： 010 ??? xbAxx TT ，???????????zyxx ，1224????????????b ???????????420232022A )6)(3(189 23 ????????? ??????? EA A 的特征值為 1 2 36 , 3 , 0? ? ?? ? ?， 分別求出它們所對應(yīng)的特征向量 ， 并將它們標準正交化 ： 1132323p???????????????????，2231323p??????????????????，????????????????????3132323p 取 P= ( p1 , p2 , p3 ) , 則 P 為正交矩陣 . 作正交變換 x = Py , 其中 ? ? , 111 Tzyxy ? 則有 : 2121 36 yxxAx T ?? 111 868)( zyxyPbb TT ???? 因此 ， 原方程可化為 ： 221 1 1 1 16 3 8 6 8 1 0 0x y x y z? ? ? ? ? ? 配方得 ： 221 1 18 1 76 ( ) 3 ( 1 ) 8 ( ) 03 7 2x y z? ? ? ? ? ? 令 1 1 18 1 7, 1 ,3 7 2x x y y z z? ? ? ? ? ? 則原方程化為標準方程 ： 0~8~3~6 22 ??? zyx 該曲面為橢圓拋物面 ． 四、總結(jié) 不同方法化簡的優(yōu)劣 對于初學(xué)者來說，配方法是最基礎(chǔ)的方法，它的原理很容易被學(xué)生消化吸收，因此，這種方法需要熟練掌握，靈活應(yīng)用 .配方法是推導(dǎo)二次型重要理論的基礎(chǔ)，要熟悉它的推導(dǎo)過程 .對于簡單的二次型也可以靈活使用合同變換法，有時候這種方法更具簡便性，節(jié)約計算量和計算時間 . 正交變換法由于具有保持幾何形狀不變的優(yōu)點而備受青睞 .在用正交變換法化二次型為標準型中 ,如何求正交矩陣是 一個難點 ,常見的求法只有一種 ,求解過程大致如下 :先用二次型矩陣 A的特征方程求出 A的 n個特征值 ,然后通過直接求矩陣方程的基礎(chǔ)解系 ,得到對應(yīng)于征值的線性無關(guān)的特征向量 ,再用施密特正交化過程將它們正交化、單位化 ,進而得到 n 個兩兩正交的單位特征向量 ,最后由這n 個兩兩正交的單位特征向量構(gòu)成正交矩陣 ,即得所要求的正交變換和對應(yīng)的標準型 .這種方法綜合性比較強 ,算比較復(fù)雜 .雅可比方法是一種新的方法，它的過程與施密特正交化過程類似，思想上也有相似之處 .用它解決正定性問題時比較方便 .體會并深刻理解各種方法的實質(zhì)與技巧，才能幫助 我們快速并正確解決二次型問題 .這需要多做練習(xí)，熟能生巧，方可以不變應(yīng)萬變 . 二次型是高等代數(shù)的重要內(nèi)容之一，二次型的基本問題是要尋找一個線性替換把它變成平方項，即二次型的標準型 .二次型的理論來源于解析幾何中二次曲線、二次曲面的化簡問題，其理論也在網(wǎng)絡(luò)、分析、熱力學(xué)等問題中有廣泛的應(yīng)用 .將二次型化為標準型往往是困惑學(xué)生的一大 難點問題，而且它在物理學(xué)、工程學(xué)、經(jīng)濟學(xué)等領(lǐng)域有非常重要的應(yīng)用，因此探索將實二次型化為標準型的簡單方法有重要的理論與應(yīng)用價值通過典型例題，更能體會在處理二次型問題時的多樣性和靈活性，我們應(yīng) 熟練掌握各種方法 . 致謝 我衷心感謝我們論文指導(dǎo)老師，她在論文選題和寫作過程中，給予了許許多多認真細致的指導(dǎo)和鼓勵 .我也要感謝多年來家人和朋友對我學(xué)習(xí)工作上的支持， 這是我繼續(xù)在求學(xué)路上不斷前進的動力之一 . 大學(xué)生活一晃而過，回首走過的歲月，心中倍感充實，當(dāng)我寫完這篇畢業(yè)論文的時候，有一種如釋重負的感覺，感慨良多 .請允許我以此文來紀念大學(xué)四年的美好時光，時間的前進是無法挽回的，四年的求學(xué)生活讓我明白了一切都來之不易， 得到成果的前提是你要不斷地腳踏實地地付出自己的努力 本文主要就二次型化標準 型的方法進行了一定的探討，在前人的基礎(chǔ)上綜合了六種化二次型為標準型的方法，這對于二次型的研究和教學(xué)都有一定意義！ 參考文獻 [1]王萼芳，石生明 .高等代數(shù)（第三版） [M]北京：高等教育出版社， 2021. [2]同濟大學(xué)數(shù)學(xué)教研室 .線性代數(shù)（第三版） [M]北京：高等教育出版社， 1999. [3]丘維聲 .高等代數(shù)（上冊） [M].北京：高等教育出版社， 2021. [4]屠伯 .線性代數(shù)－方法導(dǎo)引 [M].上海：上海科技出版社， 1986. [5]藍以中 .高等代數(shù)簡明教程 [M].北京：北京大學(xué)出版社， 2021. [6]王琳 .用正交變換化實二次為標準形方法研究 .[J]數(shù)學(xué)通訊， 1990（ 3） . [7]李五明，張永金，張棟春 .實二次型化為標準形的幾種方法 [J]和田師范?？茖W(xué)校學(xué)報（漢文綜合版） 2021， 27（ 5） [8]郭佑鎮(zhèn) .實二次型的化簡及應(yīng)用 [J]渭南師專學(xué)報（自然科學(xué)版） 2021（ 2） . [9]胡明瓊 .把二次型化為標準形的方法 [J]工程數(shù)學(xué) .1998， 14（ 1） . [10]北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室小組編 .高等代數(shù) (第三版 )[M].高等教育出版社 .2021:205234. [11]莊瓦金編 .高等代數(shù)教程 [M].高等教育出版社 .2021:427. [12]陳惠汝 ,劉紅超 .淺淡二次型標準形的兩種方法 [J].長春師范學(xué)院報 ,2021,23(2):1315. [13]孫秀花 .二次型的應(yīng)用 [J].宜賓學(xué)院報 ,2021,10(6):2829 [14] 魚浩 , 戴培良 . 二次型在不定方程中的應(yīng)用 [J]. 常熟理工學(xué)院報 ,2021,23(10):3842 [15]楊文杰 .實二次型半正定性及應(yīng)用 [J].渤海大學(xué)學(xué)報 ,2021,25(2):127129 [16]鄭華盛 .二次型半正定性在不等式證明中的應(yīng)用 [J].科技通報，2021,18(30):227 [17]袁仕芳 ,陳云長 ,曾麗容 .關(guān)于二次型 XAX最大值和最小值的教學(xué)思考 [J].考試周刊 ,2021,35:74 [18],DanKalmanTeachingLinearAlgebra:IssuesandResources[J].Th.