求極限及幾種方法論文-資料下載頁
2025-01-13 07:55本頁面
【正文】 11l i m s i n s i n1( 1 )nn ii x dxnnn?? ????? ?? ? ?? ? ? 12： 利用級數(shù)求解極限問題 （ 1） 利用收斂級數(shù)通次趨向于零 例： 5!(2 )nn nnx n?? 解：因為 1115 ( 1 ) ! ( 2 ) 5 5 1 5() 1( 2 2) 5 ! 2 1 2 2( 1 )nn nnnn nnx n n nx n n n en?????? ? ? ?? ? ? ? ?（當 n?? 時） 故正項級數(shù)1 nn x???收斂，從而通項 0nx? （當 n?? 時） （ 2） 利用收斂級數(shù)余項趨向于零 例：求2 2 21 1 1l im ( 1 ) ( 2 )n n n n?? ??? ? ?????? 解：因為級數(shù)211k k???收斂，因此其余項 21 1 0 ( )n knR k???? ? ? ?? 當 n 時 有關(guān)求 極限運算的方法 14 2 2 21 1 10 0 ( n )( 1 ) ( 2 )n n n? ? ? ? ? ? ?? 當 時 故原極限為零。 （ 3） 利用級數(shù)11 nnn xx??? ??的收斂性 由于若11 nnn xx??? ??收斂，則11niii xx?? ??也收斂，因此 111 ()nn k kkx x x x??? ? ??極限存在 ()n???當 時 例：設 111 ln2nxnn? ? ? ? ? 證明 ??nx 收斂 證明： ? ?1 1 l n l n ( 1 )nnx x n nn?? ? ? ? ? 對 ln ln( 1)nn??利用 Lagrange 中值定理公式 1l n l n ( 1 ) 1 nnn n n n??? ? ? ? ? ?其 因此有1 22111,( 1 )nnn nnnxx nn???? ??? ? ??? ?而 收 斂（ n1 ） 故11 nnn xx??? ??收斂，從而11nn k kkx x x ?????也收斂。 13 利用連續(xù)性求極限 例：求 22lim sin ( )n nn??? ? 解： 2 2 2 2 2 22sin ( ) sin ( ) sin ( ) sin 111nn n n n nn n nn??? ? ?? ? ? ? ? ??? ?? 由于初等函數(shù)在有定義的地方皆連續(xù) 原極限 22si n l i m si n 1211nn????????? ? ?????? 有關(guān)求 極限運算的方法 15 12 利用兩個重要極限求極限 （ 1） 1lim (1 )xx ex??? ?? （ 2） 0sinlim 1xxx? ? 下面我們來證明這兩個結(jié)論成立的情況： （ 1）證明 。 我們先證 1lim 1+xex?????????。首先，對任意 1x? ，有 ? ?? ?? ?? ? 11 1 11 1 1 ++1xxxx x x?? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ???? ? ? ?， 其中 ??x 表示 x 的整數(shù)部分。當 x??? 時，不等式左，右兩側(cè)表現(xiàn)為兩個數(shù)列極限 1lim 1 1 nn en??????????? 與 11lim 1 nn en??????????? 利用函數(shù)極限的夾逼性，得到 1lim 1 xx ex?????????? 再證 1lim 1 xx ex??????????，為此令 yx?? ，于是當 x??? 時， y??? ，從而有 11 1 1 1l i m 1 l i m 1 l i m 1 111yyxx x y ex y y y??? ? ? ? ? ????? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ??????? ? ? ? ? ? ??? 將 11l im 1 l im 1xxxxeexx? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?與結(jié)合起來，就得到 1lim 1 xx ex?????????? 有關(guān)求 極限運算的方法 16 （ 1） 圖（ 1）設 AOB? 的弧度為 ,0 2xx??? ，由于 OAB? 面積 O A B O B C??扇 形 面 積 面 積，可以得到 si n ta n , 0 2x x x x ?? ? ? ?。 從而有 si nc o s 1, 0 2xxxx ?? ? ? ? 顯然上式對于 02 x?? ? ? 也成立。 由于 22c o s 1 2 s in 22xxx ? ? ?， 可知0limcos 1x x? ?。應用極限的夾逼性，得到的 0sinlim 1xxx? ? 例題：對于 1lim 1 xx ex??????????的應用 求極限： ? ?10lim 1 5 xx x? ? 解： ? ? ? ? 511 5500l im 1 5 l im 1 5xxxxx x e????? ? ? ????? y O A B C 有關(guān)求 極限運算的方法 17 例題：對于0sinlim 1xxx? ?的應用 求極限：0sin3limxxx? 解：00si n 3 si n 3lim lim 3 33xxxxxx??? ? ? 參 考 文 獻 [1] 華東師范大學數(shù)學系 .數(shù)學分析 [M].北京 :高等教育出版社 ,2022. [2] 吉林大學 .數(shù)學分析 (下冊 )[M].北京 :高等教育出版社 ,2022. [3] 同濟大學 .高等數(shù)學（下冊，第五版） [M].北京 :高等教育出版社 ,2022. [4] 數(shù)學分析 上冊 陳紀修 於崇華 金路 [M]北京：高等教育出版社， 1999（ 2022 重印） .
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