淺談求函數(shù)極限的方法-資料下載頁(yè)
2025-08-23 20:22本頁(yè)面
【導(dǎo)讀】關(guān)鍵詞：極限；極限的定義；羅必達(dá)法則；泰勒公式；單調(diào)有限法則；
【正文】 ~ xg . )( 0xx? . 定理 ： 設(shè)函數(shù) )(),(),( xhxgxf 在 )( 00 xu 內(nèi)有定義，且有 )(xf )(~ xg . )( 0xx? 0lim ( )h ( )xx f x x A? ?則0lim h( ) ( )xx x g x A? ? 0x()lim ()xhx Bfx? ?則0x()lim ()xhx Bgx? ? 由該定理就可利用等價(jià)無(wú)窮小量代換來(lái)求某些函數(shù)的極限 例 求30 tan sinlim sinx xxx? ?的極限 解 由 ).c o s1(c o ss ins int a n xxxxx ??? 而 )0(,~sin ?xxx ； ,2~cos1 2xx? ( 0)x? ； 33sin xx ? 3~x , ( 0)x? . 故有23300ta n sin 1 12l im l imsin c os 2xxxxxxx x x???? ? ? ? 注 1 由上例可以看出，欲利用此方法求函數(shù)的極限必須熟練掌握一些常用的等價(jià)無(wú)窮小量： ? ?sin ~ 0x x x ? ， ? ?tan ~ 0x x x ?， ? ?21 co s ~ 02xxx??， ? ?arcsin ~ 0x x x ?， ? ?arctan ~ 0x x x ?， ? ?1 ~ 0xe x x??， ? ? ? ?ln 1 ~ 0x x x??，? ? ? ?1 1 ~ 0x x x? ?? ? ? ? 注 2 在利用等價(jià)無(wú)窮小代換求極限時(shí)，應(yīng)該注意：只有對(duì)所求極限中相乘或相除 12 12 12 的因式才能用等價(jià)無(wú)窮小量來(lái)代換， 而對(duì)極限式中的相加或相減的部分則不能隨意代換 。 如 上 式 中 若 因 有 tan ~xx， ( 0)x? ； sin ~ , ( 0)x x x ? ， 而 推 出 的3300ta n sinl im l im 0sin sinxxx x x xxx??????，則得到的結(jié)果是錯(cuò)誤的。 小結(jié) 在求解極限的時(shí)候要特別注意無(wú)窮小 量 等價(jià)替換 ,無(wú)窮小 量 等價(jià)替換可以很好的簡(jiǎn)化解題。 利用其它變換來(lái)求極限 利用變量替換進(jìn)行極限計(jì)算，要靈活多變 。 例 求11lim lnxxxxx?? 解 令 1xtx?? 則 ln ln( 1)x x t?? 1)1l n (1lim)1ln (limln 1lim 001 ?????? ???ttttxxx ttxx 10． 用歸結(jié)原理求極限 歸結(jié)原則 ： 設(shè) f 在 ? ?0 0。39。Ux? 內(nèi)有定義， ? ?0limxxfx?存在的充要條件是：對(duì)任何含于? ?0 0。39。Ux? 且以 0x 為極限的數(shù)列 ??nx ，極限 ? ?lim nn fx?? 都存在且相等． 例 求極限211lim 1nn nn?????????? 分析： 利用復(fù)合函數(shù)求極限，令 ? ? 21211 xxxux x ??????????， ? ? 1xvx x?? 求解． 解： 令 ? ? 21211 xxxux x ??????????， ? ? 1xvx x?? 則有 ? ?limx u x e??? ? ； ? ?lim 1x vx??? ? ， 由冪指函數(shù)求極限公式 得 ? ? ? ?211l i m 1 l i mx vxxx u x exx? ? ? ? ? ???? ? ? ????? ， 故由歸結(jié)原則得 221 1 1 1l i m 1 l i m 1nxnx en n x x?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? 注 1 歸結(jié)原則的意義在于把函數(shù)歸結(jié)為數(shù)列極限問(wèn)題來(lái)處理，對(duì)于 0xx?? ， 13 13 13 0xx?? ， x??? 和 x??? 這四種類(lèi)型的單側(cè)極限，相應(yīng)的歸結(jié)原則可表示為更強(qiáng)的形式． 注 2 若可找到一個(gè)以 0x 為極限的數(shù)列 ??nx ，使 ? ?limnn fx??不存在，或找到兩個(gè)都以 0x 為極限的數(shù)列 ??39。nx 與 ??39。39。nx ，使 ? ?39。limnn fx??與 ? ?limnn fx??都存在而不相等，則 ? ?0limxxfx?不存在． 11 總結(jié) 以上方法是在高等數(shù)學(xué)里求解極限的重要方法。在做求解極限的題目時(shí)，僅僅掌握以上方法的而不能夠透徹清晰地明白以上各方法所需的條件也是不夠的，必須要細(xì)心分析仔細(xì)甄選，選擇出適當(dāng)?shù)姆椒?。這樣不僅準(zhǔn)確率更高，而且會(huì)省去許多不必要的麻煩，起到事半功倍的效果。這就要求學(xué)習(xí)者要吃透其精髓，明了其道理，體會(huì)出做題的竅門(mén)。達(dá)到這樣的境界非一日之功，必須要多做題善于總結(jié)，日積月累，定會(huì)熟能 生巧，在做題時(shí)得心應(yīng)手。 致謝 本文是在張克梅老師的精心指導(dǎo)下完成的，張老師的廣 博的學(xué)識(shí)，嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的治學(xué)態(tài)度，高度的敬業(yè)精神對(duì)我產(chǎn)生了重要影響，張老師開(kāi)闊的視野和敏銳的思維給了我深深的啟迪，在此對(duì)張老師表示深深的感謝！ 參考文獻(xiàn) [1] 郝 梅：求函數(shù)極限的方法 .福建教育學(xué)校學(xué)報(bào) .. [2] 劉小軍 :高等數(shù)學(xué)解題方法 .云南廣播電視大學(xué)理工學(xué)院學(xué)報(bào) . [3] 劉書(shū)田：高等數(shù)學(xué) .北京大學(xué)出版社 .2020 [4] 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編．?dāng)?shù)學(xué)分析 [M]．北京：高等教育出版社， 1991，第 2版 [5] 郝 涌：盧士堂等 .《數(shù)學(xué)考研精解》 .華中理工大學(xué)出版社 .2020 [6] 錢(qián)吉林．?dāng)?shù)學(xué)分析題解精粹 [M]．武漢：崇文書(shū)局， 2020
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