函數(shù)的極限及連續(xù)-資料下載頁(yè)
2025-05-16 01:41本頁(yè)面
【正文】 14可以看出，如果函數(shù)的圖形在的某一鄰域內(nèi)沒(méi)有斷開(kāi)，那么當(dāng)保持不變，而讓時(shí)，曲線(xiàn)上的點(diǎn)，即，從而函數(shù)改變量由此有如下定義. 設(shè)函數(shù)在內(nèi)有定義，若當(dāng)自變量在處的改變量趨近于零時(shí)，相應(yīng)的函數(shù)改變量也趨近于零，即則稱(chēng)函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)，稱(chēng)點(diǎn)為函數(shù)的連續(xù)點(diǎn).例2 ：函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù).證明 顯然函數(shù)在點(diǎn)的鄰域內(nèi)有定義. 現(xiàn)設(shè)自變量在處有改變量，則由例1，當(dāng)，相應(yīng)的函數(shù)改變量的極限.所以，函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù).，若令，則就是，就是，即就是.因此，函數(shù)在點(diǎn)的連續(xù)定義也可敘述如下： 設(shè)函數(shù)在內(nèi)有定義，若當(dāng)時(shí)，函數(shù)的極限存在，而且極限值就等于在點(diǎn)處的函數(shù)值，即則稱(chēng)函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù).例3 ：函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù).證明 顯然在的鄰域內(nèi)有定義，由無(wú)窮小的性質(zhì)可知，即 ，函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù).函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的連續(xù)性若函數(shù)在開(kāi)區(qū)間內(nèi)的每一點(diǎn)處都連續(xù)，則稱(chēng)函數(shù)在開(kāi)區(qū)間內(nèi)連續(xù)若函數(shù)在有定義，且，則稱(chēng)函數(shù)在處.左連續(xù).若函數(shù)在有定義，且，則稱(chēng)函數(shù)在處右連續(xù).顯然函數(shù)在處連續(xù)的充要條件是：函數(shù)在該點(diǎn)既是左連續(xù)，又是右連續(xù).若函數(shù)在開(kāi)區(qū)間內(nèi)連續(xù)，且在右連續(xù)，在左連續(xù)，則稱(chēng)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù).函數(shù)的間斷點(diǎn)，函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)必須同時(shí)滿(mǎn)足下列條件：（1）函數(shù)在點(diǎn)處有定義；（2）當(dāng)時(shí)，的極限存在；（3）極限等于在點(diǎn)處的函數(shù)值，即.上述三個(gè)條件中只要有一個(gè)不滿(mǎn)足，函數(shù)在點(diǎn)處就不連續(xù).若函數(shù)在點(diǎn)處不連續(xù)，則稱(chēng)函數(shù)在點(diǎn)處間斷，稱(chēng)點(diǎn)為函數(shù)的間斷點(diǎn). 設(shè)為的一個(gè)間斷點(diǎn)，如果與均存在，則稱(chēng)為函數(shù)的第一類(lèi)間斷點(diǎn)，（特別地，當(dāng)，為函數(shù)的可去間斷點(diǎn)）否則，稱(chēng)為的第二類(lèi)間斷點(diǎn).二、初等函數(shù)的連續(xù)性我們不加證明地給出如下重要事實(shí)：一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的.這樣，求初等函數(shù)的連續(xù)區(qū)間就是求初等函數(shù)的定義區(qū)間. 關(guān)于分段函數(shù)的連續(xù)性，除按上述結(jié)論考慮每一分段區(qū)間內(nèi)的連續(xù)性外，必須討論分界點(diǎn)的連續(xù)性.例4 求下列函數(shù)的連續(xù)區(qū)間和間斷點(diǎn)，并指出間斷點(diǎn)的類(lèi)型.（1） （2） 解 （1）其連續(xù)區(qū)間即為定義區(qū)間：、是它的兩個(gè)間斷點(diǎn).因?yàn)? ，所以是第二類(lèi)間斷點(diǎn).因?yàn)? ，所以是第一類(lèi)可去間斷點(diǎn).（2）顯然，在分段區(qū)間內(nèi)連續(xù)，現(xiàn)考察分界點(diǎn)的極限.所以是間斷點(diǎn)，且是第一類(lèi)間斷點(diǎn).； 所以 是連續(xù)點(diǎn)，故函數(shù)的連續(xù)區(qū)間是，.三、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（最大值、最小值定理） 若函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，則函數(shù)在區(qū)間上必然存在最大值與最小值.如圖115所示，函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù),則在閉區(qū)間上至少存在一點(diǎn)，使得是函數(shù)在區(qū)間上的最大值，即對(duì)一切，均有成立；同樣，也至少有一點(diǎn)，使得是函數(shù)在區(qū)間上的最小值，即對(duì)一切，均有成立.圖115圖116 （介值定理） 設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，，且，則對(duì)于與之間的任一值，在開(kāi)區(qū)間內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得如圖115所示，在上連續(xù)的曲線(xiàn)與直線(xiàn)（介于，之間）至少有一個(gè)交點(diǎn)，設(shè)交點(diǎn)橫坐標(biāo)為，則縱坐標(biāo)為.（零點(diǎn)定理） 設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，且，則在開(kāi)區(qū)間內(nèi)，至少存在一點(diǎn)，使得.如圖116所示，當(dāng)時(shí)，上的連續(xù)曲線(xiàn)與軸至少有一個(gè)交點(diǎn).習(xí)題15 已知 證明在處連續(xù)，在處間斷.求下列函數(shù)的連續(xù)區(qū)間和間斷點(diǎn)，并指出間斷點(diǎn)的類(lèi)型.（1） （2）已知函數(shù) 在內(nèi)連續(xù)，試求與的值.本章內(nèi)容小結(jié)本章的主要內(nèi)容有：函數(shù)與反函數(shù)的概念；函數(shù)的有界性，奇偶性，單調(diào)性和周期性；基本初等函數(shù)的性質(zhì)及復(fù)合函數(shù)與初等函數(shù)的概念.數(shù)列極限與函數(shù)極限的概念；極限的四則運(yùn)算；無(wú)窮大與無(wú)窮小的概念；兩個(gè)重要極限與及運(yùn)用.函數(shù)的連續(xù)點(diǎn)與間斷點(diǎn)的概念；函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)須滿(mǎn)足的三個(gè)條件；初等函數(shù)的連續(xù)性；閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)；最大值與最小值定理、介值定理、零點(diǎn)定理.學(xué)習(xí)中要注意的幾點(diǎn)：（1）, （2）極限的四則運(yùn)算法則僅適用于有限個(gè)具有極限的函數(shù)的情形；（3）極限與連續(xù)的關(guān)系：若在點(diǎn)處連續(xù)，則極限存在；反之不一定成立.復(fù)習(xí)題一圖117 設(shè)為定義在對(duì)稱(chēng)區(qū)間上的函數(shù)，試判斷函數(shù)與的奇偶性. 你能從此題的結(jié)果中得出什么結(jié)論？設(shè)圓錐底面直徑和母線(xiàn)都為，在該圓錐內(nèi)作內(nèi)接圓柱（如圖117），試將圓柱體積表示成圓柱底面半徑的函數(shù).求下列極限（1） （2）（3） （4）（5） （6）（7） （8）設(shè)，求求下列函數(shù)的連續(xù)區(qū)間和間斷點(diǎn)，并指出間斷點(diǎn)的類(lèi)型.（1） （2） 已知，求常數(shù)、之值.已知 在處連續(xù)，求與. 專(zhuān)業(yè)整理分享
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