【正文】 )xlim174。+165。arccosx)=π/34)xlim174。165。x)=1 x174。0y174。2（4）0165。型：230。p246。1）limx231。arctanx247。=1x174。+165。232。2248。2)lim(x1)tanx174。1px2=π/2（5）1165。型：230。2246。1）lim231。1247。x174。165。232。x248。3x+2=e^(6)4x+2230。3x1246。2）lim231。247。x174。165。3x+2232。248。3)lim(1+2x)x174。0 =e^(4)=e^(2/5)1sin5x1246。230。4)lim231。cos247。=e^(1/2)x174。165。x248。232。（6）00型：1）lim+xsinx=1 x174。0x2方法:lim x^sinx=lim e^(sinxlnx)公式：f(x)^g(x)=e^(g(x)ln(f(x)))（7）165。型：1）lim(x+20xx174。+165。)1x=2同上已知：f(x)=sin2x+ln(13x)+2limf(x)，求f(x) x174。0xf(x)=(sin2x)/x+ln(13x)+2(方法：兩邊limf(x)x0)x2+x求函數(shù)f(x)=的間斷點(diǎn)，并判定類型。2xx1駐點(diǎn)x=0,x=1,x=11）當(dāng)x=0+時(shí)，f(x)=1；當(dāng)x=0時(shí)，f(x)=1 跳躍間斷點(diǎn)2）當(dāng)x=1時(shí)，f(x)=oo。第二類間斷點(diǎn)3）當(dāng)x=1時(shí)，f(x)=1/2。但f(1)不存在，所以x=1是可去間斷點(diǎn)236。sin2x239。x239。239。設(shè)函數(shù)f(x)=237。a239。ln1+bx)239。(239。238。1e2xx0x=0在定義域內(nèi)連續(xù)，求a與b x0Lim sin(2x)/x|x0=2=a=b/2=a=2,b=4證明方程：x33x29x+1=0在(0,1)內(nèi)有唯一的實(shí)根。（存在性與唯一性）證明：1）存在性：令f(x)=x^33x^29x+1f(0)=10。f(1)=10因?yàn)閒(0).f(1)2）唯一性f’(x)=3x^26x9=3(x+1)(x3)所以f(x)在(0,1)內(nèi)為單調(diào)減函數(shù)故x33x29x+1=0在(0,1)內(nèi)有唯一的實(shí)根。第五篇：函數(shù)極限與連續(xù)教案第四講Ⅰ 授課題目（章節(jié)）：函數(shù)的連續(xù)性Ⅱ 教學(xué)目的與要求：正確理解函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)及在某一區(qū)間內(nèi)連續(xù)的定義；了解初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)是連續(xù)的、基本初等函數(shù)在定義域內(nèi)是連續(xù)的；了解初等函數(shù)的和、差、積、商的連續(xù)性，反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性； 6 掌握閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)：重點(diǎn)：函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)的定義，間斷點(diǎn)，初等函數(shù)的連續(xù)性難點(diǎn)：函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)的定義，閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)Ⅳ 講授內(nèi)容：一 連續(xù)函數(shù)的概念函數(shù)的增量定義1設(shè)變量u從它的初值u0變到終值u1，終值與初值之差u1u0，稱為變量u的增量，或稱為u的改變量，記為Du，即Du=u1u0Dx=x1x0Dy=f(x0+Dx)f(x0)函數(shù)的連續(xù)性定義2 設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，若當(dāng)自變量的增量Dx趨近于零時(shí)，相應(yīng)函數(shù)的增量Dy也趨近于零，即limDy=0或 Dx174。0Dx174。0limf(x0+Dx)f(x0)=0則稱函數(shù)f(x)在x0點(diǎn)連續(xù)2例1 用連續(xù)的定義證明y=3x1在點(diǎn)x0=2處是連續(xù)的證明 略若令x=Dx0+x則當(dāng)Dx174。0時(shí)，x174。x0又Dy=f(x0+Dx)f(x0)即f(x)=f(x0)+Dy故Dy174。0就是f(x)174。f(x0)因而limDy=0可以改寫成limf(x)=f(x0)Dx174。0x174。x0定義3 設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，若x174。x0limf(x)=f(x0)則稱函數(shù)f(x)在x0點(diǎn)連續(xù)由定義3知函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0連續(xù)包含了三個(gè)條件：（1）f(x)在點(diǎn)x0有定義（2）limf(x)存在x174。x0（3）limf(x)=f(x0)x174。x0236。sinx,x185。0239。例2 考察函數(shù)f(x)=237。x在點(diǎn)x=0處得連續(xù)性239。1,x=0238。解略 若limf(x)=f(x0)，則函數(shù)f(x)在x0點(diǎn)左連續(xù) x174。x0若limf(x)=f(x0)，則函數(shù)f(x)在x0點(diǎn)右連續(xù) x174。x0+由此可知函數(shù)f(x)在x0點(diǎn)連續(xù)的充分必要條件函數(shù)f(x)在x0點(diǎn)左連續(xù)又右連續(xù)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)的定義（a,b）（a,b）定義5 若函數(shù)f(x)在開區(qū)間內(nèi)每一點(diǎn)都連續(xù)，則稱函數(shù)f(x)在開區(qū)間內(nèi)連續(xù)（a,b）若函數(shù)f(x)在開區(qū)間內(nèi)連續(xù)，且在左端點(diǎn)a右連續(xù)，在右端點(diǎn)b左連續(xù)，則稱稱函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)（165。,+165。）例3 討論函數(shù)y=x在內(nèi)的連續(xù)性解 略二 函數(shù)的間斷點(diǎn)定義6函數(shù)f(x)不連續(xù)的點(diǎn)x0稱為函數(shù)f(x)的間斷點(diǎn)由定義6可知函數(shù)f(x)不連續(xù)的點(diǎn)x0有下列三種情況（1）f(x)在點(diǎn)x0沒有定義（2）limf(x)不存在x174。x0（3）limf(x)185。f(x0)x174。x02間斷點(diǎn)的分類236。236。左右極限都相等（可去間斷點(diǎn)）第一類間斷點(diǎn)：左右極限都存在239。237。間斷點(diǎn)237。 238。左右極限不相等（跳躍間斷點(diǎn)）239。第二類間斷點(diǎn)：左右極限至少有一個(gè)不存在238。236。x2+1,x185。0例4考察函數(shù)f(x)=237。在x=0處得連續(xù)性238。0,x=0解 略例5考察函數(shù)f(x)=237。解 略236。1239。,x185。0例6考察函數(shù)f(x)=237。x在x=0處得連續(xù)性239。0,x=0238。236。x,x163。0238。x+1,x0在x=0處得連續(xù)性解 略三 連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算與初等函數(shù)的連續(xù)性連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商的連續(xù)性反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性初等函數(shù)的連續(xù)性：基本初等函數(shù)在它們的定義域內(nèi)都是連續(xù)的．一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的．對(duì)于初等函數(shù),由于連續(xù)性x174。x0limf(x)=f(x0),求其極限即等價(jià)于求函數(shù)的函數(shù)值四閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)定理1（最大值最小值定理）若函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上必有最大值和最小值定理2（介值定理）若函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，m 和M分別為f(x)在[a,b]上的最小值和最大值，則對(duì)于介于m 和M之間的任一實(shí)數(shù)C，至少存在一點(diǎn)x206。[a,b]，使得f(x)=C定理3（零點(diǎn)定理）若函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且f(a)與f(b)異號(hào)，則至少存在一點(diǎn)x206。[a,b]，使得f(x)=0例7 證明x5+2x2=0在區(qū)間(0,1)內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根 證明 略Ⅴ 小結(jié)與提問：Ⅵ 課外作業(yè)：習(xí)題18 2，5，7，9