函數(shù)極限與連續(xù)知識(shí)梳理-資料下載頁(yè)
2025-07-25 05:19本頁(yè)面
【正文】 ，所以判斷函數(shù)極限不存在的方法五、判斷函數(shù)極限不存在的方法。1．若極限不存在。例31 討論極限.解 取取而不存在。2．若例32 討論極限.解 取，知不存在。六、關(guān)于函數(shù)連續(xù)性的應(yīng)用和間斷點(diǎn)的討論。1．函數(shù)連續(xù)性的應(yīng)用例33 設(shè)在區(qū)間X上的連續(xù)，且在有理點(diǎn)處都等于0，則。證取有理數(shù)列，使，由，根據(jù)歸結(jié)原則知。例34 若在區(qū)間X上連續(xù)，當(dāng)為有理數(shù)，則在區(qū)間X遞增。證，取有理數(shù)列, 根據(jù)條件有由于，在不等式（1）中，令，得。所以在區(qū)間X是遞增函數(shù)。注：這里區(qū)間X可以是閉區(qū)間、開(kāi)區(qū)間、半閉半開(kāi)區(qū)間或無(wú)窮區(qū)間。例35 設(shè)在上連續(xù)，若，證明：存在一，使。證 由閉區(qū)間上連續(xù)，則在一定能取到最小值，最大值M，且值域,有又，于是。故至少存在一點(diǎn)，使得。例36 證明：若函數(shù)在上連續(xù)，且對(duì)任何，存在相應(yīng)的，使得。證 ，由條件知存在，使，同樣存在使，如此下去…，存在數(shù)列，使，由 對(duì)于一切，都有，從而。令，得，由是上任意一點(diǎn)，故。例37 設(shè)。證明：若對(duì)任何，都有，則為常值函數(shù)。證 （i）當(dāng)時(shí)，由條件得是常值數(shù)列。又在處連續(xù)，由歸結(jié)原則，（ii）當(dāng)時(shí)，由條件得是常值數(shù)列。由，而，知，且由，知，知。2．間斷點(diǎn)的討論如果初等函數(shù)，若在處沒(méi)有定義，但在一側(cè)或兩側(cè)有定義，則是間斷點(diǎn)，再根據(jù)在處左右極限來(lái)確定是第幾類間斷點(diǎn)。如果是分段函數(shù)，分界點(diǎn)是間斷點(diǎn)的懷疑點(diǎn)。例38 求極限，記此極限為，求函數(shù)的間斷點(diǎn)并指出其類型。解 ，由于在處沒(méi)定義，而在兩側(cè)有定義，故是間斷點(diǎn)。又所以是函數(shù)的第一類（可去）間斷點(diǎn)。例39 討論的間斷點(diǎn)，并指出間斷點(diǎn)的類型。解 由于所以是第二類間斷點(diǎn)。例40 討論的間斷點(diǎn)，并指出類型。解 由于且所以是跳躍間斷點(diǎn)。七、關(guān)于分段函數(shù)在分界點(diǎn)連續(xù)性的討論。例41 設(shè)。解 由。故。注：由是初等函數(shù)表達(dá)式。在處有意義知連續(xù)且為左連續(xù)，以后遇到類似情況，我可直接得出左連續(xù)，從而只要右連續(xù)即可。例42 已知解 因?yàn)?。所以。八、雜題例43 若。解法一 由于，故從而。解法二 .例44 設(shè)在的某鄰域內(nèi)連續(xù)，且，求.解 令,于是 ， 故 原式。例45 設(shè)存在，證明證：由存在，知時(shí)，存在。當(dāng)充分小時(shí)，在上對(duì)應(yīng)用拉格朗日定理得，其中。由且，由夾逼定理知而 ，故 .例46 求.分析 這題雖然是“”型，但直接用洛必達(dá)法則或等價(jià)量替代，都不能求出結(jié)果。然而從被求的式子構(gòu)成形式，啟發(fā)我們用微分中值定理解原式 .注：由于介于之間，當(dāng)時(shí)，根據(jù)夾逼定理知例47 .解原式 .注：此題也可用微分中值定理去求。
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