函數極限與連續(xù)知識梳理-資料下載頁
2025-07-25 05:19本頁面
【正文】 ，所以判斷函數極限不存在的方法五、判斷函數極限不存在的方法。1．若極限不存在。例31 討論極限.解 取取而不存在。2．若例32 討論極限.解 取，知不存在。六、關于函數連續(xù)性的應用和間斷點的討論。1．函數連續(xù)性的應用例33 設在區(qū)間X上的連續(xù)，且在有理點處都等于0，則。證取有理數列，使，由，根據歸結原則知。例34 若在區(qū)間X上連續(xù)，當為有理數，則在區(qū)間X遞增。證，取有理數列, 根據條件有由于，在不等式（1）中，令，得。所以在區(qū)間X是遞增函數。注：這里區(qū)間X可以是閉區(qū)間、開區(qū)間、半閉半開區(qū)間或無窮區(qū)間。例35 設在上連續(xù)，若，證明：存在一，使。證 由閉區(qū)間上連續(xù)，則在一定能取到最小值，最大值M，且值域,有又，于是。故至少存在一點，使得。例36 證明：若函數在上連續(xù)，且對任何，存在相應的，使得。證 ，由條件知存在，使，同樣存在使，如此下去…，存在數列，使，由 對于一切，都有，從而。令，得，由是上任意一點，故。例37 設。證明：若對任何，都有，則為常值函數。證 （i）當時，由條件得是常值數列。又在處連續(xù)，由歸結原則，（ii）當時，由條件得是常值數列。由，而，知，且由，知，知。2．間斷點的討論如果初等函數，若在處沒有定義，但在一側或兩側有定義，則是間斷點，再根據在處左右極限來確定是第幾類間斷點。如果是分段函數，分界點是間斷點的懷疑點。例38 求極限，記此極限為，求函數的間斷點并指出其類型。解 ，由于在處沒定義，而在兩側有定義，故是間斷點。又所以是函數的第一類（可去）間斷點。例39 討論的間斷點，并指出間斷點的類型。解 由于所以是第二類間斷點。例40 討論的間斷點，并指出類型。解 由于且所以是跳躍間斷點。七、關于分段函數在分界點連續(xù)性的討論。例41 設。解 由。故。注：由是初等函數表達式。在處有意義知連續(xù)且為左連續(xù)，以后遇到類似情況，我可直接得出左連續(xù)，從而只要右連續(xù)即可。例42 已知解 因為。所以。八、雜題例43 若。解法一 由于，故從而。解法二 .例44 設在的某鄰域內連續(xù)，且，求.解 令,于是 ， 故 原式。例45 設存在，證明證：由存在，知時，存在。當充分小時，在上對應用拉格朗日定理得，其中。由且，由夾逼定理知而 ，故 .例46 求.分析 這題雖然是“”型，但直接用洛必達法則或等價量替代，都不能求出結果。然而從被求的式子構成形式，啟發(fā)我們用微分中值定理解原式 .注：由于介于之間，當時，根據夾逼定理知例47 .解原式 .注：此題也可用微分中值定理去求。
醫(yī)療健康相關推薦
鄂ICP備17016276號-1