函數(shù)極限與連續(xù)知識梳理-預(yù)覽頁
【正文】 量之和仍是無窮大量。定義1用函數(shù)值增量形式可寫為定義定理處連續(xù)處既是左連續(xù)又是右連續(xù)。但須注意，這時函數(shù)與已經(jīng)不是同一個函數(shù)但僅在處不同，在其它點相同。例如（1）（2）兩種類型的特點是左右極限都存在，我們統(tǒng)稱為第一類間斷點。四、函數(shù)極限的性質(zhì)在下述六種類型的函數(shù)極限：（1） （2） （3） （4） （6）它們具有與數(shù)列極限相類似的一些性質(zhì)，我們以為例，其它類型極限的相應(yīng)性質(zhì)的敘述只要作適當(dāng)修改就可以了。性質(zhì)3性質(zhì)5（不等式）若，且存在的某空心鄰域，使得對一切，都有。利用極限的四則運(yùn)算，可得下列重要結(jié)果。此定理是判斷函數(shù)極限不存在的一個重要方法。性質(zhì)2 設(shè)則處連續(xù)，又處連續(xù)，由性質(zhì)2知。定理 （最大值與最小值定理）若在閉區(qū)間上連續(xù)，則在上一定能取到最大值與最小值，即存在，使得對一切，都有。定理（根的存在定理或零值點定理）若函數(shù)上連續(xù)，則至少存在一點。 若函數(shù)上連續(xù)，則。1． .3．.4..5. ..7．.8．.9． .10． .11．若=即即上面公式中的可換成，只要時，結(jié)論依然成立。此外，若.需要注意的是，分子、分母中加減的項不能替換，應(yīng)分解因式，用因式替換，包括用等價無窮小量、等價無窮大量或一般的等價量來替換。（2）若在內(nèi)遞增（或遞減）有下界（或上界），則存在。此外，可重復(fù)使用洛必達(dá)法則，但只能用有限次。（3）當(dāng)同號時，這時，把化成分式，通分、化簡，化成“”或“”，再利用洛必達(dá)法則。解法二。很多情況下，這幾種方法常常綜合運(yùn)用。例2例3 原式，由時，得原式。 原式.例6 求.解法一 原式由。 求.解 求.解 原式.例14 例16 設(shè)在的某鄰域內(nèi)連續(xù)，求解解 若。則例21例22 本題雖然屬于型，但不能用洛必達(dá)法則，因為不存在。 ，當(dāng)時，成立不等式 用定義證明。注：這里用了公式。例25 設(shè)，求常數(shù)解解 確定常數(shù)的值，使，解 由 知分子、分母是同階無窮小量有，且故,注：例30 由，得.由。雖然結(jié)論對了，但過程是錯的。從而有又。 討論極限.解 取，知不存在。 設(shè)在區(qū)間X上的連續(xù)，且在有理點處都等于0，則。證，取有理數(shù)列, 根據(jù)條件有由于，在不等式（1）中，令，得。 設(shè)在上連續(xù)，若，證明：存在一，使。例36 ，由條件知存在，使，同樣存在使，如此下去…，存在數(shù)列，使，由 對于一切，都有，從而。證明：若對任何，都有，則為常值函數(shù)。2．間斷點的討論如果初等函數(shù)，若在處沒有定義，但在一側(cè)或兩側(cè)有定義，則是間斷點，再根據(jù)在處左右極限來確定是第幾類間斷點。解例39例40解在處有意義知連續(xù)且為左連續(xù)，以后遇到類似情況，我可直接得出左連續(xù)，從而只要右連續(xù)即可。所以。解法一 設(shè)在的某鄰域內(nèi)連續(xù)，且，求.解例45 .例46 .注：由于介于之間，當(dāng)時，根據(jù)夾逼定理知例4716
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