[理學]01極限連續(xù)-預覽頁
【正文】 30元，三人每人掏了10元湊夠30元交給了老板，后來老板說今天優(yōu)惠只要25元就夠了，便拿出5元令服務(wù)生退還給他們，但服務(wù)生偷拿了2元，將剩下的3元分給那三人，每人分到1元，這樣他們每人只花了9元，則元服務(wù)生偷拿的2元元，還有1元錢到哪里去了?解: 沒有少一分錢，老板手里有25元，服務(wù)生拿了2元，投宿者每人有1元(共3元)，合起來總共是 元，一分不少!2設(shè)，求。3設(shè)為自然數(shù)，求。解: 錯誤，如，則，而 ，但。證明: 由于絕對收斂，故存在有限實數(shù)，使，而在上連續(xù)及，故，存在，使時，有，且，故時，有 ， 從而。證明: 設(shè)，即，其中，則 ，平面的法向量為，故 ，即 。解: 。(1)、求常數(shù)，使在處連續(xù)； (2)、求，并討論其連續(xù)性。4設(shè)在上連續(xù)，則在任何有限閉區(qū)間上一致收斂。4計算題(1)、求極限；解: 。解: ，存在自然數(shù)及非負小數(shù)，使，故。5設(shè)，求。(6)、設(shè)為自然數(shù)，則；(7)、設(shè)，則；5設(shè)為常數(shù)，按時的無窮小量的階排序。5設(shè)，而，則，且。5設(shè)在上連續(xù)，且對任意的整數(shù)，有，則有無窮多個實根。證明: 由于在上單調(diào)遞增，故對任意自然數(shù)，有，故(1)；(2)、令，則時，且單調(diào)遞增，則 ， ， ， 由(1)知，即 ，再注意到，故，即，令，并注意到，得。解: ，故 而 存在， 且存在， 故時，都存在。解: ， ， 故。6設(shè)為常數(shù)，而，有，則收斂于同一極限。 下面分別討論上述三項的絕對值:(1)、當時，其中，故，故 ；(2)、由于在上有界，即存在，使時，有，故只要，則；(3)、取，則時，有。6求。 事實上，有最小值點，且，即 。證明: 令，則，即在上嚴格單調(diào)遞增，而，故存在唯一的，使 ，且，而，有 ，故。解: 若，則；若，則 ，故 。解： 。解：令，則，且時，故收斂。利用公式求下列極限(1)、設(shè)為整數(shù)，而，求；(2)、設(shè)，而時，求；(3)、設(shè)，求。解: 令，則在上有任意階導數(shù)，再取 即可。證明: 由題設(shè)知(1)、若，則，存在，使時，有，故時，有 ， 又由于，故對上面的，存在，使時，有，取，則時，有，故；(2)、由于在上連續(xù)，故一致連續(xù)，存在，使時，恒有，令，則時，有，故，由的任意性，得。證明: ，而，故由夾逼法則知 。解: 。證明: 設(shè)是的一個周期，且在上的最大值點為，則也是在上的最大值點，令，則 ， 故由介值定理知，存在，使，即。證明: 由于在上一致連續(xù)，故存在(有限)，故，且存在(有限)，故，從而。9設(shè)，且，有，求。注:滿足，即。證明: 設(shè)，則，故
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