【正文】 2( , ) ( 0 , 0 ) 0()li m li m 0.2x y xyxx y xx y x??????第二條路徑可考慮能使 ( , ) xyf x y xy? ?的分子與 分母化為同階的無窮小 , 導致極限不為 0. 按此思路 的一種有效選擇 , 是取 2 .y x x??此時得到 222( , ) ( 0 , 0 ) 0 0()()l i m l i m l i m ( 1 ) 1 ,x y x xy x xx y x x x xxy x? ? ????? ? ? ? ??這就達到了預期的目的． ( 非正常極限 ) 的定義． 定義 2 設 D 為二元函數 f 的定義域， 0 0 0( , )P x y是 D 的一個聚點 . 若 0 , 0 ,M ?? ? ? ?使得 0( , ) ( 。 ?),1(xyf ___ __ ___ _ ___ __ __ .3 、 若 )0()(22??? yyyxxyf , 則 ?)( xf ___ __ ___ .4 、 若22),( yxxyyxf ??? , 則 ?),( yxf ___ __ ___ _ .函數)1ln (4222yxyxz???? 的定義域是 ___ ___ _ ___ .練 習 題 6 、函數 yxz ?? 的定義域是 __ __ _ __ __ _ __ __ . 7 、函數xyz a r cs in? 的定義域是 __ __ _ __ __ _ __ __ _ . 8 、函數xyxyz2222??? 的間斷點是 __ __ _ __ __ _ __ __ __ .二、 求下列各極限 :1 、 xyxyyx42li m00????；2 、 xxyyxs inlim00??；3 、 22222200 )()co s (1limyxyxyxyx ?????.一、 1 、 ),(2yxft ； 2 、1213? , ),( yxf ； 3 、 xx21 ?； 4 、 yyx??112； 5 、 ? ?xyyxyx 4,10),(222???? ； 6 、 ? ?yxyxyx ???2,0,0),( ； 7 、 ? ?xyxxyx ???? ,0),( ? ?xyxxyx ????? ,0),( ； 8 、 ? ?02),(2?? xyyx .二、 1 、41? ； 2 、 0 ； 3 、??.練習題答案 作業(yè) 習題 2 無論是一元微積分還是多元微積分 ,其中 所討論的函數 , 最重要的一類就是連續(xù)函 數 . 二元函數連續(xù)性的定義比一元函數 更一般化 了些 。 而當 不存在， 此時 f 在原點間斷． 全增量與偏增量 0 0 0 0 0( , ) ( , ) , , ,P x y P x y D x x x y y y? ? ? ? ? ? ?、設 0 0 0 0( , ) ( , ) ( , )z f x y f x y f x y? ? ? ? ?稱0 0 0 0( , ) ( , )f x x y y f x y? ? ? ? ? ?量形式來描述連續(xù)性 , 即當 為函數 f 在點 的全增量 . 和一元函數一樣 , 可用增 0P( , ) ( 0 , 0 )( , )lim 0xyx y Dz? ? ????時 , f 在點 連續(xù) . 0P0 0 ,xy? ? ? ?或如果在全增量中取 則相應得到的 增量稱為偏增量 , 分別記作 0 0 0 0 0 0( , ) ( , ) ( , ) ,x f x y f x x y f x y? ? ? ? ?0 0 0 0 0 0( , ) ( , ) ( , ) .y f x y f x y y f x y? ? ? ? ?一般說來 , 函數的全增量并不等于相應的兩個偏增 量之和 . 若一個偏增量的極限為零 , 如 000l i m ( , ) 0,xx f x y?? ??0yy? 0( , )f x y則表示當固定 時 , 作為 x 的函數 , 它 在 x0 連續(xù) . 同理 , 000l i m ( , ) 0,yy f x y?? ??若 則表示 當 容易證明 : 當 f 在其定義域的內點 連續(xù)時 , 00( , )xy0( , )f x y 0( , )f x y在 x0 與 在 y0 都連續(xù) . 但是反過來 , 由二元函數對單個自變量都連續(xù)，一般不能保證該 函數的連續(xù)性 (除非另外增加條件 ). 例如二元函數 固定 時 ， 0( , )f x y在 y0 連續(xù) . 0xx?1 0,( , )00xyf x yxy???? ??，在原點處顯然不連續(xù) , 但由于 f (0, y) = f (x, 0) = 0, 因此它在原點處對 x 和對 y 分別都連續(xù) . 例 2 設在區(qū)域 2R ( , )D f x y x y? 上 分別對 和對 都連 續(xù)．試證在下列條件之一滿足時， ( , )f x y D在上處處連續(xù)： (i) 對其中一個變量 (例如 y) 滿足李普希茨條件 , 即 0,L?? 12( , ) , ( , ) ,x y x y D? 恒有使得對任何 1 2 1 2( , ) ( , ) 。 f (u, v) 在點 0 0 0( , )Q u v0P 的某鄰域內有定 00| ( , ) ( , ) | .f u v f u v ???00| | , | |u u v v??? ? ? ?時 , 有 又由 、 在點 P0 連續(xù)可知 : 對上述 0 , 0 ,??? ? ???使 得當 00| | , | |x x y y??? ? ? ?時 , 有 0 0 0| | | ( , ) ( , ) | ,u u x y x y? ? ?? ? ? ?0 0 0| | | ( , ) ( , ) | .v v x y x y? ? ?? ? ? ?0 0 0 0| ( , ) ( , ) | | ( , ) ( , ) | .g x y g x y f u v f u v ?? ? ? ?00| | , | |x x y y??? ? ? ?綜合起來 , 當 時 , 便有 所以 ( ( , ) , ( , ) )f x y x y??在點 連續(xù) . 0 0 0( , )P x y二、有界閉域上連續(xù)函數的性質 本段討論有界閉域上多元連續(xù)函數的整體性質 . 這 可以看作閉區(qū)間上一元連續(xù)函數性質的推廣 . 定理 16. 8 ( 有界性定理與最大、小值定理 ) 若二元 函數 f 在 有界閉域 2RD ? 上連續(xù) , 則 f 在 D上有界 , 且能取得最大值與最小值 . | ( ) | , 1 , 2 , . ( 3 )nf P n n??證 先證明 f 在 D 上有界 . 倘若不然 , 則 +N,n?? 存 ,nPD? 使得 在 {}nPD? {}nP于是得到一個有界點列 , 且能使 中有無 窮多個不同的點 . 由聚點定理的推論 , {}nP 存在收斂 {}knP 0lim knk PP?? ? 0 .PD?子列 ,設 . 因 D 是閉域 , 從而 又因 f 在 D上連續(xù) , 當然在點 也連續(xù) , 于是有 0P0l i m ( ) ( ) .knk f P f P?? ?這與不等式 (3) 矛盾，所以 f 是 D上的有界函數 . 下面證明 f 在 D 上能取到最大、小值 . 為此設 in f ( ) , s up ( ) .m f D M f D??QD? ()f Q M?可證必有一點 , 使 (同理可證存在 QD?? ()f Q m? ? PD?, 使 ). 如若不然 , 對任意 , 都 有 ( ) 0M f P??. 考察 D 上的正值連續(xù)函數 1( ) ,()FP M f P? ?則 F 在 D上有界，即 這與 M為 f 的上確界相矛盾 , 從而證得 f 在 D上能 取到最大值 . 10, ( ) ,()G F P GM f P? ? ? ? ??1( ) ,f P MG??定理 (一致連續(xù)性定理 ) 若函數 f 在有界閉域 2RD ? 0,???上連續(xù) , 則 f 在 D 上一致連續(xù) . 即 存 ? 0,? ? ( , )PQ???在只依賴于 的 使得對一切滿足 證 本定理可參照第七章中證明一致連續(xù)性定理的 理來證明 . 這里我們采用后一種證法 . 方法 , 運用有限覆蓋定理來證明 , 也可以運用聚點定 倘若 f 在 D 上連續(xù)而不一致連續(xù) , 則存在某 0 0,? ?0,? ? 1 , 1 , 2 ,nn? ??對 于任意小的 例如 , 總有 ,P Q D? | ( ) ( ) | .f P f Q ??? 必有 的 點 nnP Q D?、 ( , ) 1nnP Q n? ?相應 的 , 雖然 , 但是 0| ( ) ( ) | .nnf P f Q ???由于 D 為有界閉域 , 因此存在收斂子列 { } { } ,knnPP?0lim knk P P D?? ??{}nQ {}knP并設 . 再在 中取出與 下 標相同的子列 { },knQ 則因 0 ( , ) 1 0 , ,kkn n kP Q n k?? ? ? ? ?有 0l i m l i mkknnkkQ P P? ? ? ???. 最后 , 由 f 在 P0 連續(xù) , 得 00l i m | ( ) ( ) | | ( ) ( ) | f P f Q f P f P?? ? ? ? ?0| ( ) ( ) | 0kknnf P f Q ?? ? ?這與 相矛盾 , 所以 f 在 D 上一致連續(xù) . 定理 ( 介值性定理 ) 設函數 f 在區(qū)域 2RD ?上連續(xù) , 若 P1 , P2 為 D 中任意兩點 , 且 12( ) ( ) ,f P f P?則對任何滿足不等式 12( ) ( ) ( 4 )f P f P???證 作輔助函數 0PD? 0( ) .fP ??的實數 , 必存在點 , 使得 ?( ) ( ) , .F P f P P D?? ? ?易見 F 仍在 D 上連續(xù) , 且由 (4) 式知道 1( ) 0 ,FP ?2( ) 0 .FP ? 0PD? 0( ) 0 .FP ?下面證明必存在 , 使 ? ?1P2PDxyO圖 16 18 由于 D 為區(qū)域 , 我們可以用有限段都在 D 中的折線 連結 P1 和 P2 (如圖 1618). 若有某一個連接點所對應的函數值為 0, 則定理得 證 . 否則從一端開始逐段檢查 , 必定存在某直線段 , 使得 F 在它兩端的函數值異號 . 不失一般性 , 設連結 P1(x1, y1), P2(x2, y2) 的直線段含于 D, 其方程為 1 2 11 2 1( ) ,0 1.( ) ,x x t x xty y t y y? ? ????? ? ? ??在此直線段上 , F 變?yōu)殛P于 t 的復合函數： 1 2 1 1 2 1( ) ( ( ) , ( ) ) , 0 1 .G t F x t x x y t y y t? ? ? ? ? ? ?由于 G 為 [0, 1] 上的一元連續(xù)函數 , 且 12( ) ( 0 ) 0 ( 1 ) ( ) ,F P G G F P? ? ? ?因此由一元函數根的存在定理 , 在 (0, 1) 內存在一點 0,t 0( ) 0Gt ? 使得 . 記 0 1 0 2 1 0 1 0 2 1( ) , ( ) ,x x t x x y y t y y? ? ? ? ? ?則有