【正文】 Chapt 16 多元函數(shù)的極限與連續(xù) 教學(xué)目標(biāo)： 。 。 . 多元函數(shù)是一元函數(shù)的推廣 , 它保留著一元函數(shù)的許多性質(zhì) , 同時(shí)又因自變量的增多而產(chǎn)生了許多新的性質(zhì) . 下面著重討論二元函數(shù) , 由二元函數(shù)可以方便地推廣到一般的多元函數(shù)中去 . 167。 1 平面點(diǎn)集與多元函數(shù) 一、平面點(diǎn)集 平面點(diǎn)集的一些基本概念 由于二元函數(shù)的定 坐標(biāo)平面上滿足某種條件 P 的點(diǎn)的集合 , 稱為平 ? ?( , ) ( , ) .E x y x y P滿足條件?對 與平面上所有點(diǎn)之間建立起了一一對應(yīng) . ( , )xy在平面上確立了直角坐標(biāo)系之后 , 所有有序?qū)崝?shù) 義域是坐標(biāo)平面上的點(diǎn)集 , 因此在討論二元函數(shù) 之前，有必要先了解平面點(diǎn)集的一些基本概念 . 面點(diǎn)集 , 記作 例如： ( i) 全平面:? ?? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ??2R ( , ) | , . ( 1 )x y x y? ?2 2 2( ii ) ( , ) .C x y x y r圓: ? ? ?(2) ? ?? ? ? ? ?( i i i ) ( , ) , ,S x y a x b c y d矩形: (3) 00( iv ) ( , ) : A x y ?點(diǎn) 的 鄰域? ?00( , ) | | , | | ( )x y x x y y??與 方形 .? ? ? ???[ , ] [ , ] .S a b c d也常記作：? ?? ? ? ?2 2 200( , ) ( ) ( ) ( )x y x x y y ? 圓形圖 16 – 1 C Sx xy yO O a bcdr(a) 圓 C (b) 矩形 S ? ?A A? ?圖 16 – 2 x xy yO O(a) 圓鄰域 (b) 方鄰域 由于點(diǎn) A 的任意圓鄰域可以包含在點(diǎn) A 的某一 方鄰域之內(nèi) (反之亦然 ), 因此通常用“點(diǎn) A 的 鄰 ?用記號(hào) 或 來表示 . ( 。 )UA ? ()UA點(diǎn) A 的 空心鄰域 是指 : ? ?2 2 200( , ) 0 ( ) ( ) ( )x y x x y y ? 圓? ? ? ? ?? ?0 0 0 0( , ) | | , | | , ( , ) ( , ) ( ) ,x y x x y y x y x y??? ? ? ? ? 方或 并用記號(hào) (。( )( ) )U A U A? 或 來表示 . 域” 或 “點(diǎn) A 的鄰域” 泛指這兩種形狀的鄰域 , 并 ? ?00( , ) 0 | | , 0 | | .x y x x y y??? ? ? ? ? ??注意 : 不要把上面的空心方鄰域錯(cuò)寫成 : ( 請指 出 ※ 點(diǎn)和點(diǎn)集之間的關(guān)系 以下三種關(guān)系之一 : 2RA? 2RE ?任意一點(diǎn) 與任意一個(gè)點(diǎn)集 之間必有 是 E 的內(nèi)點(diǎn) 。 由 E 的全體內(nèi)點(diǎn)所構(gòu)成的集合稱為 (i) 內(nèi)點(diǎn) ——若 0 , ( 。 ) ,U A E??? ? ?使則稱點(diǎn) A E 的 內(nèi)部 , 記作 int E. 錯(cuò)在何處 ? ) (ii) 外點(diǎn) ——若 0 , ( 。 ) ,U A E??? ? ? ?使則稱 點(diǎn) A 是 E 的外點(diǎn)；由 E 的全體外點(diǎn)所構(gòu)成的集合 c( 。 ) ( 。 )U A E U A E?? ? ? ? ?且0,???(iii) 界點(diǎn) —— 若 恒有 c2R\EE?( 其中 ), 則稱點(diǎn) A 是 E 的界點(diǎn) 。 由 E .E?的全體界點(diǎn)所構(gòu)成的集合稱為 E 的 邊界 , 記作 注 E 的內(nèi)點(diǎn)必定屬于 E。 E 的外點(diǎn)必定不屬于 E。 E 的界點(diǎn)可能屬于 E, 也可能不屬于 E. 并請注意 : 稱為 E 的 外部 . EE?? cE只有當(dāng) 時(shí) , E 的外部與 才是兩 個(gè)相同 的集合 . ? ?22( , ) 1 4 . ( 4 )D x y x y? ? ? ?圖 16 – 3 xyO 1 2例 1 設(shè)平面點(diǎn)集（見圖 16 – 3） 于 D。 滿足 的一切點(diǎn)也 22 4xy??22 1xy??是 D 的內(nèi)點(diǎn) 。 滿足 的一切點(diǎn)是 D 的界點(diǎn) , 它們都屬 2214xy? ? ?滿足 的一切點(diǎn)都 是 D 的界點(diǎn) , 但它們都不屬于 D. 點(diǎn) A 與點(diǎn)集 E 的上述關(guān)系是按 “內(nèi) 外” 來區(qū)分的 . 此外，還可按 “疏 密” 來區(qū)分，即在點(diǎn) A 的近旁 是否密集著 E 中無窮多個(gè)點(diǎn)而構(gòu)成另一類關(guān)系 : (i) 聚點(diǎn) —— 若在點(diǎn) A 的任何空心鄰域 ()UA內(nèi)都 含有 E 中的點(diǎn)，則稱點(diǎn) A 是點(diǎn)集 E 的聚點(diǎn)． 注 1 聚點(diǎn)本身可能屬于 E，也可能不屬于 E. 注 2 聚點(diǎn)的上述定義等同于 : ―在點(diǎn) A 的任何鄰域 ()UA 內(nèi)都含有 E 中的無窮多個(gè)點(diǎn)” . 注 3 E 的全體聚點(diǎn)所構(gòu)成的集合稱為 E 的導(dǎo)集 , 記 d ( ) 。EE ?或 dEE作 又稱 為 E 的 閉包 , 記作 .E例如 , 對于例 1 中的點(diǎn)集 D, 它的導(dǎo)集與閉包同為 ? ?d 2 2( , ) 1 4 .D x y x y D? ? ? ? ?其中滿足 22 4xy?? 的那些聚點(diǎn)不屬于 D, 而其余 所有聚點(diǎn)都屬于 D. (ii) 孤立點(diǎn) —— 若點(diǎn) AE? , 但不是 E 的聚點(diǎn)（即 有 某 δ 0, 使得 ( 。 ) ) ,U A E? ??則稱點(diǎn) A 是 E 的孤立點(diǎn) . 注 孤立點(diǎn)必為界點(diǎn) 。 內(nèi)點(diǎn)和不是孤立點(diǎn)的界點(diǎn)必 為聚點(diǎn) 。 既非聚點(diǎn) , 又非孤立點(diǎn) , 則必為外點(diǎn) . 例 2 設(shè)點(diǎn)集 ? ?( , ) , .E p q p q 為任意整數(shù)? 顯然 , E 中所有點(diǎn) ( p, q ) 全為 E 的孤立點(diǎn) 。 并有 d , in t , .E E E E? ? ? ? ? ?※ 一些重要的平面點(diǎn)集 根據(jù)點(diǎn)集所屬的點(diǎn)所具有的特殊性質(zhì) , 可來定義一 些重要的點(diǎn)集 . 開集 —— 若 E 所屬的每一點(diǎn)都是 E 的內(nèi)點(diǎn) ( 即 E = int E ), 則稱 E 為開集 . ? ?? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ??2R ( , ) | ,x y x y? ?? ? ?2 2 2( , ) 。C x y x y r 是 開 集? ?? ? ? ? ?( , ) , 。S x y a x b c y d 是 閉 集? ?? ? ? ?22( , ) 1 4 ,? 。D x y x y 既 非 開 集 又 非 閉 集 既是開集又是閉集 . 平面點(diǎn)集中 , 只有 R2 與 ? 是既開又閉的 . E 為閉集 . 閉集 ——若 E 的所有聚點(diǎn)都屬于 E ( ) ,EE?即 則 稱 E 為閉集 . 若 E 沒有聚點(diǎn) d( ) ,E ??即 這時(shí)也稱 則稱 E 為開域 . 簡單地說 , 開域就是非空連通開集 . 閉域 —— 開域連同其邊界所成的集合稱為閉域 . 區(qū)域 —— 開域、閉域、開域連同其一部分界點(diǎn)所 成的集合 , 統(tǒng)稱為區(qū)域 . 不難證明 : 閉域必為閉集 。 而閉集不一定為閉域 . 開域 ——若非空開集 E 具有連通性 , 即 E 中任意兩 點(diǎn)之間都可用一條完全含于 E 的有限折線相連接 , ? ?? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ??2R ( , ) | ,x y x y? ?? ? ?2 2 2( , )C x y x y r? ?? ? ? ? ?( , ) ,S x y a x b c y d? ?? ? ? ?22( , ) 1 4D x y x y是閉域 , 既是開域又是閉域 , 是區(qū)域 (但既不是開域又不是閉域 ). 是開域 , ? ???( , ) | 0G x y x y它是 I、 III 兩象限之并集 . 雖然它是開集 , 但因 不具有連通性 , 所以它既不是開域 , 也不是區(qū)域 . 0,r??有界點(diǎn)集 ——對于平面點(diǎn)集 E, 若 使得 ( 。 ) ,E U O r?其中 O 是坐標(biāo)原點(diǎn) (也可以是其他固定點(diǎn) ), 則稱 E 為有界點(diǎn)集 . 否則就為無界點(diǎn)集 . 都是有界集 . E 為有界點(diǎn)集的另一等價(jià)說法是 : 存在矩形區(qū)域 [ , ] [ , ] .a b c d E??? ?? ? ?2 2 2( , )C x y x y r? ?? ? ? ? ?( , ) ,S x y a x b c y d? ?? ? ? ?22( , ) 1 4D x y x y此外，點(diǎn)集的有界性還可以用點(diǎn)集的直徑來反映 , 所謂點(diǎn)集 E 的 直徑 , 就是 1212,( ) sup ( , ) ,P P Ed E P P???其中 ρ(P1, P2) 是 P1 (x1, y1) 與 P2 (x2, y2)之間的距 離 , 即 221 2 1 2 1 2( , ) ( ) ( ) .P P x x y y? ? ? ? ?于是 , 當(dāng)且僅當(dāng) d(E) 為有限值時(shí) , E為有界點(diǎn)集 . 根據(jù)距離的定義 , 不難證明如下三角形不等式 : 1 2 1 3 2 3( , ) ( , ) ( , ) .P P P P P P? ? ???注 兩個(gè)重要結(jié)論 : (i) 閉集也可用 “ E E E??‖來定義 ( 只是使用 起來一般不如 “ dE E E? ”方便 , 因?yàn)橛嘘P(guān)聚點(diǎn) 有許多便于應(yīng)用的性質(zhì) )． (ii) 閉集與開集具有對偶性質(zhì) ——閉集的余集為開 集 。 開集的余集為閉集 . 利用此性質(zhì) , 有時(shí)可以通 過討論 來認(rèn)識(shí) E. cE二、 R2上的完備性定理 ※ 平面點(diǎn)列的收斂性定義及柯西準(zhǔn)則 反映實(shí)數(shù) 系完備性的幾個(gè)等價(jià)定理 , 構(gòu)成了一元函數(shù)極限理 論的基礎(chǔ) . 現(xiàn)在把這些定理推廣到 R2, 它們同樣是 二元函數(shù)極限理論的基礎(chǔ) . 2{ } RnP ? 20 RP ?定義 1 設(shè) 為一列點(diǎn) , 為一固定點(diǎn) . 00 , N , , ( 。 ) ,nN n N P U P??若 使當(dāng) 時(shí)? ? ? ? ? ??則稱點(diǎn)列 { Pn } 收斂于點(diǎn) P0 , 記作 00li m ( ) .nnn P P P P n?? ? ? ? ?或0 0 0( , ) ( , ) ,n n nP P x y x y當(dāng) 與 分別為 與 時(shí) 顯然有0 0 0li m li m li m 。n n nn n nP P x x y y且? ? ? ? ? ?? ? ? ?0( , ) ,nn PP??若記 ?同樣地有 0li m li m ?? ? ? ?? ? ?由于點(diǎn)列極限的這兩種等價(jià)形式都是數(shù)列極限 , 因 此立即得到下述關(guān)于平面點(diǎn)列的收斂原理 . 定理 (柯西準(zhǔn)則 ) 2{ } RnP ?收斂的充要條件是 : 0 , N , ,N n N? 使當(dāng) 時(shí) 都有?? ? ? ? ?( , ) , N . ( 6 )n n pP P p?? ??? ? ?證（必要性） 0l i m , 1 , 0,nn PP ?設(shè) 則由定義?? ? ? ?N , ( )N n N n p N當(dāng) 也有 時(shí), 恒有?? ? ? ? ?00( , ) , ( , ) .22n n pP P P P???????應(yīng)用三角形不等式 , 立刻得到 00( , ) ( , ) ( , ) .n n p n n pP P P P P P? ? ? ???? ? ?(充分性 ) 當(dāng) (6) 式成立時(shí) , 同時(shí)有 | | ( , ) ,n p n n n px x P P????? ? ?| | ( , ) .n p n n n py y P P? ? ?這說明 { xn } 和 { yn } 都滿足關(guān)于數(shù)列的柯西準(zhǔn)則 , 所以它們都收斂 . 00l i m , l i m ,nnnnx x y y設(shè) 從而? ? ? ???由點(diǎn)列收斂概念 , 推知 { Pn } 收斂于點(diǎn) P0(x0, y0). ※ 下述區(qū)域套定理 , 是區(qū)間套定理在 R2 上的推廣 . 定理 (閉域套定理 ) 設(shè) { Dn } 是 R2 中的一列閉 域 , 它滿足： 1( i) , 1 , 2 ,