數(shù)學(xué)分析-定積分應(yīng)用-預(yù)覽頁
【正文】 j ??? ttdttt?? ba y d xA2022/8/26 16 例 3 求橢圓 12222?? byax 的面積 . 解 橢圓的 參數(shù)方程 ?????tbytaxs i nc o s由對稱性知總面積等于 4倍第一象限部分面積． ?? a y d xA 04 ??? 02 )c o s(s i n4 tatdbdttab ? ?? 20 2si n4 .ab??2022/8/26 17 ? ? +d? . dA . r =j(? ) o . r ? d? 二、極坐標系情形 曲邊扇形是由曲線 r?j(?)及射線???, ???所 圍成的圖形 ? 圖形是曲邊 扇 (梯 )形 如何化不規(guī)則 為規(guī)則 以圓扇形面積近似小曲邊扇形的面積，得到面積元素： ? 2022/8/26 18 ? ? +d? . dA . r =j(? ) o . r ? d? ],[ ????積分變量面積元素 以圓扇形面積近似小 曲邊扇形面積，得到 面積元素： ? ? ??j d)(21d 2 ?A曲邊扇形的面積 ?? ?? ??j d)]([21 2A? 2022/8/26 19 例 4: 計算阿基米德螺線 r = a? (a 0) 上相應(yīng)于 ? 從 0 到 2? 的一段弧與極軸所圍成的圖形的面積 . o x ? r = a? 2?a 解 : 取極角 ?為積分變量 , 變化區(qū)間為 [0, 2? ], 取小區(qū)間 [?, ? + d? ]， 則 面積元素 ?? dadA 2)(21??????20222daA??203232 ???????a3234 ?a??? ?? ??j d)]([21 2A2022/8/26 20 例 5 求心形線 )co s1( ??? ar 所圍平面圖形的面積 )0( ?a . 2022/8/26 21 例 5 求心形線 )co s1( ??? ar 所圍平面圖形的面積 )0( ?a . 解 ?? dadA 22 )c o s1(21 ??利用對稱性知 .23 2a???d?? d2)cos1( ? ? ??? 02212 aA??? d)co sco s21( 2????? 02a? ??? ? ???02 )2c o s21c o s223( da心形線也稱圓外旋輪線 2a 2022/8/26 22 積。軸旋轉(zhuǎn)所得旋軸所圍圖形分別繞與直線求曲線段例yxxyxxy,1,0],1,0[,3 2????軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體體積繞 x)1(dxxdxydV x 42 ?? ?? .5410?? ?? ? dxx軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體體積繞 y)2()()(V1 21 旋轉(zhuǎn)體圓柱方法 VV ??.211 102 ??? ????? ? y d yVxVy d ydyxdV ?? ?? 222022/8/26 33 軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體體積繞 y)2(切片法—積分關(guān)于方法 y2dyydyxdV y )1()1( 2 ???? ??dyyV y )1(10 ??? ? ?2022/8/26 34 x dxx?)( xfy ?xy0a b)()()( xfxxfxxV y 22 ???????空心圓柱法—積分關(guān)于方法 x3dxx 32??.22 310 ?? ??? ? dxxV ydxxxfdV y )(2 ???dxxxfx y d xdV y )(22 ????2))(()(2 xxfxxxfV y ??? ????2022/8/26 35 12222?? byax軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體體積繞 x)1(dxxaabdxydV x )( 22222 ??? ??dxxaabV ax )(2 22022?? ??.34 2abV x ???旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體體積繞 cy ??)3(dxcxaabcxaabdVc ???????????????? ?????????? ????222222 ??dxxaabcdV c 224 ??? ?.224 2220 a b cdxxaa bcV ac ?? ??? ??例 4 求橢圓 ，分別繞 X軸、 Y軸、直線 y=c 旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積。求其體積。 y 2022/8/26 45 旋轉(zhuǎn)體的體積 平行截面面積為已知的立體的體積 ?????繞 軸旋轉(zhuǎn)一周 x繞 軸旋轉(zhuǎn)一周 y繞非軸直線旋轉(zhuǎn)一周 三、小結(jié) 2022/8/26 46 平面曲線的弧長 ? 一、平面曲線弧長的概念 ? 二、直角坐標情形 ? 三、參數(shù)方程情形 ? 四、極坐標情形 ? 五、小結(jié) 2022/8/26 47 xoy0MA?nMB?1M2M 1?nM設(shè) A 、 B 是曲線弧上的兩個端點，在弧上插入分點BMMMMMAnni??? ,110??并依次連接相鄰分點得一內(nèi)接折線，當分點的數(shù)目無限增加且每個小弧段都縮向一點時， 此折線的長 ||11???niii MM 的極限存在，則稱此極限為曲線弧 AB 的弧長 .一、平面曲線弧長的概念 2022/8/26 48 設(shè)曲線弧為 )( xfy ?)( bxa ?? ，其中 )( xf在 ],[ ba 上有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)xoya bx dxx?取積分變量為 x ，在 ],[ ba上任取小區(qū)間 ],[ dxxx ? ，以對應(yīng)小切線段的長代替小弧段的長?dy小切線段的長 22 )()( dydx ? dxy 21 ???弧長元素 dxyds 21 ??? 弧長 .1 2 dxys ba? ???二、直角坐標情形 2022/8/26 49 引 例 一塊矩形鋁平板被壓制成橫截面為正弦波形的瓦楞板。 水壓的強度和水的深度有關(guān)，愈深則水的壓強愈大。 )( xalGm????2022/8/26 73 ,dy?7例 在其中垂線上，距離線密度為設(shè)勻質(zhì)細棒長為 , ?l的引力？的質(zhì)點，求該棒對質(zhì)點處，有一質(zhì)量為直線 ma 解 如圖， 2l2l?? xyo Ma建坐標系 ?y ??????? 2,2 llydyy?小段 質(zhì)量為 ?r 距離r22 ya ??dFk22 ya ?m dy??F ??22ll k 22 ya ?m dy????c os22 ya ??a22 ya ?a?2242laalkm??? ?由對稱性知 ,引力在鉛直方向分力 .0?yFx ?202222lyaayakm??????????? ?這是引力 dF的方向 隨 小區(qū)間 [x, x+dx]的改變而變化的情形 , 應(yīng)將引力 dF分解為 dFx和 dFy后再分別用定積分計算 x2022/8/26 74 例 設(shè)有一半 R徑為 ，中心 j2角為 的圓弧形細棒，其線密度為 ?常數(shù) ，在圓心處有一質(zhì) 的量為 m 質(zhì)點 M ，試求這細棒對質(zhì) M點 的引力 . j22022/8/26 75 尤其是如何在具體問題中取 “ 微元 ” ——微功 、微壓力 、 微
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