數(shù)學(xué)分析-定積分應(yīng)用-免費(fèi)閱讀
【正文】 )( xalGm????2022/8/26 73 ,dy?7例 在其中垂線(xiàn)上，距離線(xiàn)密度為設(shè)勻質(zhì)細(xì)棒長(zhǎng)為 , ?l的引力？的質(zhì)點(diǎn)，求該棒對(duì)質(zhì)點(diǎn)處，有一質(zhì)量為直線(xiàn) ma 解 如圖， 2l2l?? xyo Ma建坐標(biāo)系 ?y ??????? 2,2 llydyy?小段 質(zhì)量為 ?r 距離r22 ya ??dFk22 ya ?m dy??F ??22ll k 22 ya ?m dy????c os22 ya ??a22 ya ?a?2242laalkm??? ?由對(duì)稱(chēng)性知 ,引力在鉛直方向分力 .0?yFx ?202222lyaayakm??????????? ?這是引力 dF的方向 隨 小區(qū)間 [x, x+dx]的改變而變化的情形 , 應(yīng)將引力 dF分解為 dFx和 dFy后再分別用定積分計(jì)算 x2022/8/26 74 例 設(shè)有一半 R徑為 ，中心 j2角為 的圓弧形細(xì)棒，其線(xiàn)密度為 ?常數(shù) ，在圓心處有一質(zhì) 的量為 m 質(zhì)點(diǎn) M ，試求這細(xì)棒對(duì)質(zhì) M點(diǎn) 的引力 . j22022/8/26 75 尤其是如何在具體問(wèn)題中取 “ 微元 ” ——微功 、微壓力 、 微引力等 。 y 2022/8/26 45 旋轉(zhuǎn)體的體積 平行截面面積為已知的立體的體積 ?????繞 軸旋轉(zhuǎn)一周 x繞 軸旋轉(zhuǎn)一周 y繞非軸直線(xiàn)旋轉(zhuǎn)一周 三、小結(jié) 2022/8/26 46 平面曲線(xiàn)的弧長(zhǎng) ? 一、平面曲線(xiàn)弧長(zhǎng)的概念 ? 二、直角坐標(biāo)情形 ? 三、參數(shù)方程情形 ? 四、極坐標(biāo)情形 ? 五、小結(jié) 2022/8/26 47 xoy0MA?nMB?1M2M 1?nM設(shè) A 、 B 是曲線(xiàn)弧上的兩個(gè)端點(diǎn)，在弧上插入分點(diǎn)BMMMMMAnni??? ,110??并依次連接相鄰分點(diǎn)得一內(nèi)接折線(xiàn)，當(dāng)分點(diǎn)的數(shù)目無(wú)限增加且每個(gè)小弧段都縮向一點(diǎn)時(shí)， 此折線(xiàn)的長(zhǎng) ||11???niii MM 的極限存在，則稱(chēng)此極限為曲線(xiàn)弧 AB 的弧長(zhǎng) .一、平面曲線(xiàn)弧長(zhǎng)的概念 2022/8/26 48 設(shè)曲線(xiàn)弧為 )( xfy ?)( bxa ?? ，其中 )( xf在 ],[ ba 上有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)xoya bx dxx?取積分變量為 x ，在 ],[ ba上任取小區(qū)間 ],[ dxxx ? ，以對(duì)應(yīng)小切線(xiàn)段的長(zhǎng)代替小弧段的長(zhǎng)?dy小切線(xiàn)段的長(zhǎng) 22 )()( dydx ? dxy 21 ???弧長(zhǎng)元素 dxyds 21 ??? 弧長(zhǎng) .1 2 dxys ba? ???二、直角坐標(biāo)情形 2022/8/26 49 引 例 一塊矩形鋁平板被壓制成橫截面為正弦波形的瓦楞板。軸旋轉(zhuǎn)所得旋軸所圍圖形分別繞與直線(xiàn)求曲線(xiàn)段例yxxyxxy,1,0],1,0[,3 2????軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體體積繞 x)1(dxxdxydV x 42 ?? ?? .5410?? ?? ? dxx軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體體積繞 y)2()()(V1 21 旋轉(zhuǎn)體圓柱方法 VV ??.211 102 ??? ????? ? y d yVxVy d ydyxdV ?? ?? 222022/8/26 33 軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體體積繞 y)2(切片法—積分關(guān)于方法 y2dyydyxdV y )1()1( 2 ???? ??dyyV y )1(10 ??? ? ?2022/8/26 34 x dxx?)( xfy ?xy0a b)()()( xfxxfxxV y 22 ???????空心圓柱法—積分關(guān)于方法 x3dxx 32??.22 310 ?? ??? ? dxxV ydxxxfdV y )(2 ???dxxxfx y d xdV y )(22 ????2))(()(2 xxfxxxfV y ??? ????2022/8/26 35 12222?? byax軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體體積繞 x)1(dxxaabdxydV x )( 22222 ??? ??dxxaabV ax )(2 22022?? ??.34 2abV x ???旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體體積繞 cy ??)3(dxcxaabcxaabdVc ???????????????? ?????????? ????222222 ??dxxaabcdV c 224 ??? ?.224 2220 a b cdxxaa bcV ac ?? ??? ??例 4 求橢圓 ，分別繞 X軸、 Y軸、直線(xiàn) y=c 旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積。 第一節(jié) 定積分的元素法 一、問(wèn)題的提出 如何應(yīng)用定積分解決實(shí)際問(wèn)題 _____微元法： 2022/8/26 3 回顧 曲邊梯形面積 A 的計(jì)算過(guò)程： ?? ba dxxf )(把區(qū)間 [a, b]分成 n個(gè)小區(qū)間 , 有 ????niiAA1總量 A 對(duì)于 [a, b]具有區(qū)間可加性 , 計(jì)算 ?Ai的近似值 iii xfA ??? )(?)( 1 iii xx ??? ?得 A的 近似值 ????niii xfA1)( ?????????baniiidxxfxfA)( )(lim10??ii xf ??)(?(1) 分割 . (2) 近似 . (3) 求和 . (4) 求極限 . n個(gè)部分量 Ai 的和 . a b ?0x 1x ii xx 1? 1?nx nx?0 x y y = f (x) 1? 2? i? n?即 A可以分割成 2022/8/26 4 把上述步驟 略去下標(biāo) ，改寫(xiě)為： (1) 分割 . (2) 近似 . (3) 求和 . (4) 求極限 . 計(jì)算 ?A的近似值 dxxfA ??? )(xy0 a b? ?xfy ?x x+dx ??ba xxfA d)( 則稱(chēng)為面積元素并記 )( dxxfdA ?這種方法通常稱(chēng)為 微元法 或 元素法 面積微元 用 ?A表示 [x, x+dx]上的小 曲邊梯形的面積， 取微元 任取一個(gè)具有 代表性 的小區(qū)間 [x, x+dx] (區(qū)間微元 )， 2022/8/26 5 1. 若總量 U非均勻分布在變量 x的某個(gè)區(qū)間 [a, b]上 。 2. 總量 U有可加性 . (1) 求微元 局部近似得 dU = f (x)dx (2) 求全量 微元積分得 ?? ba dxxfU )(應(yīng)用方向： 平面圖形的面積；體積；平面曲線(xiàn)的弧長(zhǎng)；功；水壓力；引力和平均值等． 可用微元法的條件 步驟 2022/8/26 6 (1) 整體問(wèn)題轉(zhuǎn)化為局部問(wèn)題； (2) 在局部范圍內(nèi)，以常代變，以直代曲； 微元法的實(shí)質(zhì) (3) 取極限 (定積分 ) 由近似值變?yōu)榫_值。 .2 abc ?? ?2022/8/26 36 例 5 求擺線(xiàn) )s i n( ttax ?? ， )c o s1( tay ?? 的一拱與 0?y 所圍成的圖形分別繞 x 軸、 y 軸旋轉(zhuǎn)構(gòu)成旋轉(zhuǎn)體的體積 . 解 繞 x
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