【正文】 (也稱為三角函數(shù)系 ) 1 , c o s , s in , c o s 2 , s in 2 , , c o s , s in , ( 5 )x x x x nx nx所產(chǎn)生的一般形式的三角級數(shù) . 容易驗證 ,若三角級數(shù) (4)收斂 ,則它的和一定是一 個以 為周期的函數(shù) . 2π則級數(shù) ( )可寫成 3?非正弦周期函數(shù) :矩形波 o tu???11?????????????tttu0,10,1)(當(dāng)當(dāng)不同頻率正弦波逐個疊加 4 4 1 4 1 4 1s in , s in 3 , s in 5 , s in 7 ,3 5 7t t t t? ? ? ?? ? ?tu s i n4??)3s i n31(s i n4 ttu ?? ?)5s i n513s i n31(s i n4 tttu ??? ?)7s i n715s i n513s i n31(s i n4 ttttu ???? ?)9s i n917s i n715s i n513s i n31(s i n4 tttttu ????? ?)7s i n715s i n513s i n31( s i n4)( ?????? tttttu ?)0,( ?????? tt由以上可以看到 ：一個比較復(fù)雜的周期運動可以看作是許多不同頻率的簡諧振動的疊加 . 關(guān)于三角級數(shù) (4)的收斂性有如下定理 : 定理 若級數(shù) ?????01|| ( | | | |) .2 nnna ab收斂 ,則級數(shù) (4)在整個數(shù)軸上絕對收斂且一致收斂 . 證 對任何實數(shù) x,由于 | c o s s in | | | | | ,n n n na n x b n x a b? ? ?根據(jù)優(yōu)級數(shù)判別法 , 就能得到本定理的結(jié)論 . 為進(jìn)一步研究三角級數(shù) (4)的收斂性 , 先討論三角函 數(shù)系 (5) 的特性 . 首先容易看出三角函數(shù)系 (5)中所 其次 , 在三角函數(shù)系 (5)中 , 任何兩個不相同的函數(shù) ?? ????ππc o s d sin d 0, ( 6 )n x x n x xππππππc os c os d 0 ( ) ,si n si n d 0 ( ) , ( 7 )c os si n d 0 .m x n x x m nm x n x x m nm x n x x?????????? ??? ?????有函數(shù)具有共同的周期 2π.的乘積在 上的積分等于零 ,即 [ , ]???而 (5)中任何一個函數(shù)的平方在 [π, π] 上的積分都 不等于零 , 即 ??????????????π π22π ππ2πc os d sin d π ,( 8 )1 d 2 πn x x n x xx? ? [ , ]ab若兩個函數(shù) 與 在 上可積 , 且 ?? ( ) ( ) d 0ba x x x??? ? [ , ]ab [ , ]ab則稱 與 在 上是 正交 的 , 或在 上具有 正 交性 . 由此三角函數(shù)系 (4)在 [ π,π]? 上具有 正交性 . 或者說 (5)是正交函數(shù)系 . 現(xiàn)應(yīng)用三角函數(shù)系 (5)的正交性來討論三角級數(shù) (4) 的和函數(shù) f 與級數(shù) (4)的系數(shù) 0 ,nna a b之間的關(guān)系 . 定理 若在整個數(shù)軸上 ??? ? ??01( ) ( c os si n ) ( 9 )2 nnnaf x a n x b n x且等式右邊級數(shù)一致收斂 , 則有如下關(guān)系式 : ππ1 ( ) c o s d , 0 , 1 , 2 , , ( 1 0 )πna f x nx x n a????二、以 為周期的函數(shù)的傅里葉級數(shù) 2?ππ1 ( ) sin d , 1 , 2 , , ( 1 0 )πnb f x nx x n b??證 由定理條件 , 函數(shù) f 在 [ , ]??? 上連續(xù)且可積 . 對 (9)式逐項積分得 ??ππ ( )df x x?? ? ??? ? ??? ? ?π π π0π π π1d ( c os d si n d ) .2 nnna x a n x x b n x x由關(guān)系式 (6)知 , 上式右邊括號內(nèi)的積分都等于零 . 所以 π 00π ( ) d 2 π π ,2af x x a? ? ? ??即 π0 π1 ( ) d .πa f x x?? ?又以 coskx 乘 (9)式兩邊 (k為正整數(shù) ), 得 0( ) c o s c o s2af x k x k x?1( c os c os si n c os ). ( 11 )nnna n x kx b n x kx?????從第十三章 167。 2 以 2l 為周期的函數(shù)的展開式 一、以 2l為周期的函數(shù)的傅里葉級數(shù) 設(shè) f 是以 2l 為周期的函數(shù) , 通過變量替換 : π ,πx l ttxl ??或??? ????( ) .πl(wèi)tF t ff [ , ]ll? F 若 在 上可積 , 則 在 [ π, π]?上也可積 , 這時函數(shù) F 的傅里葉級數(shù)展開式是 : 01( ) ( c os si n ) , ( 1 )2 nnnaF x a n x b n x?????就可以將 f 變換成以 為周期的關(guān)于變量 t 的函數(shù) 2π其中 (2) ππππ1( ) c os d , 1 , 2, ,π1( ) si n d t , 1 , 2, .πnna F t n t t nb F t n t n????????? πxt l ????????( ) ( ) .πl(wèi)tF t f f x因為 , 所以 于是由 (1)與 (2)式分別得 01π π( ) ( c os si n ), ( 3 )2 nnna n x n xf x a bll?????與 這里 (4)式是以 2l 為周期的函數(shù) f 的傅里葉系數(shù) , (3) 式是 f 的傅里葉級數(shù) . 若函數(shù) f 在 [ , ]ll? 上按段光滑 , 則同樣可由收斂定理 知道 1 π( ) c os d , 0, 1 , 2, ,1 π( ) si n d , 1 , 2, 3, .lnllnlnxa f x x nllnxb f x x nll????????(4)( 0 ) ( 0 )2f x f x? ? ?例 1 將函數(shù) 0, 5 0,()3, 0 5xfxx? ? ???? ???展開成傅里葉級數(shù) . 01π π( c os si n ). ( 5 )2 nnna n x n xabll??? ? ???( 5 , 5 ) ,f由 于 在 上 按 段 光 滑 因 此 可解 以 展 開 成 傅里葉級數(shù) .根據(jù) (4) 式 ,有 05501 π 1 π0 c o s d 3 c o s d5 5 5 5nn x n xa x x?? ? ???5035 πsin 0, 1 , 2, ,5 π5nx nn? ? ? ?550 5011 ( ) d 3 d 3 ,55a f x x x?? ? ???501 π3 sin d55nnxbx? ????? ? ?????5035 π 3 ( 1 c os π )c os5 π 5 πn x nnn?? ? ???? ?? ???6, 2 1 , 1 , 2, ,( 2 1 ) π0, 2 , 2 1 , 2, .n k kkn k k代入 (5)式 , 得 ??????? 13 6 ( 2 1 ) π( ) si n2 ( 2 1 ) π5kkxfxk??? ? ? ? ?????36 π 1 3 π 1 5 πsi n si n si n .2 π 5 3 5 5 5x x x( 5 , 0 ) ( 0 , 5 ) .x ??這里 0x ? 當(dāng) 和 177。 3 收斂定理的證明 本節(jié)來完成對傅里葉級數(shù)收斂定理的證明 , 先 證明兩個預(yù)備定理 . 預(yù)備定理 1 (貝塞爾 (Bessel)不等式 ) 若函數(shù) f 在 [ π, π]? 上可積 , 則 ???? ? ?? ?2 π2 2 20π11( ) ( ) d . ( 1 )2 πnnna a b f x x為 ,nnab f其中 的傅里葉系數(shù) . (1)式稱為貝塞爾不等 式 . 貝塞爾（ 1784～ 1846） Bessel德國天文學(xué)家、數(shù)學(xué)家 。 1810年任柯尼斯堡天文臺臺長，直至逝世。他六歲開始上學(xué)， 14歲進(jìn)入大學(xué)預(yù)科學(xué)習(xí)， 19歲按其父親的意愿進(jìn)入哥廷根大學(xué)攻讀哲學(xué)和神學(xué)，以便將來繼承父志也當(dāng)一名牧師。 1847年，黎曼轉(zhuǎn)到柏林大學(xué)學(xué)習(xí)，成為雅可比、狄利克雷、施泰納、艾森斯坦的學(xué)生。 1866年 7月 20日病逝于意大利，終年 39歲。 復(fù)變函數(shù)論的奠基人 柯西、黎曼和維爾斯特拉斯是公認(rèn)的復(fù)變函數(shù)論的主要奠基人，而且后來證明在處理復(fù)函數(shù)理論的方法上黎曼的方法是本質(zhì)的，柯西和黎曼的思想被融合起來，而維爾斯特拉斯的思想可以從柯西 —黎曼的觀點推導(dǎo)出來。（另一種幾何： 羅氏幾何 ） 微積分理論的創(chuàng)造性貢獻(xiàn) 黎曼除對幾何和復(fù)變函數(shù)方面的開拓性工作以外，還以其對 l9世紀(jì)初興起的完善微積分理論的杰出貢獻(xiàn)載入史冊。 1854年黎曼為取得哥廷根大學(xué)編外講師的資格，遞交了一篇論文 《 關(guān)于利用三角級數(shù)表示一個函數(shù)的可能性 》 。黎曼給出了一個連續(xù)而不可微的著名反例，最終講清連續(xù)與可微的關(guān)系。這是一篇不到十頁、內(nèi)容極其深刻的論文，他將素數(shù)的分布的問題歸結(jié)為函數(shù)的問題，現(xiàn)在稱為黎曼函數(shù)。 那個未解決的問題現(xiàn)稱為 “ 黎曼猜想 ” (希爾伯特 23個問題中的第 8個問題 )，這個問題迄今沒有人證明。還有一些看起來簡單又長期得不到解決的問題：如哥尼斯堡七橋問題、四色問題，這些促使了人們對組合拓?fù)鋵W(xué)的研究。 代數(shù)幾何的開源貢獻(xiàn) 19世紀(jì)后半葉 ,人們對黎曼研究阿貝爾積分和阿貝爾函數(shù)所創(chuàng)造的雙有理變換的方法產(chǎn)生極大的興趣。 Lebesgue 勒貝格是法國數(shù)學(xué)家。不幸的是，父親去世過早，家境衰落。 1902年在巴黎大學(xué)通過博士論文答辯 ,取得哲學(xué)博士學(xué)位。 1924年成為倫敦數(shù)學(xué)會榮譽(yù)會員。 勒貝格的成名之作是他的論文 《 積分 ,長度 ,面積 》 （ 1902年）和兩本專著 《 論三角級數(shù) 》 （ 1903年）、 《 積分與原函數(shù)的研究 》 （ 1904年）在 《 積分 ,長度 ,面積 》 中 ,第一次闡明了他關(guān)于測度和積分的思想。要想從一個不太抽象的角度，用幾句話就能概括勒貝格測度和勒貝格積分的概念及其在近代數(shù)學(xué)中的巨大作用，是極為困難的。第三，許多收斂的黎曼函數(shù)序列，其極限函數(shù)卻不是黎曼可積的，即使是黎曼可積的，但積分與求極限的過程也不是隨便可交換的。收斂性的困難大大地減少了。 美國數(shù)學(xué)史家克蘭說 :“勒貝格的工作是本世紀(jì)的一個偉大貢獻(xiàn) ,確實贏得了公認(rèn) ,但和通常一樣 ,也并不是沒有遭到一定的阻力的 .”數(shù)學(xué)家埃爾米特曾說 : “我懷著驚恐的心情對不可導(dǎo)函數(shù)的令人痛惜的禍害感到厭惡 .”當(dāng)勒貝格寫一篇討論不可微曲面 《 關(guān)于可應(yīng)用于平面的非直紋面短論 》 論文 ,埃爾米特就極力阻止它發(fā)表 .勒貝格從 1902年發(fā)表第一篇論文 《 積分 ,長度 ,面積 》 起 ,有近十年的時間沒有在巴黎獲得職務(wù) ,直到 1910年 ,才被同意進(jìn)入巴黎大學(xué)任教。因為埃爾米特表現(xiàn)出來的恐懼和厭惡差不多每個人都會感覺到，所以任何時候，只要當(dāng)我試圖參加一個數(shù)學(xué)討論會時，總會有些分析家說： ‘ 這不會使你感興趣的，我們在討論有導(dǎo)數(shù)的函數(shù)。他的工作開辟了分析學(xué)的新時代，對 20世紀(jì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生了極為深遠(yuǎn)的影響。 1795年創(chuàng)辦 ,后由于政府更迭而幾經(jīng)改組、封閉。 經(jīng)過 200多年的發(fā)展 ,巴黎高等師范學(xué)校在法國可算是家喻戶曉，尤其是對于那些求知若渴的人們，這里既是知識的海洋，又是科技發(fā)展的溫床。高師是獨一無二的 ,她孕著革新的激情與反僵化的沖動 ,推動著歷屆政府的改革與