【導(dǎo)讀】又熟悉的函數(shù)組成的級數(shù)來表示該函數(shù)呢?物理學(xué)和工程技術(shù)中都有著非常廣泛的應(yīng)用.傅里葉法國數(shù)學(xué)家及物理學(xué)家。最早使用定積分符號,改進符號法則及根數(shù)判。傅立葉級數(shù)的創(chuàng)始人。12歲由一位主教送入地方軍事學(xué)校讀書。13歲時開始學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，即對數(shù)學(xué)產(chǎn)生了濃厚的興趣。16歲就獨立發(fā)現(xiàn)笛卡爾符號法則的一個新證法。傅里葉17歲時回鄉(xiāng)教數(shù)學(xué),1794到巴黎,1798年隨拿破侖遠征埃及時任軍中文。1809年被封為爵士,1817年當(dāng)選為科學(xué)院院士，1822年任該院終身秘書。和理工科大學(xué)校務(wù)委員會主席。1807年向巴黎科學(xué)院呈交《熱的傳播》。提出任一函數(shù)都可以展成三角函數(shù)的無窮級數(shù)。論物理學(xué)的發(fā)展產(chǎn)生深遠影響。葉分析等理論均由此創(chuàng)始。來描述.由所表達的周期運動也稱為簡諧振動,其中A為振幅.為初相角,為角頻率,于是簡諧。振動y的周期是2π.T??加就得到函數(shù)項級數(shù)?看作是許多不同頻率的簡諧振動的疊加.

　　

【正文】 義在 R的閉區(qū)間上（或 Rn的閉連通區(qū)域上）的實值函數(shù)，但實際上有用的函數(shù) f，其定義域可以是 R或 Rn的某些適當(dāng)?shù)淖蛹? 第二，黎曼可積的函數(shù)類甚為狹小，基本上是 “ 分段連續(xù)函數(shù) ” 構(gòu)成的函數(shù)類。第三，許多收斂的黎曼函數(shù)序列，其極限函數(shù)卻不是黎曼可積的，即使是黎曼可積的，但積分與求極限的過程也不是隨便可交換的。這些缺點不僅在泛函分析中導(dǎo)致嚴(yán)重困難，而且在無窮級數(shù)的逐項積分這種簡單問題上也導(dǎo)致了嚴(yán)重的困難。正是勒貝格在 20世紀(jì)初開創(chuàng)的這些工作為掃除這些障礙提供了理論工具。按照勒貝格意義下的積分 ,可積函數(shù)類大大地擴張了；積分區(qū)域可以是比閉連通域復(fù)雜得多（ R或 Rn）的子集 。收斂性的困難大大地減少了。 勒貝格曾對他的積分思想作過一個生動有趣的描述： “ 我必須償還一筆錢，如果我從口袋中隨意地摸出來各種不同面值的鈔票，逐一地還給債主直到全部還清，這就是黎曼積分；不過，我還有另外一種作法，就是把錢全部拿出來并把相同面值的鈔票放在一起，然后再一起付給應(yīng)還的數(shù)目，這就是我的積分。 ” 勒貝格積分的理論是對積分學(xué)的重大突破。用他的積分理論來研究三角級數(shù) ,很容易地得到了許多重要定理 ,改進了到那時為止的函數(shù)可展為三角級數(shù)的充分條件 ,緊接著導(dǎo)數(shù)的概念也得到了推廣。 美國數(shù)學(xué)史家克蘭說 :“勒貝格的工作是本世紀(jì)的一個偉大貢獻 ,確實贏得了公認 ,但和通常一樣 ,也并不是沒有遭到一定的阻力的 .”數(shù)學(xué)家埃爾米特曾說 : “我懷著驚恐的心情對不可導(dǎo)函數(shù)的令人痛惜的禍害感到厭惡 .”當(dāng)勒貝格寫一篇討論不可微曲面 《 關(guān)于可應(yīng)用于平面的非直紋面短論 》 論文 ,埃爾米特就極力阻止它發(fā)表 .勒貝格從 1902年發(fā)表第一篇論文 《 積分 ,長度 ,面積 》 起 ,有近十年的時間沒有在巴黎獲得職務(wù) ,直到 1910年 ,才被同意進入巴黎大學(xué)任教。 微積分中的牛頓 —萊布尼茨公式也得到了相應(yīng)的新結(jié)論 ,一門微積分的延續(xù)學(xué)科 —實變函數(shù)論在他手中誕生了。勒貝格的理論 ,不僅是對積分學(xué)的革命，而且也是傅里葉級數(shù)理論和位勢理論發(fā)展的轉(zhuǎn)折點。 勒貝格在他的 《 工作介紹 》 中感慨地寫道： “ 對于許多數(shù)學(xué)家來說，我成了沒有導(dǎo)數(shù)的函數(shù)的人，雖然我在任何時候也不曾完全讓我自己去研究或思考這種函數(shù)。因為埃爾米特表現(xiàn)出來的恐懼和厭惡差不多每個人都會感覺到，所以任何時候，只要當(dāng)我試圖參加一個數(shù)學(xué)討論會時，總會有些分析家說： ‘ 這不會使你感興趣的，我們在討論有導(dǎo)數(shù)的函數(shù)。 ’ 或者一位幾何學(xué)家就會用他的語言說： ‘ 我們在討論有切平面的曲面。 ’” 但到了 20世紀(jì) 30年代，勒貝格積分論已廣為人知，并且在概率論、譜理論、泛函分析等方面獲得了廣泛的應(yīng)用。 勒貝格具有基于直觀幾何的深刻洞察力。他的工作開辟了分析學(xué)的新時代，對 20世紀(jì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生了極為深遠的影響。他的論文收集在 《 勒貝格全集 》中。 在數(shù)學(xué)中以他的姓氏命名的有：勒貝格函數(shù)、勒貝格測度、勒貝格積分、勒貝格積分和、勒貝格空間、勒貝格面積、勒貝格準(zhǔn)則、勒貝格數(shù)、勒貝格點、勒貝格鏈、勒貝格譜、勒貝格維數(shù)、勒貝格分解、勒貝格分類、勒貝格不等式等，而以他的姓氏命名的定理有多種。 巴黎高等師范學(xué)校 巴黎高等師范學(xué)校，簡稱巴黎高師 ,是法國歷史最悠久的、一所培養(yǎng)教學(xué)和科研人員的高等?？茖W(xué)校 ,校址在巴黎 ,原名巴黎師范學(xué)校。 1795年創(chuàng)辦 ,后由于政府更迭而幾經(jīng)改組、封閉。 1808年 ,根據(jù)拿破侖一世的帝國敕令予以重建，成為培養(yǎng)國立中學(xué)教師的學(xué)校 ,1810年開始招生 , 1845年改現(xiàn)名?？傂７?3處，坐落于花都的于勒姆大街、朱丹大道和蒙突奇區(qū)。總建筑面積 ，占地 200公頃，其中近 5公頃在巴黎行政區(qū)內(nèi)。 經(jīng)過 200多年的發(fā)展 ,巴黎高等師范學(xué)校在法國可算是家喻戶曉，尤其是對于那些求知若渴的人們，這里既是知識的海洋，又是科技發(fā)展的溫床。盡管飽經(jīng)歲月的磨煉，這所古老的學(xué)校在今天仍煥發(fā)著青春的活力，血管中仍流動著探索與創(chuàng)新的新鮮血液。 無論在哪一階段，高師都與時代保持著高度的默契 ,人才輩出 ,如開生物學(xué)新紀(jì)元的亞雷斯和巴斯德，存在主義先鋒薩特，自由主義戰(zhàn)士雷蒙 阿尤 ,共和國總統(tǒng)蓬皮杜等。高師是獨一無二的 ,她孕著革新的激情與反僵化的沖動 ,推動著歷屆政府的改革與完善。 ???????????? ?? ? ???? ???????? ???π00π1l i m ( ) si n d 0,2( 6 )1l i m ( ) si n d 0,2nnf x n x xf x n x x1si n c os si n si n c os ,2 2 2xxn x n x n x?? ? ? ?????π01( ) si n d2f x n x x?????????證 由于 所以 推論 2 若 f 為可積函數(shù) ,則 ? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ???ππ00( ) c os si n d ( ) si n c os d22xxf x n x x f x n x x??????π π12π π( ) sin d ( ) c o s d , ( 7 )F x nx x F x nx x1( ) c os , 0 π ,() 20, π 0,xf x xFxx? ?????? ? ? ??2( ) si n , 0 π ,() 20, π 0.xf x xFxx? ?????? ? ? ??其中 式右端兩項積分的極限在 n ??時都等于零 . 所以 左邊的極限為零 . 同樣可以證明 ????????????0π1l i m ( ) si n d 0.2n f x n x x上可積 , 則它的傅里葉級數(shù)的部分和 ()nSx可寫成 顯見 與 和 f 一樣在 上可積 .由推論 1,(7) 1F 2F [ π, π]?f [ π, π]?預(yù)備定理 2 若 是以 2 為周期的函數(shù) , 且在 π??????????ππ1si n1 2( ) = ( ) d , ( 8 )π2 si n2nntS x f x t tt當(dāng) t = 0 時 , 被積函數(shù)中的不定式由極限 ???????? ??01si n12lim22 si n2tntnt來確定 . ?? ? ??01( ) ( c os si n )2nn k kkaS x a kx b kx? ?? ?ππ1ππ11( ) ( ) d ( ) c os d c os2 ππ( ) si n d si nnnkS x f u u f u ku u kxf u ku u kx?????????????????? ?????? ? ???????ππ 111 ( ) c os c os si n si n dπ2nkf u ku kx ku kx u證 在傅里葉級數(shù)部分和 中 , 用傅里葉系數(shù)公式代入 , 可得 ππ 111 ( ) c os ( ) d .π 2nkf u k u x u? ???? ? ???????令 u x t??, 得 ππ 111( ) ( ) c os d .π 2nxn xks x f x t kt t??? ???? ? ???????[ , ]xx? ? ? ? ? [ , ]?? ?因此在 上的積分等于 上的積 分 , 再由第十二章 167。 3 的 (21) 式 , 即 由上面這個積分看到 ,被積函數(shù)是周期為 的函數(shù) , 2?11si n1 2c os , ( 9 )22 si n2nkntktt???????????ππ1si n1 2( ) = ( ) d .π2 si n2nntS x f x t tt??????????這就得到 (8)式也稱為 f 的 傅里葉級數(shù)部分和的積分表達式 . 現(xiàn)在證明定理 (收斂定理 ).重新敘述如下 : [ π , π ] ,xf??光滑 , 則在每一點 的傅里葉級數(shù)收斂 于 f 在點 x 的左、右極限的算術(shù)平均值 ,即 ??? ? ? ? ? ??01( 0 ) ( 0 ) ( c os si n ),22 nnnaf x f x a n x b n x,nnab f其中 為 的傅里葉系數(shù) . f [ π, π]?定理 若以 為周期的函數(shù) 在 上按段 2π證 只要證明在每一點 x 處下述極限成立 : ( 0 ) ( 0 )lim ( ) 0 ,2 nnf x f x Sx??? ? ??? ??????ππ1si n( 0 ) ( 0 ) 1 2l i m ( ) d 0.2 π2 si n2nntf x f xf x t tt????????? ? ? ??? ? ??????即 或證明同時 有 π01si n( 0 ) 1 2l i m ( ) d 0, ( 10 )2 π2 si n2nntfxf x t tt???? ???????? ??? ? ??????0π1si n( 0 ) 1 2li m ( ) d 0. ( 11 )2 π2 si n2nntfxf x t tt????? ?????? ??? ? ??????與 先證明 (10) 式 . 對 (9) 式積分后得到 ππ11si n1 1 12d c os d 1 ,π π 22 si n2nknxx kx xx????????????? ? ????????由于上式左邊為偶函數(shù) , 因此兩邊乘以 ( 0 )fx ? 后 又得到 π01si n( 0 ) 1 2( 0 ) d .2 π2 si n2ntfxf x tt?????? ?????π01si n1 2l i m [ ( 0 ) ( ) ] d 0. ( 12 )π2 si n2nntf x f x t tt?????????? ? ? ??( ) ( 0 )()2 si n2f x t f xtt? ? ? ???從而 (10)式可改寫為 令 ( ) ( 0 ) 2, ( 0, π ].si n2tf x t f xttt? ? ???? ? ?????0l i m ( ) ( 0 ) 1 ( 0 ) .t t f x f x??? ??? ? ? ? ? ? ?由 167。 1, (13) 式得到 則函數(shù) 在點 ?? ? ?( 0 ) ( 0 ) ,fx? ? 0t ?再令 右連續(xù) . 因 為 ? 在 上至多只有有限個第一類間斷點 , [0, π]所以 在 上可積 . 根據(jù)預(yù)備定理 1和推論 2, ? [0, π]?????????? ? ??π01si n1 2l i m [ ( 0 ) ( ) ] dπ2 si n2nntf x f x t tt????? ? ??????π011l i m ( ) si n d 0.π2n t n t t?這就證得 (12)式成立 , 從而 (10)式成立 . 用同樣方法可證 (11) 也成立 . 小結(jié) ，黎曼 勒貝格定理 . ． 作業(yè) 習(xí)題 5 級數(shù)習(xí)題課 常數(shù)項級數(shù) 函數(shù)項級數(shù) 一 般 項 級 數(shù) 正 項 級 數(shù) 冪級數(shù) 三角級數(shù) 收 斂 半 徑 R 泰勒展開式 數(shù)或函數(shù) 函 數(shù) 數(shù) 任 意 項 級 數(shù) 傅氏展開式 傅氏級數(shù) 泰勒級數(shù) 0)( ?xRn為常數(shù)nu )( xuu nn 為函數(shù)