【正文】 中隨意地摸出來各種不同面值的鈔票，逐一地還給債主直到全部還清，這就是黎曼積分；不過，我還有另外一種作法，就是把錢全部拿出來并把相同面值的鈔票放在一起，然后再一起付給應(yīng)還的數(shù)目，這就是我的積分。 ’ 或者一位幾何學(xué)家就會用他的語言說： ‘ 我們在討論有切平面的曲面。 1808年 ,根據(jù)拿破侖一世的帝國敕令予以重建，成為培養(yǎng)國立中學(xué)教師的學(xué)校 ,1810年開始招生 , 1845年改現(xiàn)名。 ???????????? ?? ? ???? ???????? ???π00π1l i m ( ) si n d 0,2( 6 )1l i m ( ) si n d 0,2nnf x n x xf x n x x1si n c os si n si n c os ,2 2 2xxn x n x n x?? ? ? ?????π01( ) si n d2f x n x x?????????證 由于 所以 推論 2 若 f 為可積函數(shù) ,則 ? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ???ππ00( ) c os si n d ( ) si n c os d22xxf x n x x f x n x x??????π π12π π( ) sin d ( ) c o s d , ( 7 )F x nx x F x nx x1( ) c os , 0 π ,() 20, π 0,xf x xFxx? ?????? ? ? ??2( ) si n , 0 π ,() 20, π 0.xf x xFxx? ?????? ? ? ??其中 式右端兩項(xiàng)積分的極限在 n ??時(shí)都等于零 . 所以 左邊的極限為零 . 同樣可以證明 ????????????0π1l i m ( ) si n d 0.2n f x n x x上可積 , 則它的傅里葉級數(shù)的部分和 ()nSx可寫成 顯見 與 和 f 一樣在 上可積 .由推論 1,(7) 1F 2F [ π, π]?f [ π, π]?預(yù)備定理 2 若 是以 2 為周期的函數(shù) , 且在 π??????????ππ1si n1 2( ) = ( ) d , ( 8 )π2 si n2nntS x f x t tt當(dāng) t = 0 時(shí) , 被積函數(shù)中的不定式由極限 ???????? ??01si n12lim22 si n2tntnt來確定 . ?? ? ??01( ) ( c os si n )2nn k kkaS x a kx b kx? ?? ?ππ1ππ11( ) ( ) d ( ) c os d c os2 ππ( ) si n d si nnnkS x f u u f u ku u kxf u ku u kx?????????????????? ?????? ? ???????ππ 111 ( ) c os c os si n si n dπ2nkf u ku kx ku kx u證 在傅里葉級數(shù)部分和 中 , 用傅里葉系數(shù)公式代入 , 可得 ππ 111 ( ) c os ( ) d .π 2nkf u k u x u? ???? ? ???????令 u x t??, 得 ππ 111( ) ( ) c os d .π 2nxn xks x f x t kt t??? ???? ? ???????[ , ]xx? ? ? ? ? [ , ]?? ?因此在 上的積分等于 上的積 分 , 再由第十二章 167。阿尤 ,共和國總統(tǒng)蓬皮杜等。 巴黎高等師范學(xué)校 巴黎高等師范學(xué)校，簡稱巴黎高師 ,是法國歷史最悠久的、一所培養(yǎng)教學(xué)和科研人員的高等?？茖W(xué)校 ,校址在巴黎 ,原名巴黎師范學(xué)校。 勒貝格在他的 《 工作介紹 》 中感慨地寫道： “ 對于許多數(shù)學(xué)家來說，我成了沒有導(dǎo)數(shù)的函數(shù)的人，雖然我在任何時(shí)候也不曾完全讓我自己去研究或思考這種函數(shù)。按照勒貝格意義下的積分 ,可積函數(shù)類大大地?cái)U(kuò)張了；積分區(qū)域可以是比閉連通域復(fù)雜得多（ R或 Rn）的子集 。 他在 《 積分與原函數(shù)的研究 》 中還證明了有界函數(shù)黎曼可積的充要條件是不連續(xù)點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)零測度集 ,因此從另外一個(gè)角度給出了黎曼可積的充要條件。 1922年當(dāng)選為法國科學(xué)院院士。在父親的影響下，勒貝格從小勤奮好學(xué)，成績優(yōu)秀，特別擅長計(jì)算。按現(xiàn)代拓?fù)鋵W(xué)術(shù)語來說，黎曼事實(shí)上已經(jīng)對閉曲面按虧格分類。如今，除了他的一個(gè)斷言外，其余都按黎曼所期望的那樣得到了解決。關(guān)于連續(xù)與可微性的關(guān)系，柯西和他那個(gè)時(shí)代的幾乎所有的數(shù)學(xué)家都相信，而且在后來 50年中許多教科書都 “ 證明 ” :連續(xù)函數(shù)一定是可微的。演講中，他對所有已知的幾何，包括剛剛誕生的非歐幾何之一的 雙曲幾何作了縱貫古今的概要，并提出一種新的幾何體系，后人稱為 黎曼幾何 。 因長年的貧困和勞累，黎曼在 1862年婚后不到一個(gè)月就開始患胸膜炎和肺結(jié)核，其后四年的大部分時(shí)間在意大利治病療養(yǎng)。 證 令 01( ) ( c os si n )2mm n nnaS x a n x b n x?? ? ??考察積分 ? ??π 2π [ ( ) ( ) ] dmf x S x xπ π π22π π π( ) d 2 ( ) ( ) d ( ) d . ( 2 )mmf x x f x S x x S x x? ? ?? ? ?? ? ?π π0π π( ) ( ) d ( ) d2maf x S x x f x x?? ???由于 ππ1( ( ) c os d ( ) si n d ) ,mnnna f x n x x b f x n x x?????? ??根據(jù)傅里葉系數(shù)公式可得 ? ?? ? ??? π 2 2 20π 1π( ) ( ) d π ( ) . ( 3 )2mm n nnf x S x x a a b對于 2 ()mSx的積分 .應(yīng)用三角函數(shù)的正交性 , 有 ??π 2π ( ) dmS x x? ???? ? ???????2π 0π 1( c os si n ) d2mnnna a n x b n x x? ? ???? ??? ? ??? ?????? ?? ? ?2π π π2 2 2 20π π π1d c os d si n d2mnnna x a n x x b n x x22201π π ( ) . ( 4 )2mnnna ab?? ? ??將 (3), (4)代入 (2)，可得 ????π 2π0 [ ( ) ( ) ] dmf x S x x? ?? ? ? ???2π2 2 20π 1π( ) d π ( ) .2mnnnaf x x a b因而 ??? ? ?? ?2 π2 2 20π11( ) [ ( ) ] d ,2 πmnnna a b f x x它對任何正整數(shù) m成立 . 而 π 2π1 [ ( ) ] dπ f x x?? 為有限值 , 所以正項(xiàng)級數(shù) 22201()2 nnna ab?????的部分和數(shù)列有界 , 因而它收斂且有不等式 (1)成立 . 推論 1 若 f 為可積函數(shù) , 則 πππ πl(wèi)i m ( ) c os d 0,( 5 )li m ( ) sin d 0,nnf x n x xf x n x x??????????????因?yàn)?(1)的左邊級數(shù)收斂 , 所以當(dāng) n ??時(shí) , 通項(xiàng) 22 0nnab?? 0na ? 0nb ?, 亦即有 與 , 這就是 (5) 式 , 這個(gè)推論稱為 黎曼－ 勒貝格定理 . 1826年 9月 17日，黎曼生于德國北部漢諾威的布雷塞倫茨村，父親是一個(gè)鄉(xiāng)村的窮苦牧師。 (ii)余弦級數(shù) . 解 (i)為了把 f 展開 為正弦級數(shù) ,對 f 做奇式周期延 拓 (圖 1511), 并由公式 (8)有 所以當(dāng) ( 0 , 2 )x ? 時(shí) , 由 (9) 及收斂定理得到 ???? ? ?? 114 π( ) ( 1 ) si nπ2nnnxf x xn4 π 1 2 π 1 3 πsi n si n si n . ( 14 )π 2 2 2 3 2x x x??? ? ? ?????但當(dāng) x=0, 2 時(shí) , 右邊級數(shù)收斂于 0. 15 12?圖Oyx22? 46? 62(ii)為了將 f 展開成余弦級數(shù) ,對 f 做偶式延拓 ( 圖 1512).由公式 (6)得 f 的傅里葉系數(shù)為 0 , 1 , 2 , ,nbn??20 0 d 2,a x x???? ? ?? 2 2202 π4c o s d ( c o s π 1 )22 πn nxa x x nn224 [ ( 1 ) 1 ] , 1 , 2 , ,πn nn? ? ? ?或 2 1 2228 , 0 ( 1 , 2, ) .( 2 1 ) πkka a kk??? ? ??所以當(dāng) ( 0 , 2 )x ? 時(shí) , 由 (7)及收斂定理得到 ????? ? ??? 2218 ( 2 1 ) π( ) 1 c os( 2 1 ) π2kkxf x xk??? ? ? ? ?????2 2 28 π 1 3 π 1 5 π1 c os c os c os . ( 15 )π 2 3 2 5 2x x x 由例 4 可以看到 , 同樣一個(gè)函數(shù)在同樣的區(qū)間 上可以用正弦級數(shù)表示 , 也可以用余弦級數(shù)表示 . 三、小結(jié) 2l為周期的函數(shù)的傅里葉級數(shù)展開的基本方法． 開為正弦級數(shù)或余弦級數(shù)的基本方法． 作業(yè) 習(xí)題 5 167。 一、三角級數(shù) 1798年隨拿破侖遠(yuǎn)征埃及時(shí)任軍中文書和埃及研究院秘書 ,1801年回國后任伊澤爾省地方長官。1768年 3月 21日生于歐塞爾 ,1830年 5月 16日卒于巴黎。 傅里葉是一個(gè)裁縫的兒子 ,8歲父母雙亡 ,被當(dāng)?shù)亟烫檬震B(yǎng)。 傅里葉的主要貢獻(xiàn)是在研究熱的傳播時(shí)創(chuàng)立了一套數(shù)學(xué)理論。 3中進(jìn)行 . 定理 (傅里葉級數(shù)收斂定理 ) 若以 為周期的 2π三、收斂定理 注 盡管傅里葉級數(shù)的收斂性質(zhì)不如冪級數(shù) ,但它對 函數(shù)的要求卻比冪級數(shù)要低得多 , 所以應(yīng)用更廣 . 而且即將看到函數(shù)周期性的要求也可以去掉 . 注： 1. 若 f 的導(dǎo)函數(shù)在 [ , ]ab上連續(xù) , 則稱 f在 [a, b]上 光 滑 . 2. 如果定義在 [ , ]ab 上函數(shù) f 至多有有限個(gè)第一類間 斷點(diǎn) ,其導(dǎo)函數(shù)在 [a, b]上除了至多有限個(gè)點(diǎn)外都存 在且連續(xù) , 并且在這有限個(gè)點(diǎn)上導(dǎo)函數(shù) f? 的左、右 極限存在 , 則稱 f 在 [ , ]ab上 按段光滑 . 在 [a, b]上按段光滑的函數(shù) f ,有如下 重要性質(zhì) : (i) f 在 [ , ]ab上可積 . [ , ]ab ( 0 )fx?(ii) 在 上每一點(diǎn)都存在 , 如果在不連續(xù) ( ) ( 0 )f x f x??( ) ( 0 )f f x??點(diǎn)補(bǔ)充定義 , 或 , 則 還有 ????? ? ????? ? ?????00( ) ( 0 )l i m ( 0 ) ,( 13 )( ) ( 0 )l i m ( 0 ) ,ttf x t f xfxtf x t f xfxtf? [ , ]ab(iii) 在補(bǔ)充定義 在 上那些至多有限個(gè)不存在 f? f?導(dǎo)數(shù)的點(diǎn)上的值后 ( 仍記為 ), 在 [a, b]上可積 . 從幾何圖形上講 , 在 區(qū)間 [a, b]上按段光滑 光滑函數(shù) ,是由有限個(gè) 多有有限個(gè)第一類間 斷點(diǎn) (圖 151). 光