【正文】 1, (13) 式得到 則函數(shù) 在點 ?? ? ?( 0 ) ( 0 ) ,fx? ? 0t ?再令 右連續(xù) . 因 為 ? 在 上至多只有有限個第一類間斷點 , [0, π]所以 在 上可積 . 根據(jù)預(yù)備定理 1和推論 2, ? [0, π]?????????? ? ??π01si n1 2l i m [ ( 0 ) ( ) ] dπ2 si n2nntf x f x t tt????? ? ??????π011l i m ( ) si n d 0.π2n t n t t?這就證得 (12)式成立 , 從而 (10)式成立 . 用同樣方法可證 (11) 也成立 . 小結(jié) ，黎曼 勒貝格定理 . ． 作業(yè) 習(xí)題 5 級數(shù)習(xí)題課 常數(shù)項級數(shù) 函數(shù)項級數(shù) 一 般 項 級 數(shù) 正 項 級 數(shù) 冪級數(shù) 三角級數(shù) 收 斂 半 徑 R 泰勒展開式 數(shù)或函數(shù) 函 數(shù) 數(shù) 任 意 項 級 數(shù) 傅氏展開式 傅氏級數(shù) 泰勒級數(shù) 0)( ?xRn為常數(shù)nu )( xuu nn 為函數(shù)滿足狄。 ???????????? ?? ? ???? ???????? ???π00π1l i m ( ) si n d 0,2( 6 )1l i m ( ) si n d 0,2nnf x n x xf x n x x1si n c os si n si n c os ,2 2 2xxn x n x n x?? ? ? ?????π01( ) si n d2f x n x x?????????證 由于 所以 推論 2 若 f 為可積函數(shù) ,則 ? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ???ππ00( ) c os si n d ( ) si n c os d22xxf x n x x f x n x x??????π π12π π( ) sin d ( ) c o s d , ( 7 )F x nx x F x nx x1( ) c os , 0 π ,() 20, π 0,xf x xFxx? ?????? ? ? ??2( ) si n , 0 π ,() 20, π 0.xf x xFxx? ?????? ? ? ??其中 式右端兩項積分的極限在 n ??時都等于零 . 所以 左邊的極限為零 . 同樣可以證明 ????????????0π1l i m ( ) si n d 0.2n f x n x x上可積 , 則它的傅里葉級數(shù)的部分和 ()nSx可寫成 顯見 與 和 f 一樣在 上可積 .由推論 1,(7) 1F 2F [ π, π]?f [ π, π]?預(yù)備定理 2 若 是以 2 為周期的函數(shù) , 且在 π??????????ππ1si n1 2( ) = ( ) d , ( 8 )π2 si n2nntS x f x t tt當(dāng) t = 0 時 , 被積函數(shù)中的不定式由極限 ???????? ??01si n12lim22 si n2tntnt來確定 . ?? ? ??01( ) ( c os si n )2nn k kkaS x a kx b kx? ?? ?ππ1ππ11( ) ( ) d ( ) c os d c os2 ππ( ) si n d si nnnkS x f u u f u ku u kxf u ku u kx?????????????????? ?????? ? ???????ππ 111 ( ) c os c os si n si n dπ2nkf u ku kx ku kx u證 在傅里葉級數(shù)部分和 中 , 用傅里葉系數(shù)公式代入 , 可得 ππ 111 ( ) c os ( ) d .π 2nkf u k u x u? ???? ? ???????令 u x t??, 得 ππ 111( ) ( ) c os d .π 2nxn xks x f x t kt t??? ???? ? ???????[ , ]xx? ? ? ? ? [ , ]?? ?因此在 上的積分等于 上的積 分 , 再由第十二章 167。阿尤 ,共和國總統(tǒng)蓬皮杜等。盡管飽經(jīng)歲月的磨煉，這所古老的學(xué)校在今天仍煥發(fā)著青春的活力，血管中仍流動著探索與創(chuàng)新的新鮮血液?？偨ㄖ娣e ，占地 200公頃，其中近 5公頃在巴黎行政區(qū)內(nèi)。 1808年 ,根據(jù)拿破侖一世的帝國敕令予以重建，成為培養(yǎng)國立中學(xué)教師的學(xué)校 ,1810年開始招生 , 1845年改現(xiàn)名。 巴黎高等師范學(xué)校 巴黎高等師范學(xué)校，簡稱巴黎高師 ,是法國歷史最悠久的、一所培養(yǎng)教學(xué)和科研人員的高等?？茖W(xué)校 ,校址在巴黎 ,原名巴黎師范學(xué)校。他的論文收集在 《 勒貝格全集 》中。 勒貝格具有基于直觀幾何的深刻洞察力。 ’ 或者一位幾何學(xué)家就會用他的語言說： ‘ 我們在討論有切平面的曲面。 勒貝格在他的 《 工作介紹 》 中感慨地寫道： “ 對于許多數(shù)學(xué)家來說，我成了沒有導(dǎo)數(shù)的函數(shù)的人，雖然我在任何時候也不曾完全讓我自己去研究或思考這種函數(shù)。 微積分中的牛頓 —萊布尼茨公式也得到了相應(yīng)的新結(jié)論 ,一門微積分的延續(xù)學(xué)科 —實變函數(shù)論在他手中誕生了。用他的積分理論來研究三角級數(shù) ,很容易地得到了許多重要定理 ,改進(jìn)了到那時為止的函數(shù)可展為三角級數(shù)的充分條件 ,緊接著導(dǎo)數(shù)的概念也得到了推廣。 勒貝格曾對他的積分思想作過一個生動有趣的描述： “ 我必須償還一筆錢，如果我從口袋中隨意地摸出來各種不同面值的鈔票，逐一地還給債主直到全部還清，這就是黎曼積分；不過，我還有另外一種作法，就是把錢全部拿出來并把相同面值的鈔票放在一起，然后再一起付給應(yīng)還的數(shù)目，這就是我的積分。按照勒貝格意義下的積分 ,可積函數(shù)類大大地擴(kuò)張了；積分區(qū)域可以是比閉連通域復(fù)雜得多（ R或 Rn）的子集 。這些缺點不僅在泛函分析中導(dǎo)致嚴(yán)重困難，而且在無窮級數(shù)的逐項積分這種簡單問題上也導(dǎo)致了嚴(yán)重的困難。 第二，黎曼可積的函數(shù)類甚為狹小，基本上是 “ 分段連續(xù)函數(shù) ” 構(gòu)成的函數(shù)類。可以這樣說，大家熟知的黎曼積分有如下若干缺點，嚴(yán)重地限制了積分概念在自然科學(xué)中的應(yīng)用。 他在 《 積分與原函數(shù)的研究 》 中還證明了有界函數(shù)黎曼可積的充要條件是不連續(xù)點構(gòu)成一個零測度集 ,因此從另外一個角度給出了黎曼可積的充要條件。他的工作使 19世紀(jì)在這個領(lǐng)域的研究大為改觀 ,特別是在博雷爾測度的基礎(chǔ)上建立了 “ 勒貝格測度 ” ,并以此為基礎(chǔ)對積分的概念作了最有意義的推廣 :即把被積函數(shù)定義的區(qū)間分成若干個勒貝格可測集 ,然后同樣作積分和 ,那么原來劃分子區(qū)間方法的積分和如果不收斂，則現(xiàn)在劃分為可測集的方法就有可能收斂。 勒貝格是 20世紀(jì)法國最有影響的分析學(xué)家之一 ,也是實變函數(shù)論的重要奠基人。 1934年被選為英國皇家學(xué)會會員。 1922年當(dāng)選為法國科學(xué)院院士。1902－ 1906年任雷恩大學(xué)講師。畢業(yè)后曾在南希一所中學(xué)任教。在學(xué)校老師的幫助下進(jìn)入中學(xué)。在父親的影響下，勒貝格從小勤奮好學(xué)，成績優(yōu)秀，特別擅長計算。 1875年 6月 28日生于博韋， 1941年 7月 26日卒于巴黎。 黎曼的工作直接影響了 19世紀(jì)后半期的數(shù)學(xué)發(fā)展，許多杰出的數(shù)學(xué)家重新論證黎曼斷言過的定理，在黎曼思想的影響下數(shù)學(xué)許多分支取得了輝煌成就。當(dāng)時把代數(shù)不變量和雙有理變換的研究稱為代數(shù)幾何。按現(xiàn)代拓?fù)鋵W(xué)術(shù)語來說，黎曼事實上已經(jīng)對閉曲面按虧格分類。但拓?fù)溲芯康淖畲笸苿恿碜岳杪膹?fù)變函數(shù)論的工作。 組合拓?fù)涞拈_拓者 在黎曼博士論文發(fā)表以前，已有一些組合拓?fù)涞牧闵⒔Y(jié)果，其中著名的如歐拉關(guān)于閉凸多面體的頂點、棱、面數(shù)關(guān)系的歐拉定理。 數(shù)論中很多問題的解決有賴于這個猜想的解決。如今，除了他的一個斷言外，其余都按黎曼所期望的那樣得到了解決。黎曼證明了此函數(shù)的一些重要性質(zhì)，并簡要地斷言了其它的性質(zhì)而未予證明。 1859年，黎曼發(fā)表論文 《 在給定數(shù)之下的素數(shù)個數(shù) 》 。黎曼建立了如現(xiàn)在微積分教科書所講的黎曼積分的概念，給出了這種積分存在的充分必要條件。關(guān)于連續(xù)與可微性的關(guān)系，柯西和他那個時代的幾乎所有的數(shù)學(xué)家都相信，而且在后來 50年中許多教科書都 “ 證明 ” :連續(xù)函數(shù)一定是可微的。這是一篇內(nèi)容豐富、思想深刻的杰作，對完善分析理論產(chǎn)生深遠(yuǎn)的影響。黎曼由于在柏林大學(xué)師從狄利克雷研究數(shù)學(xué) ,且對柯西和阿貝爾的工作有深入的了解，因而對微積分理論有其獨到的見解。 18世紀(jì)末到 l9世紀(jì)初，數(shù)學(xué)界開始關(guān)心微積分在概念和證明中表現(xiàn)出的不嚴(yán)密性。演講中，他對所有已知的幾何，包括剛剛誕生的非歐幾何之一的 雙曲幾何作了縱貫古今的概要，并提出一種新的幾何體系，后人稱為 黎曼幾何 。 黎曼幾何的創(chuàng)始人 黎曼對數(shù)學(xué)最重要的貢獻(xiàn)還在于幾何方面，他開創(chuàng)的高維抽象幾何的研究，處理幾何問題的方法和手段是幾何史上一場深刻的革命，他建立了一種全新的后來以其名字命名的幾何體系，對現(xiàn)代幾何乃至數(shù)學(xué)和科學(xué)各分支的發(fā)展都產(chǎn)生了巨大的影響。黎曼在其短暫的一生中為數(shù)學(xué)的眾多領(lǐng)域作了許多奠基性、創(chuàng)造性的工作，為世界數(shù)學(xué)建立了豐功偉績。 黎曼是世界數(shù)學(xué)史上最具獨創(chuàng)精神的數(shù)學(xué)家之一。 因長年的貧困和勞累，黎曼在 1862年婚后不到一個月就開始患胸膜炎和肺結(jié)核，其后四年的大部分時間在意大利治病療養(yǎng)。 1849年重回哥廷根大學(xué)攻讀博士學(xué)位，成為高斯晚年的學(xué)生。黎曼被這里的數(shù)學(xué)教學(xué)和數(shù)學(xué)研究的氣氛所感染，決定放棄神學(xué)，專攻數(shù)學(xué)。由于從小酷愛數(shù)學(xué)，黎曼在學(xué)習(xí)哲學(xué)和神學(xué)的同時也聽些數(shù)學(xué)課。 證 令 01( ) ( c os si n )2mm n nnaS x a n x b n x?? ? ??考察積分 ? ??π 2π [ ( ) ( ) ] dmf x S x xπ π π22π π π( ) d 2 ( ) ( ) d ( ) d . ( 2 )mmf x x f x S x x S x x? ? ?? ? ?? ? ?π π0π π( ) ( ) d ( ) d2maf x S x x f x x?? ???由于 ππ1( ( ) c os d ( ) si n d ) ,mnnna f x n x x b f x n x x?????? ??根據(jù)傅里葉系數(shù)公式可得 ? ?? ? ??? π 2 2 20π 1π( ) ( ) d π ( ) . ( 3 )2mm n nnf x S x x a a b對于 2 ()mSx的積分 .應(yīng)用三角函數(shù)的正交性 , 有 ??π 2π ( ) dmS x x? ???? ? ???????2π 0π 1( c os si n ) d2mnnna a n x b n x x? ? ???? ??? ? ??? ?????? ?? ? ?2π π π2 2 2 20π π π1d c os d si n d2mnnna x a n x x b n x x22201π π ( ) . ( 4 )2mnnna ab?? ? ??將 (3), (4)代入 (2)，可得 ????π 2π0 [ ( ) ( ) ] dmf x S x x? ?? ? ? ???2π2 2 20π 1π( ) d π ( ) .2mnnnaf x x a b因而 ??? ? ?? ?2 π2 2 20π11( ) [ ( ) ] d ,2 πmnnna a b f x x它對任何正整數(shù) m成立 . 而 π 2π1 [ ( ) ] dπ f x x?? 為有限值 , 所以正項級數(shù) 22201()2 nnna ab?????的部分和數(shù)列有界 , 因而它收