數(shù)學(xué)分析之函數(shù)的連續(xù)性(參考版)
2024-08-24 09:15本頁(yè)面
【正文】 1,0 ?? ba (2) eba ?? ,1 .作業(yè) 習(xí)題 1 。 以上六種函數(shù)稱為 基本初等函數(shù) . 因?yàn)檫B續(xù)函數(shù) 定義 3 由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運(yùn)算與復(fù) 上是連續(xù)的 . 合之后產(chǎn)生的新函數(shù)在其定義區(qū)間（如果存在） 的基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運(yùn)算和有限次復(fù) 的四則運(yùn)算與復(fù)合運(yùn)算是保連續(xù)的，所以由上面 合運(yùn)算 ,并由一個(gè)數(shù)學(xué)式子表達(dá)的函數(shù)稱為 初等函數(shù) . 例 3 求極限 .c o s )1l n(lim0 xxx??.00c os )01l n(c os )1l n(lim0????? xxx定理 初等函數(shù)在其 有定義的區(qū)間上 是連續(xù)的 . 解 因?yàn)? xxco s )1ln ( ? 是初等函數(shù) , 所以在 處連續(xù) , 0x?從而 初等函數(shù)僅在其定義區(qū)間內(nèi)連續(xù) , 在其定義域內(nèi)不一定連續(xù) 。 (iii) 反三角函數(shù) 。 (vi) 對(duì)數(shù)函數(shù) . (v) 指數(shù)函數(shù) 。f x f x e??情形 2. 注意到 ,1?? 所以若情形 1 不成立 , 必然有 , 21 XxXx ??.),[)(, 上一致連續(xù)在證得綜上 ??axf于是 12| ( ) ( ) | .f x f x e??作業(yè) 習(xí)題 1 1 1 16 167。 xy s i n?正弦函數(shù) 的最大值為 1,最小值為 1。 第一類間斷點(diǎn) :可去型 ,跳躍型 . 第二類間斷點(diǎn) :無(wú)窮型 ,振蕩型 . 間斷點(diǎn) (見下圖 ) 可去型 第一類間斷點(diǎn) o y x 跳躍型 無(wú)窮型 振蕩型 第二類間斷點(diǎn) o y x 0xo y x 0xo y x 0x作業(yè) 習(xí)題 5 167。 。 1 連續(xù)函數(shù)的概念 一、函數(shù)在一點(diǎn)的連續(xù)性 三 、 區(qū)間上的連續(xù)函數(shù) 二 、 間斷點(diǎn)的分類 定義 1 0( ) ,f x x設(shè) 函 數(shù) 在 點(diǎn) 的 某 鄰 域 內(nèi) 有 定 義 且),()(lim 00xfxfxx ?? )1(由定義 1知 ， 我們是通過函數(shù)的極限來定義連續(xù) 00( ) ( ) .f x x f x僅存在, 而且其值恰為 在點(diǎn) 的函數(shù)值一、函數(shù)在一點(diǎn)的連續(xù)性 性的，換句話說連續(xù)就是指 0()f x x在點(diǎn) 的極限不0( ) .f x x則 稱 在 點(diǎn) 連 續(xù)0l im | | 0 ( 0 ) .x xf? ??例如： ( ) | | 0f x x x??在 處 連 續(xù) ，這是因?yàn)? ||yx?xyO0,x ?在 處 不 連 續(xù) 這 是 因 為).0(0)(l i m 0 fxfx ???函數(shù) ,0( ) ( 0 ),0xxf x aax ????? ??axyO由極限的定義 ,定義 1可以敘述為 :對(duì)于任意正數(shù) e , )2(.)()( 0 e?? xfxf00( 2 ) , 0x x x x ?? ? ? ?注 意 到 式 在 時(shí) 恒 成 立 因 此存在 ? 0, 00 | | ,xx ?? ? ?當(dāng) 時(shí) 有這樣就得到函數(shù) f (x) 在點(diǎn) x0 可改寫為 0xx ??? ，.e??連續(xù)的 定義,)()( 0 e?? xfxf0( ) .f x x則 稱 在 點(diǎn) 連 續(xù)連續(xù)性的另外一種表達(dá)形式 . 定義 2 0( ) .f x x設(shè) 在 點(diǎn) 的 某 個(gè) 鄰 域 內(nèi) 有 定 義如果 0 ,x為 了 更 好 地 刻 劃 函 數(shù) 在 點(diǎn) 的 連 續(xù) 性 下 面 引 出,0xxx ???設(shè)).()()()( 0000 xfxxfxfxfyyy ?????????對(duì) 任意的 存在 當(dāng) 時(shí) 0,e ? 0,? ? 0 ,xx ???0 :x則 函 數(shù) 在 點(diǎn) 連 續(xù) 的 充 要 條 件 是)3(.0l i m 0 ???? yx應(yīng)的函數(shù) (在 y0 處 )的增量 . 0( ) ,x x y??這 里 我 們 稱 是 自 變 量 在 處 的 增 量 為 相xy0 0x xx ??0)( xfy ?x?y?為狄利克雷函數(shù) . 證 所以因?yàn)?,0lim,1)(,0)0(0 ??? ? xxDf x).0(0)(lim)(lim 00 fxxDxf xx ??? ??( ) 0 .f x x ?故 在 處 連 續(xù)注意 :上述極限式絕不能寫成 .0)(l i ml i m)(l i m 000 ?? ??? xDxxxD xxx例 1 ( ) ( ) 0 ,f x x D x x??證 明 在 處 連 續(xù) 其 中()Dx由上面的定義和例題應(yīng)該可以看出 : 函數(shù)在點(diǎn) x0 類似于左、右極限，下面引進(jìn)左、右連續(xù)的概念 . 要求這個(gè)極限值只能是函數(shù)在該點(diǎn)的函數(shù)值 . 極限存在是函數(shù)連續(xù)的一個(gè)必要條件 )， 而且還 x0 連續(xù) ， 那么它在點(diǎn) x0 必須要有極限 (這就是說 , 有極限與在點(diǎn) x0 連續(xù)是有區(qū)別的 . 首先 f (x) 在點(diǎn) 定義 3 00( ) ( )f x x U x?設(shè) 函 數(shù) 在 點(diǎn) 的 某 個(gè) 右 鄰 域) ) ,()(lim()()(lim 0000xfxfxfxf xxxx ?? ?? ??0( ) ( ) .f x x則 稱 在 點(diǎn) 右 左 連 續(xù)很明顯 , 由左、右極限與極限的關(guān)系以及連續(xù)函數(shù) 0 既是左連續(xù)，又是右連續(xù) . 點(diǎn) x 定理 0()f x x函 數(shù) 在 點(diǎn) 連 續(xù) 的 充 要 條 件 是 ：f 在 ))(( 0xU ?左鄰域 有定義，若 的定義可得： 例 2 討論函數(shù) 2, 0()2, 0xxfxxx????? ??? ?在 處 的 連 續(xù) 性解 因?yàn)? ?所 以 在 處 左 連 續(xù)又因?yàn)?0l im ( ) l im ( 2 ) 2 ( 0 ) ,xx f x x f???? ? ? ? ?00l im ( ) l im ( 2 ) 2 ( 0 ) ,xxf x x f????? ? ? ? ???00f x x所 以 在 處 不 右 連 續(xù) , 從 而 在 不 連 續(xù) .二、間斷點(diǎn)的分類 定義 4 00( ) ( ( ) )f x U x設(shè) 函 數(shù) 在 的 某 空 心 鄰 域 內(nèi) 有定義 .若 f 在點(diǎn) x0 無(wú)定義 ,或者在點(diǎn) x0有定義但卻 由此 ,根據(jù)函數(shù)極限與連續(xù)之間的聯(lián)系 , 如果 f 在 點(diǎn) x0 不連續(xù) , 則必出現(xiàn)下面兩種情況之一 : 或不連續(xù)點(diǎn) . 在該點(diǎn)不連續(xù) ,那么稱點(diǎn) x0 為函數(shù)的一個(gè)間斷點(diǎn) 00( i ) 。 的概念 。 客觀世界的許多現(xiàn)象和事物不僅是運(yùn)動(dòng)變化的，而且其運(yùn)動(dòng)變化的過程往往是連綿不斷的，這些連綿不斷發(fā)展變化的事物在量的方面的反映就是連續(xù)函數(shù)，連續(xù)函數(shù)就是刻畫變量連續(xù)變化的數(shù)學(xué)模型。 Chapt 4 函數(shù)的連續(xù)性 數(shù)學(xué)分析的研究對(duì)象是函數(shù)，主要是連續(xù)函數(shù) (在坐標(biāo)平面上的圖象是一條連綿不斷的曲線）。因此對(duì)函數(shù)連續(xù)性的討論是數(shù)學(xué)分析的一個(gè)重要內(nèi)容。 教學(xué)目標(biāo)： 。 . 167。f x x在 點(diǎn) 無(wú) 定 義 或 者 在 點(diǎn) 的 極 限 不 存 在等于 f (x0). 0( ii ) ,fx在 點(diǎn) 有 定 義 且 極 限 存 在 但 極 限 值 卻 不根據(jù)上面的分析 , 我們對(duì)間斷點(diǎn)進(jìn)行如下分類： 1. 可去間斷點(diǎn) : 若 0li m ( ) ,xx f x A? ? 存 在0fx而 在 點(diǎn)0, ( ) ,f x A?無(wú)定義 或者有定義但 0xf則 稱 是 的一個(gè)可去間斷點(diǎn) . 2. 跳 躍 間
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