【正文】 f x y f x y ???又由 f 對(duì) x 的連續(xù)關(guān)于 y 是一致的 , 故 2 0,??? 使02| | , ( , ) ,y y x y D?? ? ?當(dāng) 且 時(shí) 有0| ( , ) ( , ) | 2 .f x y f x y ???1 2 0 0m in { , } , | | , | |x x y y? ? ? ? ?? ? ? ? ?令 則當(dāng)( , ) ,x y D?且 時(shí) 又有0 0 0( , ) ( , ) ( , ) ( , )f x y f x y f x y f x y? ? ?0 0 0( , ) ( , ) 2 2 ,f x y f x y ? ? ?? ? ? ? ?這就證得 .fD在 上處處連續(xù)※ 連續(xù)函數(shù)的局部性質(zhì) 以及相應(yīng)的有理運(yùn)算的各個(gè)法則 . 下面只證明二元 若二元函數(shù)在某一點(diǎn)連續(xù) , 則與一元函數(shù)一樣 , 可以 證明它在這一點(diǎn)近旁具有局部有界性、局部保號(hào)性 復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性定理 . 定理 (復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性 ) 設(shè)函數(shù) ( , )u x y?? 和 義 , 并在點(diǎn) Q0 連續(xù) , 其中 0 0 0 0 0 0( , ) , ( , ) .u x y v x y????則復(fù)合函數(shù) ( , ) ( ( , ) , ( , ) )g x y f x y x y??? 在點(diǎn) P0 也 連續(xù) . 證 由 f 在點(diǎn) Q0 連續(xù)可知： 0 , 0 ,??? ? ? ? 使得當(dāng) ( , )v x y?? 在點(diǎn) 的某鄰域內(nèi)有 定義 , 并在 0 0 0( , )P x y點(diǎn) 連續(xù) 。f x y f x y L y y? ? ?(ii) 對(duì)其中一個(gè)變量 (x) 的連續(xù)關(guān)于另一個(gè)變量 (y) 是一致的 , 即 00, 0 , 0 ( , ,xx? ? ?? ? ? ? ? 只與 有關(guān)0) , | | , ( , ) ,y x x x y D?? ? ?而與 無(wú)關(guān) 當(dāng) 且 時(shí) 對(duì)一切0( , ) ( , ) .y f x y f x y ???恒有證 (i) 0 0 0 0( , ) . ( , ) ,x y D f x y x?? 因 在 連續(xù) 故任給1 0 10 , | | ,xx??? ? ? ?當(dāng) 時(shí) 有0,? ?0 0 0( , ) ( , ) 2 。 )P U P D??若 只要 , 就有 D ? 由上述定義知道 : 若 是 D 的孤立點(diǎn) ,則 必定是 0P 0P00lim ( ) ( ) . ( 2 )PPPDf P f P???0P f 的連續(xù)點(diǎn) . 若 是 D 的聚點(diǎn) , 則 f 關(guān)于集合 D 在點(diǎn) 連續(xù)等價(jià)于 0P如果 是 D 的聚點(diǎn) , 而 (2) 式不成立 (其含義與一元 0P函數(shù)的對(duì)應(yīng)情形相同 ), 則稱 是 f 的 不連續(xù)點(diǎn) (或 0P稱 間 斷點(diǎn) ). 特別當(dāng) (2) 式左邊極限存在 , 但不等于 0()fP 0P 是 f 的 可去間斷點(diǎn) . 時(shí) , 函數(shù) ? ?222, ( , ) ( , ) | , 0 ,( , ), ( , ) ( 0, 0 ) ,1xyx y x y y m x xxyf x ymxym?? ? ??? ?? ?? ?? ??上，這時(shí)由于 2( , ) ( 0 , 0 )li m ( , ) ( 0, 0 ) ,1xyy m xmf x y fm?????其中 m 為固定實(shí)數(shù) , 亦即函數(shù) f 只定義在 y m x?因此 f 在原點(diǎn)沿著直線 是連續(xù)的． y m x?22, ( , ) ( 0 , 0 ) ,( , ) ( 0 )0 , ( , ) ( 0 , 0 ) ,xxyf x y xyxy?????????? ??在坐標(biāo)原點(diǎn)的連續(xù)性． 22( c os , si n ) ( c os ) 0,f r r r r? ? ?? ? ???? ? ?( , ) ( 0 , 0 )li m ( , ) 0 ( 0, 0 ) ,xy f x y f? ??因此 此時(shí) f 在原點(diǎn)連 例 1 討論函數(shù) 解 由于當(dāng) 20r? ??且 時(shí),( , ) ( 0 ,0 )2 , li m ( , )xy f x y? ?? 時(shí)續(xù) 。 而它們的局部性質(zhì)與在有 界閉域上的 整體性質(zhì) , 二者完全相同 . 167。 )P x y U P ??則 使得當(dāng) 時(shí) , 有 | ( , ) | . ( 1 )f x y A ???00 | | ( 2 )xx ?? ? ?的 x, 存在極限 另由存在累次極限之假設(shè) , 對(duì)任一滿足不等式 0l i m ( , ) ( ) . ( 3 )yy f x y x?? ?| ( ) | . ( 4 )xA?? ??0yy?回到不等式 (1), 讓其中 , 由 (3) 可得 故由 (2), (4) 兩式 , 證得 0l i m ( )xx xA?? ?, 即 0 0 0 0( , ) ( , )l i m l i m ( , ) l i m ( , ) .x x y y x y x yf x y f x y A? ? ???由這個(gè)定理立即導(dǎo)出如下兩個(gè)便于應(yīng)用的推論 . 00l i m l i m ( , )x x y y f x y??00l i m l i m ( , )y y x x f x y??, 推論 1 若重極限 和累次極限 00( , ) ( , )l i m ( , )x y x y f x y?都存在 , 則三者必定相等 . 推論 2 若累次極限 0 0 0 0li m li m ( , ) li m li m ( , )x x y y y y x xf x y f x y? ? ? ?與都存在但不相等 , 則重極限 00( , ) ( , )l i m ( , )x y x y f x y? 必定 不存在 . 注意 : (i) 定理 保證了在重極限與一個(gè)累次 極限都存在時(shí) , 它們必相等 . 但對(duì)另一個(gè)累次極限的 存在性卻得不出什么結(jié)論 , 對(duì)此只需考察本節(jié)習(xí)題 之 2(5). (ii) 推論 1 給出了累次極限次序可交換的一個(gè)充分 條件 . (iii) 推論 2 可被用來(lái)否定重極限的存在性 . 例 10 求證 證 01si n)(lim 222200????? yxyxyx01si n)( 2222 ??? yxyx2222 1si nyxyx ???? 22 yx ??,0?? ? ,?? ??當(dāng) 時(shí)， ?????? 22 )0()0(0 yx????? 01si n)( 2222 yxyx 原結(jié)論成立． 例 11 求極限 .)s i n (lim22200 yxyxyx ???解 22200)si n(limyxyxyx ???,)s i n (lim 2222200 yxyxyxyxyx ?????其中 yxyxyx 2200)si n(lim?? uuusinlim0? ,1?222yxyx? x21? ,00?? ?? ?x .0)s i n (lim 22200????? yxyxyxyxu 2?例 12 證明 不存在． 證 26300l i myxyxyx ???取 ,3kxy ?26300limyxyxyx ??? 6263303limxkxkxxkxyx ????? ,1 2kk??其值隨 k的不同而變化， 故極限不存在． 不存在 . 觀察 26300l i myxyxyx ??? ,263圖形yx yxz ?? 若點(diǎn) ),( yx 沿著無(wú)數(shù)多條平面曲線趨向于點(diǎn) ),(00yx 時(shí)，函數(shù) ),( yxf 都趨向于 A ，能否斷定 Ayxfyxyx??),(l i m),(),( 00？思考題 思考題解答 不能 . 例 ,)(),( 24223yxyxyxf?? )0,0(),( ?yx取 ,kxy ? 2442223)(),( xkxxkxkxxf???00?? ?? ?x但是 不存在 . ),(lim)0,0(),( yxfyx ?原因?yàn)槿羧? ,2yx ? 244262)(),( yyyyyyf??.41?一、 填空題 :1 、 若yxxyyxyxf t a n),(22??? , 則 ),( tytxf = ____ .2 、 若xyyxyxf2),(22?? , 則 ?? )3,2(f ____ _ ___ _ _ 。 ) , ( , ) ,P x y U P D f x y M?? ? ?都有0PP? ??則稱 f 在 D 上當(dāng) 時(shí) , 有 非正常極限 , 記 作 00( , ) ( , )l i m ( , ) ,x y x y f x y? ? ? ?( , )f x y ? ? ?下面再給出當(dāng) 時(shí) , 0 0 0( , ) ( , )P x y P x y?或 0l i m ( ) .PP fP? ? ? ?仿此可類似地定義： 00li m ( ) li m ( ) .P P P Pf P f P?? ? ? ? ? ?與例 6 設(shè) 221( , ) 23f x y xy? ?. 證明 ( , ) ( 0 ,0 )li m ( , ) .xy f x y? ? ? ?證 此函數(shù)的圖象見圖 16 16. 2 2 2 22 3 4 ( )x y x y? ? ?0,M??因 , 故對(duì) 只需取 2211,022 xyMM? ? ? ? ?當(dāng) 時(shí)，就有2222112 3 , .23x y MM x y? ? ??即這就證得結(jié)果． 二元函數(shù)極限的四則法則與一元函數(shù)極限相仿 , 特 同 , 這里不再一一敘述 . ( , )f x y ()fP看作點(diǎn)函數(shù) 別把 時(shí) , 相應(yīng)的證法也相 二、累次極限 是以任何方式趨于 這種極限也稱為 重 00( , ) ,xy 的極限 . 下面要考察 x 與 y 依一定的先后順序 , 相繼趨 在上面討論的 00( , ) ( , )l i m ( , )x y x y f x y? 中 , 自變量 ( , )xy0x于 與 時(shí) f 的極限 , 這種極限稱為 累次極限 . 0y定義 3 ?( , ) , ( , ) ,f x y x y D D x y設(shè) 在 軸、 軸上的投??0 0 0, , . ( ) ,x y X Y y Y y y分別是 的聚點(diǎn) 若對(duì)每一個(gè),XY影分別為 、 即{ | ( , ) } , { | ( , ) } ,X x x y D Y y x y D? ? ? ?0( ) l i m ( , ) 。 2 二元函數(shù)的極限 與一元函數(shù)的極限相類似， 二元函數(shù)的極限 同樣是二元函數(shù)微積分的基礎(chǔ) . 但因自變量個(gè)數(shù) 的增多 , 導(dǎo)致多元函數(shù)的極限有重極限與累次極 限兩種形式 , 而累次極限是一元函數(shù)情 形下所不 會(huì)出現(xiàn)的 . 一、二元函數(shù)的極限 f 2RD ? 0P定義 1 設(shè)二元函數(shù) 定義在 上 , 為 D 的 一個(gè)聚點(diǎn) , A 是一實(shí)數(shù) . 若 0 , 0 ,??? ? ? ? 使得當(dāng) 0( 。 n 個(gè) 實(shí)數(shù) 12, , , nx x x是這個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo) . 設(shè) E 為 Rn 中的點(diǎn)集 , 若有某個(gè)對(duì)應(yīng)法則 f , 使 E 中每一點(diǎn) 12( , , , )nP x x x都有惟一的一個(gè)實(shí)數(shù) y