數(shù)學(xué)分析數(shù)列極限的概念(參考版)
2024-09-04 09:06本頁(yè)面
【正文】 21kkka k?? ? ? ?? ? ? ? ??返回 后頁(yè) 前頁(yè) ？ 5的證法 ,證明： {} na若 為 正 有 界 數(shù) 列 ， 則12li m s u p { } .n n n nnnn a a a a?? ? ? ? ?復(fù)習(xí)思考題 。l i ml i m nnnn bcbc ???? ?(3) ,0lim,0 ???? nnn bb若也收斂，且則??????nnba.limlimlim nnnnnnnbaba???????也都是收斂數(shù)列 , 且有 }{,}{ nnnn baba ??返回 后頁(yè) 前頁(yè) ,nN?當(dāng) 時(shí) | | , | | ,nna a b b??? ? ? ?有 所以 ? ? ,2|||||| ????????? bbaababa nnnn?由 的任意性 , 得到 ? ? .l i ml i ml i m nnnnnnn bababa ?????? ?????證明 (2) ,}{ 收斂因 nb ,}{ 有界故 nb .|| Mb n ?設(shè)對(duì)于任意 0 , ,nN? ??當(dāng) 時(shí) 有| | , | |1 | | 1nna a b bMa??? ? ? ??? ，證明 (1) lim , lim ,nnnna a b b? ? ? ???設(shè) 0 , ,N??? 存 在返回 后頁(yè) 前頁(yè) ,2|||||||| ?????? bbaaab nnn?由 的任意性 , 證得 .l i ml i ml i m nnnnnnn bababa ?????? ??證明 (3) ,1nnnnbaba ??因?yàn)?由 (2), 只要證明 .li m11li mnnnn bb ?????,0?b由于 據(jù)保號(hào)性 , , 11 時(shí)當(dāng) NnN ??|||| abababbaabba nnnnnn ?????于是 返回 后頁(yè) 前頁(yè) ||| | .2nbb ?又因?yàn)? 22lim , , ,nn b b N n N?? ? ? ?當(dāng) 時(shí)時(shí)，當(dāng)取 NnNNN ?? },m a x{ 2121 1 2nnnnbb bbb b b b b??? ? ? ? ? ，即 11li m .nnbb???limlim .limnnnn nnnaabb???????所 以,22?bbb n ??返回 后頁(yè) 前頁(yè) 七、一些例子 例 3 用四則運(yùn)算法則計(jì)算 11 1 011 1 0lim ,mmmmkknkka n a n a n ab n b n b n b??????? ? ? ?? ? ? ?, 0 .mkm k a b??其 中(1) 當(dāng) m=k 時(shí) , 有 ? ?1li m 0 0 ,n n ? ??? ??依 據(jù) 分別得出 : 解 返回 后頁(yè) 前頁(yè) mmmmmmmmnnbnbnbbnananaa111111lim01110111?????????????????.mmba?11 1 011 1 0limmmmmkknkka n a n a n ab n b n b n b??????? ? ? ?? ? ? ?(2) 當(dāng) m k 時(shí) , 有 返回 后頁(yè) 前頁(yè) 1 1 011 1 011 1 11lim lim1 1 1mm mmkmnnkk kka a a an nnn b b b bn nn? ??? ? ? ?? ?? ? ? ???? ? ? ?.00 ???kmba11 1 011 1 0limmmmmkknkka n a n a n ab n b n b n b??????? ? ? ?? ? ? ?,0, .mmamkbmk????? ??，原 式 =所以 返回 后頁(yè) 前頁(yè) 例 4 0, li m ,nnna a a????設(shè) lim .naa?求 證證 0,na ?由于 根據(jù)極限的保不等式性 , 有 .0?a( 1 ) 0 ,a ? 時(shí) 有| 0 | 。naa ?? ?2 .nn N b a ?? ? ?當(dāng) 時(shí), ,}ma x { 2,1,0 NNNN ?取.?? ??????? abcaaNn nnn時(shí)，當(dāng) 這就證得 滿足 : 存在 , 00 nnn bcaNnN ??? 有時(shí)當(dāng) 則 返回 后頁(yè) 前頁(yè) 例 2 求數(shù)列 }{ n n 的極限 . ? ? ,22 )1()1( 2 ????? nhnnhn nnn,1121lim1lim ?????????? ???? nnn所以由迫斂性，求得 .1lim ???nn n.lim ac nn ???.12111 ?????? nhn nn故 又因 解 1 0,nnhn? ? ?設(shè)則有 返回 后頁(yè) 前頁(yè) 六、四則運(yùn)算法則 定理 為收斂數(shù)列，與若 }{}{ nn
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