【正文】 )(l i m)1( 不存在如果xxfx ??,])([lim,)(lim)2( 不存在但存在 axxfax xfxx??????.)( 不存在斜漸近線可以斷定 xfy ?例 10 .1 )3)(2(2)( 的漸近線求 ? ??? x xxxf解 ).,1()1,(: ???? ?D??? )(lim 1 xfx? ,?? ??? )(l i m1 xfx ,??.1 是曲線的垂直漸近線?? x??? xxfx)(lim?又)1()3)(2(2lim????? xxxxx ,2?]2)1( )3)(2(2[lim xxx xxx?? ????1)1(2)3)(2(2lim???????? xxxxxx,4?.42 是曲線的一條斜漸近線??? xy的兩條漸近線如圖1 )3)(2(2)( ? ??? x xxxf例 11 求曲線 3223??? xxxy 的漸近線 . .)(l i m,)(l i m 31 ???? ??? xfxf xx并且 f (x) 在其他點處均有有限極限，所以求得垂 .3,1 ??? xx解 易見,)1)(3(3??? xxx32)( 23??? xxxxf設(shè)直漸近線為 : ,1)1)(3(l i m)(l i m2???????? xxxxxfxx又 。2|)(| 2 ?xf............。)(lim,)(lim,)(lim ???????? ????????? xfxfxf xxx.)(l im,)(l im,)(l im ???????? ?????? xfxfxf xxx0()f x x x?相 應(yīng) 地 稱 為 時 的 正無窮大量和負無 類似地可以定義如下的無窮大量 : 窮大量 . 例 3 .1l i m 20 ???? xx證明證 ,||0,1,0 時當(dāng)取 ?? ????? xGG ,12 Gx ?.1lim 20???? xx所以例 4 當(dāng) a 1 時，求證 .l im ?????? xx a這就證明了 .l i m ?????? xx axalo g函數(shù) 的嚴格遞增性， ,Ga x ?當(dāng) x M 時， 證 G 0 ( 不妨設(shè) G 1 ), ,l og GM a?令 由對數(shù) ?,0 Gaa nn ?? .lim ????? nn a即例 6 設(shè) 遞增，無上界 . 證明 .lim ????? nn a}{ na證 因為 無上界，所以任給 G 0，存在 }{ na ,0n.0 Ga n ? 又因 遞增 ， 使 }{ na 故當(dāng) 時，有 0nn?例 5 0l i m l n .x x?? ? ? ?證 明證 0 , 0 , 0 ,Gx ??? ? ? ? ? ?對 要 找 到 使 得ln .xG??ln e 0 .Gx ? ??由 于 單 調(diào) 增 , 只 要 令 即 可從無窮大量的定義與例 例 4和例 5可以看出： 無窮大量不是很大的一個數(shù)，而是具有非正常的 極限 . 很明顯，若 ,)(l im0??? xfxx 那么 f (x) 在 x0 的任何一個鄰域內(nèi)無界 . 但值得注意的是 : 若 f (x) 無界量 ) , 并不能保證 f (x) 是 x ? x0 的無窮大量 . 在 x0 的任何鄰域內(nèi)無界 (稱 f (x) 是 x ? x0 時的 π2 π ,2 π , 1 , 2 , ,2nnx n y n n? ? ? ?因而 f (x)不是 x?? 時的無窮大量 . 有.0)(,)( ??? nn yfxf例如： xxxf sin)( ? 在 ? 的任何鄰域內(nèi)無界， 卻不是 x ? ? 時的無窮大量 . 事實上 , 對 xxy 1sin1?.,1si n1,0,但不是無窮大是一個無界變量時當(dāng)例如xxyx ??),3,2,1,0(221)1( ?????? kkx k取,22)( ???? kxy k .)(, Mxyk k ?充分大時當(dāng)),3,2,1,0(2 1)2( ??????? kkx k取, ??? ?kxk 充分大時當(dāng)?????? kkxy k 2s i n2)(但 .0 M?? 不是無窮大． 無界， 的高階是關(guān)于則稱若 )()(,0)( )(0xfxgxg xfxx??無窮大量 . 使和正數(shù)若存在正數(shù) ,.2 ?KL,),( 0 時?xUx ??,)( )( Kxg xfL ??則稱 f (x) 與 g (x) 是當(dāng) x ? x0 時的一個同階無窮 大量 . 兩個無窮大量也可以定義階的比較 . 設(shè) .)(l i m)(l i m00??? ?? xgxf xxxx的等價無窮大量， 記為.,)(~)( 0xxxgxf ?下述定理反映了無窮小量與無窮大量之間的關(guān)系 , 直觀地說：無窮大量與無窮小量構(gòu)成倒數(shù)關(guān)系 . 定理 (1) 若 f 為 x?x0 時的無窮小量 , 且不等于零 , 則 為f1 .0 時的無窮大量xx ?是與則稱若 )()(,1)( )(0xgxfxg xfxx??當(dāng) x ? x0 時 證 這里僅證明定理的 (1) . 對于任意正數(shù) G , 因為 有時當(dāng) ,||0 0 ???? xx,)(1,1|)(| GxfGxf ?? 即這就證明了 .)(1lim0??? xfxx時為則時的無窮大量為若 00 1,)2( xxgxxg ??的無窮小量 . f 為 x ? x0 時的無窮小量， 所以存在 ,0?? 使得 .)()(lim0??? xgxfxx.2 |||)(| bxf ?又因為 ,)(l i m0??? xgxx 所以對于任意正數(shù) G，存在 ,||0,0 202 時當(dāng) ?? ???? xx.|| 2|)(| Gbxg ?證 由極限的保號性 , ,0)(lim0??? bxfxx因為 存在有時當(dāng) ,||0 10 ???? xx,01 ??例 7 ,)(l im,0)(l im00???? ?? xgbxf xxxx設(shè) 求證 有時當(dāng)令 ,||0,},m in { 021 ???? ???? xx,|| 22 |||)()(| GGbbxgxf ????.)()(lim0??? xgxfxx注 對于函數(shù) 有時當(dāng) ,0,1)(,)( ??? xxxgxxf.1)()(lim 0 ???? xgxfx這就說明了當(dāng) b = 0 時結(jié)論不一定成立 . 即 例 8 存在證明時的無界量為設(shè) :.)( 0xxxf ?使得, 00 xxxx nn ??都存在,0?? ? 使得時當(dāng) ,||0, 0 ??? ??? xxx.|)(| Gxf ??,1||0,1,1 01111 時當(dāng)對 ?????? xxxG ?。( 00 xUxUx ?? ?? ?G 0, 存在 ? 0，使得當(dāng) 則稱函數(shù) f (x) 當(dāng) x? x0 時為無窮大量 , 記作 時 ,有 三、無窮大量 | ( ) | ( ) ( ) ,f x G f x G f x G? ? ? ?若 定 義 中 的 改 為 或記作 00li m ( ) li m ( ) .x x x xf x f x?? ? ?? ? ??或。)0(~a rc ta n ,1a rc ta nlim 0???xxxx xx所以因為則稱若 ,1)( )(lim .40?? xgxfxx 時的為與 0 )( )( xxxgxf ?等價無窮小量，記作 .0)(21~c o s1 2 ?? xxx同樣還有根據(jù)等價無窮小量的定義，顯然有如下性質(zhì)： ),( )(~)( ),( )(~)( 00 xxxhxgxxxgxf ??若.1)( )(lim)( )(lim)( )(lim 000?????? xhxgxgxfxhxfxxxxxx前面討論了無窮小量階的比較 , 值得注意的是 , 并 .)( )(~)( 0xxxhxf ?那么 這是因為 不是任何兩個無窮小量都可作階的比較 . 例如 xxsin 與 21x 均為 ???x 時的無窮小量 , 卻不能 按照前面討論的方式進行階的比較 . 這是因為 )(s i n1s i n2???? xxxxxx是一個無界量，并且 (2 π ) s in ( 2 π ) 0 .nn ?下面介紹一個非常有用的定理： 定理 設(shè)函數(shù) f, g, h 在 )( 0xU ? 內(nèi)有定義 , 且 .)()(~)( 0xxxgxf ?。 則稱 與 是 0xx ? 時的同階無窮小量 . )(xf )(xg3. 若兩個無窮小量在 )( 0xU ? 內(nèi)滿足 : ,)( )( Lxg xf ?則記 ).())(()( 0xxxgOxf ??當(dāng) 0?x 時， x 與 ?????? ? xx 1s in2 是同階無窮小量 . ,)( 0 時的有界量時為 xxxf ?我們記 .)()1()( 0xxOxf ??應(yīng)當(dāng)注意，若 )(,)( xgxf 為 0xx ? 時的同階無 窮小量，當(dāng)然有 .)())(()( 0xxxgOxf ??反之不一定成立 , 例如 .)0()(1si n ?? xxOxx但是這兩個無窮小量不是同階的 . 注意： 這里的 ))(()())(()( xgOxfxgoxf ?? 與)( 0xx ? 和通常的等式是不同的，這兩個式子的 右邊，本質(zhì)上只是表示一類函數(shù)．例如 ))(( xgo表示 的所有高階無窮小量的集合． )(xg)( 0xx ?.)( )(~)( 0xxxgxf ?。)0()1(s i n ?? xox例如： 。 5 無窮大量與無窮小量 由于 等同 因 0lim [ ( ) ] 0,xx f x A? ??0li m ( )xx f x A? ?相同的 . 所以 “ 數(shù)學(xué)分析 ” 也稱為 “ 無窮小 分析 ” . 此函數(shù)極限的性質(zhì)與無窮小量的性質(zhì)在本質(zhì)上是 四、漸近線 三、無窮大量 一、無窮小量 一、無窮小量 定義 1 內(nèi)有定義，的某鄰域在點設(shè) )( 00 xUxf ?? ? ,0l i m0?? xfxx若 .0 時的無窮小量為則稱 xxf ?為類似地可以分別定義 f.時的無窮小量和有界量.0 時的有界量xx ?0fx若 在 點 的 某 個 空 心 鄰 域 內(nèi) 有 界 ，則稱 f 為 , 00 ???? ?? xxxxx ?????? xx ,顯然，無窮小量是有界量 .而有界量不一定是無窮 時的無窮小量；為 11 ?? xx例如 : 對于無窮小量與有界量，有如下關(guān)系： ；時的無窮小量為 ??? 11 2 xxsin 。 4 兩個重要的極限 0sinlim 1xxx? ?一、 二、 1l i m 1 exx x??????????如圖，單位圓中,A OCOA BA OB SSS ?? ?? 扇形x y o B C A x 1 1 0s inlim 1xxx? ?一、 時，故當(dāng) a n2121s i n21.,. ????? xxxxei時，；當(dāng)有 02tans i n ????? xxxx ?.t a n)t a n(s i ns i n20 xxxxxx ???????????? ）（時，得有 ?. i n2 時成立等號僅當(dāng)時，故當(dāng) ???? xxxxx ?.21s i n2 xxx ???? ?? 時，又除之得用時且當(dāng) xxxxxx s i a ns