【正文】 1|)(| 1 ?xf.)(lim ???? nn xf證 ，為無界量時因為 )(0 xfxx ?所以 ,0??G。)0()(c os1 ??? xxox0()f x x x?當(dāng) 為 時的無窮小量時，我們記2. 若存在正數(shù) K 和 L，使得在 x0 的某一空心鄰域 )( 0xU ? 內(nèi)，有 ,)()( KxgxfL ??根據(jù)函數(shù)極限的保號性，特別當(dāng) 0)( )(lim0???cxg xfxx時，這兩個無窮小量一定是同階的 . 例如 : ,0 時當(dāng) ?x xcos1 ? 與 2x 是同階無窮小量 。|)(|,0, 022022 ?? ?????? Axfxxx},m i n{ 01 xxn nn ?? ???,),( 0 ?? xUx ???存在 .|)(| 0?? ?? Axf使,0???,0?這樣就得到一列嚴(yán)格遞減的數(shù)列 ),(}{ 0 ?xUx n ???,|)(|, 00 ???? Axfxx nn 但這與條件矛盾 . 。)(lim0Axfxx ??? .)(l i m0Axfxx ???.)(,0)(lim?????????AxfAxf恒有從此時刻以后時刻過 程 時 刻 從此時刻以后 ??n ??x ???x ???xNNn ? Nx ? Nx ? Nx ??)(xf ??? Axf )(0xx ?????? 00 xx?? 0xx ?? 0xx???? 00 xx 00 ????? xx過 程 時 刻 從此時刻以后 )(xf ??? Axf )(思考題 試問函數(shù)????????????0,50,100,1si n)(2xxxxxxxf 在 0?x 處的左、右極限是否存在？當(dāng) 0?x 時， )( xf 的極限是否存在？思考題解答 ??? )(l i m0 xfx ,5)5(lim 20 ???? xx 左極限存在 , ??? )(l i m0 xfx ,01s i nl i m0 ??? xxx 右極限存在 , ??? )(lim 0 xfx? )(lim0 xfx ?? )(lim 0 xfx ?? 不存在 . ._ _ _ _ _ _1312 22?????????yzxzxxyx，必有時，只要取，問當(dāng)時，、當(dāng).___421 2????????yxxyx，必有只要時，取，問當(dāng)時，、當(dāng)??證明：二、用函數(shù)極限的定義一、填空題 : 0s inlim221241lim1221?????????xxxxxx、練 習(xí) 題 一、 1 、 ； 2 、 397 . 練習(xí)題答案 作業(yè) 習(xí)題 6 167。xx xx? ?0 0( 2 ) l i m c os c os .xx xx? ?.0 時成立上式中的等號僅在 ?xπ ,2x ?因 為 當(dāng) 時 ,0,1s i n ??? xxx 故對一切R.,s i n ?? xxx.s in xx ? ,sin x 故均是奇函數(shù) ,x又因為有000si n si n 2 c os si n22x x x xxx ????對于任意正數(shù) ,?? ?取 ,0 0 時當(dāng) ???? xx,?0 ,xx ?? ? ?.s i ns i nl i m 00xxxx ??同理可證 : .c o sc o slim 00xxxx ??所以例 9 證明： ).1||(11lim 02020????? xxxxx證 因為 22 000 220| || |1111x x x xxxxx??? ? ? ?? ? ?則 ,0??? ,21 20x?? ??取00 | |xx ?? ? ?當(dāng) 時，22 00 202 | || 1 1 | .1xxxxx??? ? ? ? ??這就證明了所需的結(jié)論 . 0202 | | ,1xxx???三、單側(cè)極限 ，時在考慮 )(lim0xfxx ?x 既可以從 x0 )( 0xx ?的左側(cè) 但在某些時 .)( 000 xxxx 趨向于的右側(cè)又可以從 ?定義 5 ,)),((),()( 00 有定義在設(shè) ?? xUxUxf ?? ?? A 為常 數(shù) . 若對于任意正數(shù) ? , ,）（存在正數(shù) ??? ?在定義區(qū)間的端點和分段函數(shù)的分界點等 . 候 ,我們僅需 (僅能 )在 x0的某一側(cè)來考慮 , 比如函數(shù) | | ,f x A ???（）則稱 A 為函數(shù) f 當(dāng) 00()x x x x????時的右 (左 ) .))(lim()(lim00AxfAxf xxxx ?? ?? ??右極限與左極限統(tǒng)稱為單側(cè)極限 , 為了方便起見， ).(lim)0(,)(lim)0(00 00xfxfxfxf xxxx ?? ?? ????時，有當(dāng) )0(0 00 ?? ?????? xxxx極限 ,記作 有時記 例 10 討論函數(shù) .11 2 處的單側(cè)極限在 ??? xx解 因為 ,1|| ?x ),1(2)1()1(1 2 xxxx ??????.|01| 2 ???? x.01lim 21 ???? xx這就證明了.01l i m 21 ????? xx同理可證所以 有時當(dāng) ,11 ??? x? ,2,02??? ??? 取由定義 ，我們不難得到： 注 試比較定理 與定理 180。?? ? 時當(dāng) )39。)(lim Axfx ???? 。11l i m0 ????????? xxx解 由取整函數(shù)的性質(zhì)， .1111 xxx ????????? 0?x當(dāng),11lim)1(lim 00 ??? ?? ?? xx x由于時 , 有 ,111 ????????? xxx同理得 ,111 xxx ????????? 于是求得 .11l i m0????????? xxx.11lim0???????? xxx例 3 求極限 π4lim ( t a n 1 ) .xxx??π π44πsi nsi n 4l i m t an l i m 1 ,πc os c os4xxxxx??? ? ?解 因為 所以 π4π πl(wèi)i m ( t an 1 ) 1 1 1 .44x xx? ? ? ? ? ? ?例 4 .)1(1lim0 ??? aaxx求證有時當(dāng) ,Nn ? ,1111?? ????? ? nn aa特別又有 .1111?? ????? ? NN aa,1N??取 ,|0|0 時當(dāng) ???? x,1111?? ?????? ? NxN aaa.1l im 0 得證即 ?? xx a證 ,11lim,1lim ?????? nnnn aa因為 所以 ,0 N??? ?作業(yè) 習(xí)題 7 一、歸結(jié)原則 167。 5 無窮大量與無窮小量 由于 等同 因 0lim [ ( ) ] 0,xx f x A? ??0li m ( )xx f x A? ?相同的 . 所以 “ 數(shù)學(xué)分析 ” 也稱為 “ 無窮小 分析 ” . 此函數(shù)極限的性質(zhì)與無窮小量的性質(zhì)在本質(zhì)上是 四、漸近線 三、無窮大量 一、無窮小量 一、無窮小量 定義 1 內(nèi)有定義，的某鄰域在點設(shè) )( 00 xUxf ?? ? ,0l i m0?? xfxx若 .0 時的無窮小量為則稱 xxf ?為類似地可以分別定義 f.時的無窮小量和有界量.0 時的有界量xx ?0fx若 在 點 的 某 個 空 心 鄰 域 內(nèi) 有 界 ，則稱 f 為 , 00 ???? ?? xxxxx ?????? xx ,顯然，無窮小量是有界量 .而有界量不一定是無窮 時的無窮小量；為 11 ?? xx例如 : 對于無窮小量與有界量，有如下關(guān)系： ；時的無窮小量為 ??? 11 2 xxsin 。( 00 xUxUx ?? ?? ?G 0, 存在 ? 0，使得當(dāng) 則稱函數(shù) f (x) 當(dāng) x? x0 時為無窮大量 , 記作 時 ,有 三、無窮大量 | ( ) | ( ) ( ) ,f x G f x G f x G? ? ? ?若 定 義 中 的 改 為 或記作 00li m ( ) li m ( ) .x x x xf x f x?? ? ?? ? ??或。)(l i m)1( 不存在如果xxfx ??,])([lim,)(lim)2( 不存在但存在 axxfax xfxx??????.)( 不存在斜漸近線可以斷定 xfy ?例 10 .1 )3)(2(2)( 的漸近線求 ? ??? x xxxf解 ).,1()1,(: ???? ?D??? )(lim 1 xfx? ,?? ??? )(l i m1 xfx ,??.1 是曲線的垂直漸近線?? x??? xxfx)(lim?又)1()3)(2(2lim????? xxxxx ,2?]2)1( )3)(2(2[lim xxx xxx?? ????1)1(2)3)(2(2lim???????? xxxxxx,4?.42 是曲線的一條斜漸近線??? xy的兩條漸近線如圖1 )3)(2(2)( ? ??? x xxxf例 11 求曲線 3223??? xxxy 的漸近線 . .)(l i m,)(l i m 31 ???? ??? xfxf xx并且 f (x) 在其他點處均有有限極限，所以求得垂 .3,1 ??? xx解 易見,)1)(3(3??? xxx32)( 23??? xxxxf設(shè)直漸近線為 : ,1)1)(3(l i m)(l i m2???????? xxxxxfxx又 。)0(~a rc ta n ,1a rc ta nlim 0???xxxx xx所以因為則稱若 ,1)( )(lim .40?? xgxfxx 時的為與 0 )( )( xxxgxf ?等價無窮小量，記作 .0)(21~c o s1 2 ?? xxx同樣還有根據(jù)等價無窮小量的定義，顯然有如下性質(zhì)： ),( )(~)( ),( )(~)( 00 xxxhxgxxxgxf ??若.1)( )(lim)( )(lim)( )(lim 000?????? xhxgxgxfxhxfxxxxxx前面討論了無窮小量階的比較 , 值得注意的是 , 并 .)( )(~)( 0xxxhxf ?那么 這是因為 不是任何兩個無窮小量都可作階的比較 . 例如 xxsin 與 21x 均為 ???x 時的無窮小量 , 卻不能 按照前面討論的方式進(jìn)行階的比較 . 這是因為 )(s i n1s i n2???? xxxxxx是一個無界量，并且 (2 π ) s in ( 2 π ) 0 .nn ?下面介紹一個非常有用的定理： 定理 設(shè)函數(shù) f, g, h 在 )( 0xU ? 內(nèi)有定義 , 且 .)()(~)( 0xxxgxf ?