【正文】 2 一致收斂函數(shù)列與函數(shù)項級數(shù)的性質 定理 ( 極限交換定理 ) 設函數(shù)列 {}nf 在 00( , ) ( , )a x x b()fx上一致收斂于 , 且對每個 n, 0l i m ( ) ,nnxx f x a? ?lim nn a則和??0li m ( ) .xx fx? 均存在且相等即 00l i m l i m ( ) l i m l i m ( ) . ( 1 )nnx x n n x xf x f x? ? ? ? ? ??{}na 0?? {}nf證 先證 是收斂數(shù)列 . 對任意 , 由于 一 致收斂 , 故存在正整數(shù) N, 當 nN 及任意正整數(shù) p, 對一切 00( , ) ( , )x a x x b? 有 | ( ) ( ) | .n n pf x f x ????從而 0| | l i m | ( ) ( ) | .n n p n n pxxa a f x f x ????? ? ? ?{}na ?? ?l i m ,nn aA設于是由柯西準則可知 是收斂數(shù)列 , 即 0l i m l i m ( ) ,nn x x f x A? ? ? ?下面證明 00l i m ( ) l i m l i m ( ) .nx x x x nf x f x A? ? ? ???注意到 | ( ) |f x A?1 1 1 1| ( ) ( ) | | ( ) | | |N N N Nf x f x f x a a A? ? ? ?? ? ? ? ? ?只需證明不等式右邊的每一項都可以小于事先給定 的任意正數(shù)即可 . ， , 因此對任 ()nfx ()fx na A由于 一致收斂于 收斂于 | ( ) ( ) | | |33nnf x f x a A??? ? ? ?和同時成立 . 特別當 1nN??時 , 有 , 有 0( , )xb0?意 ? nN?, 存在正數(shù) , 當 時 , 對任意 0( , )x a x?N??? ? ? ?11| ( ) ( ) | | |33NNf x f x a A??和??? ?0 11l i m ( ) ,NNxx f x a0? ?又因為 故存在 , 當 00 | |xx ?? ? ?時 ,也有 11| ( ) | .3NNf x a?????0, 0 ,x x x ?? ? ?這樣 當 滿足 時? ? ?? ? ? ? ?1 1 1| ( ) | | ( ) ( ) | | ( ) |N N Nf x A f x f x f x a?? ? ? ? ? ?1| | ,333NaA??? ?這就證明了 ? ?0l i m ( ) .xx f x A, ( ) ( , )nf x a b類似地 若 在 lim ( )nxa fx??上一致收斂 , 且 存在 , 則有 ??? ? ? ??? ?l i m l i m ( ) l i m l i m ( ) 。 他還是一位杰出的教育家，一生培養(yǎng)了大批有成就的數(shù)學人才，其中著名的有柯瓦列夫斯卡婭、施瓦茲、米塔 列夫勒、朔特基、富克斯等。 1815年 10月 31日生于德國威斯特伐利亞小村落奧斯滕費爾德 ,1897年 2月 19日卒于柏林。 Chapt 13 函數(shù)列與函數(shù)項級數(shù) 教學目標： 1. 熟練掌握函數(shù)列的一致收斂性； 2. 掌握一致收斂函數(shù)列與函數(shù)項級數(shù)的性質 . 對于一般項是函數(shù)的無窮級數(shù)，其收斂性要比數(shù)項級數(shù)復雜得多，特別是有關一致收斂的內(nèi)容就更為豐富，它在理論和應用上有著重要的地位 . 167。曾在波恩大學學習法律和財政 ,1838年轉學數(shù)學。 例 10 函數(shù)項級數(shù) 22sin c o s,nx nxnn??( , ) ( , )x在 上一致收斂. 因為對一切 有? ? ? ? ? ? ? ? ?2 2 2 2si n 1 c os 1,n x n xn n n n??21 .n?而正項級數(shù) 是收斂的當級數(shù) ( ) [ , ]nnu x M a b與級數(shù) 在區(qū)間??上成立關 nM? [ , ]ab系式 (13)時 , 則稱級數(shù) 在區(qū)間 上優(yōu)于級 ()nux? ()nnM u x為??數(shù) , 或稱 的 優(yōu)級數(shù) . 優(yōu)級 數(shù)判別法也稱為 M 判別法 . Weierstrass 判 別 法 用 起 來 很 方 便 . 對 于 某 些級 數(shù) ,Weierstrass 判 別 法 就 無 效 , 因 此 還 需 研 究更 精 細 的 判 別 法 .設有定義在區(qū)間 I上形如 1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )nnu x v x u x v x u x v x? ? ??的函數(shù)項級數(shù) . 對級數(shù) (14)有 ( ) ( ) ( 1 4 )nnu x v x??定理 (阿貝耳判別法 )設 ( i ) ( ) 。nnnnx a x af x f x( ) ( , ) l i m ( ) ,xbf x a b f x若 在 上 一 致 收 斂 , 且 存 在 則 有????? ? ? ??? ?l i m l i m ( ) l i m l i m ( ) .nnnnx b x bf x f x00{ ( ) },l i m l i m ( ) l i m l i m ( )nnnx x n n x xfxxnf x f x? ? ? ? ? ?? 定 理 告 訴 我 們 : 在 , 中兩 個 獨 立 變 量 與 在 分 別 求 極 限 時 其 求 極 限 的 順 序可 以 交 換 , 即一 致 收 斂 條 件 下.定理 (連續(xù)性 ) 若函數(shù)列 {}nf 在區(qū)間 I上一致收 斂 , 且每一項都連續(xù) , 則其極限函數(shù) f 在 I 上也連續(xù) . 證 ? ?000 . li m ( ) ( ) ,nnxxx I f x f x設 為 上任一點 由于于 是由定理 知 0lim ( )xx fx? 也存在 , 且 ? ? ???0 00l i m ( ) l i m ( ) ( ) ,nx x nf x f x f x0( ) .f x x因此 在 上連續(xù)定理 : 若各項為連續(xù)函數(shù)的函數(shù) 列在區(qū)間 I 上其極限函數(shù)不連續(xù) , 則此函數(shù)列在區(qū) 間 I 上一定不一致收斂 . {}nx ( 1, 1]?例如 : 函數(shù)列 的各項在 上都是連續(xù)的 , 但 其極限函數(shù) 0, 1 1 ,()1 , 1xfxx? ? ???? ?? 1x ?在 時 不 連{}nx ( 1, 1]?續(xù) , 所以 在 上不一致收斂 . {}nf [ , ]ab定理 (可積性 ) 若函數(shù)列 在 上一致收 斂 , 且每一項都連續(xù) , 則 li m ( ) d li m ( ) d . ( 3 )bbnnaann f x x f x x? ? ? ????{}nf [ , ]ab證 設 為函數(shù)列 在 上的極限函數(shù) . 由定理 f[ , ]ab ( 1 , 2 , )nfn ? 在 上連續(xù) , 從而 與 在 f[ , ]ab上都可積 . 于是 (3)變?yōu)? li m ( ) d ( ) d . ( 3 )bbnaan f x x f x x?? ????[ , ] ,na b f f因為在 上 一致收斂于 0??故對于任意 , 存在 , , [ , ] ,N n N x a b??當 時 對一切 都有| ( ) ( ) | .nf x f x ???再根據(jù)定積分的性質 , 當 時有 nN?? ? ?? ? ?( ) d ( ) d ( ( ) ( ) ) db b bnna a af x x f x x f x f x x( ) ( ) d ( ) ,b na f x f x x b a?? ? ? ??這就證明了等式 (3).?這個定理指出 : 在一致收斂的條件下 , 極限運算與 積分運算的順序可以交換 . 12 , 0 ,211( ) 2 2 , , 1 , 2 , .210 , 1 ,nn n nn x xnf x n x x nnnxn?????????? ? ? ? ????????(其圖象如圖 13－ 6所示 ). { ( )}nfx [0,1]顯然 是 上的 連續(xù)函數(shù)列 , 且對任意 [0 , 1]x ? ?? ?l i m ( ) fx, 例 1 設函數(shù) 13 6?圖y1nf12n1nn?xO???[ 0 , 1 ]su p | ( ) 0 |nnxfx ?又 { ( ) } [ 0 , 1 ]n 在, 因此 上一致 收斂于 0 的充要條件是 . 0 ( )n n? ? ? ?10 ( ) d ,2nnf x x n??? 1100( ) d ( ) d 0nf x x f x x????又因 故 lim 02 nn n???? 1,n? ?這 樣 , 當 時的充要條件是 . 雖然 { ( )}nfx ()fx不一致收斂于 , 但定理 的結論仍 { ( )}nfx ( ).fx成立 . 但當 時 , 不一致收斂于 n n? ?101( ) d2nf x x同時 ??10 ( ) d x x也不收斂于 ??? ?ddlim ( ) lim ( ) . ( 4 )nnnn f x f xxx?? ???{ ( )}nfx ()fx例 1說明當 收斂于 時 , 一致收斂性是極 限運算與積分運算交換的充分條件 , 不是必要條件 . {}nf [ , ]ab定理 (可微性 )設 為定義在 上的函數(shù)列 , 0 [ , ]x a b? {}nf {}nf [ , ]ab若 為 的收斂點 , 的每一項在 {}nf? [ , ]ab上有連續(xù)的導數(shù) , 且 在 上一致收斂 , 則 0l i m ( ) ,nn f x A?? ?設 g nf? [ , ]ab證 為 在 上極限函數(shù) , {}nf [ , ]ab下面證明函數(shù)列 在區(qū)間 上收斂 , 且其極限 函數(shù)的導數(shù)存在且等于 g. 00( ) ( ) ( ) d .xn n nxf x f x f t t??? ?,nA??當 時 右邊第一項極限為 第二項極限為,于是 0( )d .xx g t t? f 所以上式左邊極限存在 , 記為 0( ) lim ( ) ( ) d .xn xnf x f x A g t t??? ? ? ?由 g 的連續(xù)性及微積分學基本定理得 .fg??這就證明了等式 (4). 由定理條件 , 對任一 總有 [ , ],x a b?0x {}nf注 請注意定理中的條件 為 的收斂點的作用 . [ , ]ab {}nf在定理的條件下 , 還可推出在 上函數(shù)列 一 致收斂于 .f與前面兩個定理一樣 , 一致收斂是極限運算與求導 運算交換的充分條件 , 而不是必要條件 , 請看下例 . 例 2 函數(shù)列 221( ) ln( 1 ) , 1 , 2 ,2nf x n x nn? ? ?與 22( ) , 1 , 2 ,1nnxf x nnx? ???在 [0, 1] 上都收斂于 0, 由于 [ 0 , 1 ]1l i m s u p | ( ) ( ) | ,2nn x f x f x?? ? ?? ??{ ( ) }